점과 직선 사이의 거리 공식은?

점 (x₁, y₁)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리는 |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²) 입니다.

두 직선이 수직일 조건은?

기울기가 m, m'인 두 직선은 mm' = −1일 때 수직입니다. 일반형 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0에서는 aa'+bb' = 0 입니다.

원의 방정식 일반형에서 중심과 반지름은?

x²+y²+Ax+By+C=0의 중심은 (−A/2, −B/2), 반지름은 √(A²+B²−4C)/2 입니다. 완전제곱식으로 바꿔 표준형으로 만들면 쉽게 구할 수 있습니다.

평행이동할 때 식에서 왜 빼나요?

점 (x, y)를 x축 방향으로 a만큼 옮기면 x+a가 되지만, 도형의 방정식 f(x, y)=0을 옮기면 x 자리에 x−a를 넣어야 옮겨진 도형 위의 점이 원래 식을 만족하기 때문입니다.

수학 개념정리

도형의 방정식 공식 총정리 (직선·원)

고1 2학기 공통수학2 첫 단원인 도형의 방정식에서 쓰는 공식을 순서대로 모았습니다. 10월 학력평가 고1 수학 범위에도 들어가는 단원입니다.

업데이트 2026-09-26

1. 두 점 사이의 거리

두 점 $A (x_{1}, y_{1})$ , $B (x_{2}, y_{2})$ 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구합니다.

\overline{A B} = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

예) $A (1, 2)$ , $B (4, 6)$ : $3^{2} + 4^{2} = 5$

2. 내분점·외분점·무게중심

구분	공식
$m : n$ 내분점	$(\frac{m x _{2} + n x _{1}}{m + n}, \frac{m y _{2} + n y _{1}}{m + n})$
중점	$(\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$
$m : n$ 외분점 ( $m \neq = n$ )	$(\frac{m x _{2} - n x _{1}}{m - n}, \frac{m y _{2} - n y _{1}}{m - n})$
삼각형의 무게중심	$(\frac{x _{1} + x _{2} + x _{3}}{3}, \frac{y _{1} + y _{2} + y _{3}}{3})$

현행 공통수학2 교과서에서는 외분점을 다루지 않는 경우가 있습니다. 학교 교과서 범위를 확인하세요.

3. 직선의 방정식

조건	직선의 방정식
기울기 $m$ , 점 $(x_{1}, y_{1})$ 을 지남	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
두 점 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ 를 지남 ( $x_{1} \neq = x_{2}$ )	$y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$
x절편 $a$ , y절편 $b$ ( $ab \neq = 0$ )	$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
일반형	$a x + b y + c = 0$

4. 두 직선의 위치 관계

두 직선 $y = m x + n$ , $y = m^{'} x + n^{'}$ 에 대하여

관계	조건
평행	$m = m^{'}$ , $n \neq = n^{'}$
일치	$m = m^{'}$ , $n = n^{'}$
수직	$m m^{'} = - 1$
한 점에서 만남	$m \neq = m^{'}$

일반형 $a x + b y + c = 0$ , $a^{'} x + b^{'} y + c^{'} = 0$ 에서는 수직 조건이 $a a^{'} + b b^{'} = 0$ 입니다.

5. 점과 직선 사이의 거리

d = \frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

점 $(x_{1}, y_{1})$ 과 직선 $a x + b y + c = 0$ 사이의 거리입니다.

예) 점 $(1, 2)$ 와 직선 $3 x + 4 y - 1 = 0$ : $\frac{∣3 + 8 - 1∣}{5} = 2$

6. 원의 방정식

형태	식	중심·반지름
표준형	$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$	중심 $(a, b)$ , 반지름 $r$
일반형	$x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$	중심 $(- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2})$ , 반지름 $\frac{A ^{2} + B ^{2} - 4 C}{2}$

일반형이 원이 되려면 $A^{2} + B^{2} - 4 C > 0$ 이어야 합니다. 일반형은 완전제곱식으로 바꿔 표준형으로 만들면 중심과 반지름이 보입니다.

예) $x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ → $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ : 중심 $(2, - 3)$ , 반지름 4

7. 원과 직선의 위치 관계

원의 중심에서 직선까지의 거리 $d$ 와 반지름 $r$ 을 비교합니다. (판별식 $D$ 로도 판단 가능)

위치 관계	거리 조건	판별식
서로 다른 두 점에서 만남	$d < r$	$D > 0$
접함 (한 점)	$d = r$	$D = 0$
만나지 않음	$d > r$	$D < 0$

원 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 위의 점 $(x_{1}, y_{1})$ 에서의 접선: $x_{1} x + y_{1} y = r^{2}$
기울기가 $m$ 인 접선: $y = m x \pm r m^{2} + 1$

8. 도형의 이동

이동	점 $(x, y)$	도형 $f (x, y) = 0$
x축 방향 $a$ , y축 방향 $b$ 평행이동	$(x + a, y + b)$	$f (x - a, y - b) = 0$
x축 대칭	$(x, - y)$	$f (x, - y) = 0$
y축 대칭	$(- x, y)$	$f (- x, y) = 0$
원점 대칭	$(- x, - y)$	$f (- x, - y) = 0$
직선 $y = x$ 대칭	$(y, x)$	$f (y, x) = 0$

점은 더하고( $x + a$ ), 도형의 식은 뺍니다( $x - a$ ). 가장 많이 틀리는 부분입니다.

고등학교 공통수학2 'Ⅰ. 도형의 방정식' 단원(2022 개정 교육과정) 기준. 교과서마다 다루는 범위와 순서가 조금 다를 수 있습니다.

자주 묻는 질문

점과 직선 사이의 거리 공식은?: 점 (x₁, y₁)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리는 |ax₁+by₁+c| / √(a²+b²) 입니다.
두 직선이 수직일 조건은?: 기울기가 m, m'인 두 직선은 mm' = −1일 때 수직입니다. 일반형 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0에서는 aa'+bb' = 0 입니다.
원의 방정식 일반형에서 중심과 반지름은?: x²+y²+Ax+By+C=0의 중심은 (−A/2, −B/2), 반지름은 √(A²+B²−4C)/2 입니다. 완전제곱식으로 바꿔 표준형으로 만들면 쉽게 구할 수 있습니다.
평행이동할 때 식에서 왜 빼나요?: 점 (x, y)를 x축 방향으로 a만큼 옮기면 x+a가 되지만, 도형의 방정식 f(x, y)=0을 옮기면 x 자리에 x−a를 넣어야 옮겨진 도형 위의 점이 원래 식을 만족하기 때문입니다.

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