고등 수학 삼차함수·사차함수 그래프의 방정식·부등식 활용 예상문제

🔴 정답 ④ $17$

📌 초정밀 풀이
❶ $g(x)=x^4-8x^2$로 놓으면 $g^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x-2)(x+2)$이므로 극값은 $x=0,\pm 2$에서 나타난다.
❷ $g(0)=0$ (극댓값), $g(\pm 2)=16-32=-16$ (극솟값).
❸ $f(x)=g(x)+k$가 $x$축과 만나지 않으려면(항상 $f(x)>0$) $f$의 최솟값이 양수여야 하므로 $k+(-16)>0\Rightarrow k>16$.
❹ 이를 만족하는 자연수 $k$의 최솟값은 $17$.

[오답 확인]
① 극솟값의 절댓값을 절반으로 잘못 계산($8$)
② $k>16$의 경계를 잘못 다뤄 $15$로 계산
③ 등호를 포함해도 되는 것으로 착각($16$)
⑤ 극솟값을 $-32$로 잘못 계산한 경우($32$)

[핵심 개념] 사차함수의 최솟값과 부등식

🔴 정답 ③ $-2$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, 극값은 $x=0,2$.
❷ $f^{\prime \prime }(x)=-6x+6$이므로 $f^{\prime \prime }(0)=6>0$ → $x=0$ 극소, $f^{\prime \prime }(2)=-6<0$ → $x=2$ 극대.
❸ 극솟값 $f(0)=a=-2$.

[오답 확인]
① 극대점 $x=2$에서의 식 $a+4=-2$로 잘못 계산한 경우($a=-6$)
② 계산 과정의 부호 실수
④ 부호를 반대로 잡은 경우($a=2$)
⑤ 극대·극소를 반대로 판단한 경우

[핵심 개념] 삼차함수의 극값(이계도함수를 통한 극대·극소 판별)

🔴 정답 ③ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$, 극값은 $x=1,3$.
❷ $f(1)=4-a$ (극댓값), $f(3)=-a$ (극솟값).
❸ 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서만 만나려면(한 점에서는 접함) 극댓값과 극솟값 중 하나가 $0$이어야 하므로 $(4-a)(-a)=0\Rightarrow a=4$ 또는 $a=0$.
❹ $a>0$ 조건에서 $a=4$.

[오답 확인]
① $a=0$은 양수 조건을 만족하지 않음
②④⑤ 방정식을 세우는 과정에서 나올 수 있는 계산 실수 값들

[핵심 개념] 삼차함수와 x축의 접점 조건(극값=0)

🔴 정답 ② $4$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$, 극값은 $x=-2,2$에서 나타난다.
❷ $f^{\prime \prime }(x)=6x$이므로 $f^{\prime \prime }(-2)=-12<0$ → $x=-2$는 극대점, $f^{\prime \prime }(2)=12>0$ → $x=2$는 극소점.
❸ 극댓값 $f(-2)=-8+24+a=16+a=20\Rightarrow a=4$.

[오답 확인]
① 부호를 반대로 적용한 경우($a=-4$)
③ 계산 과정에서 절반값을 사용한 경우
④ $16+a$의 상수항만 답으로 착각한 경우
⑤ 극대·극소를 반대로 판단해 $x=2$에서의 식을 사용: $f(2)=8-24+a=a-16=20\Rightarrow a=36$

[핵심 개념] 삼차함수의 극값(이계도함수를 통한 극대·극소 판별)

🔴 정답 ③ $3$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$이므로 극값은 $x=-1,1$에서 나타난다.
❷ $f(-1)=-1+3+2=4$ (극댓값), $f(1)=1-3+2=0$ (극솟값).
❸ 삼차함수 그래프와 수평선이 서로 다른 세 점에서 만나려면 $k$는 극솟값과 극댓값 사이, 즉 $0<k<4$ 이어야 한다(등호이면 접하는 경우가 생겨 교점이 2개가 됨).
❹ 이 범위의 정수는 $k=1,2,3$으로 3개.

[오답 확인]
① $k=1$ 하나만 고려한 경우
② 범위를 절반만 고려한 경우
④ 양 끝값 $k=0$ 또는 $k=4$를 포함시켜 개수를 하나 더 센 경우(접하는 경우도 포함시키는 실수)
⑤ 양 끝값을 모두 포함시켜 두 개를 더 센 경우

[핵심 개념] 삼차함수와 직선의 교점 개수(극값 이용)

🔴 정답 ③ $22$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$, 극값은 $x=-1,3$.
❷ $f(-1)=-1-3+9+a=a+5$ (극댓값), $f(3)=27-27-27+a=a-27$ (극솟값).
❸ 두 값의 곱이 $0$: $(a+5)(a-27)=0\Rightarrow a=-5$ 또는 $a=27$.
❹ 합은 $-5+27=22$.

[오답 확인]
① 부호 실수로 $(a-5)(a+27)=0$을 풀어 합을 $-22$로 계산한 경우
② $a=-5$ 근처에서 계산을 잘못 조합한 경우
④ $a=27$ 하나만 답으로 착각한 경우
⑤ 두 근을 잘못 더한 계산 실수

[핵심 개념] 삼차함수의 극값의 곱

🔴 정답 ④ $2$

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=x^3-3x^2+3$, $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, 극값은 $x=0,2$.
❷ $f(0)=3$(극댓값), $f(2)=8-12+3=-1$(극솟값).
❸ 직선 $y=k$와 서로 다른 두 점에서만 만나려면(한 점에서 접함) $k$가 극댓값 또는 극솟값과 같아야 하므로 $k=3$ 또는 $k=-1$.
❹ 합은 $3+(-1)=2$.

[오답 확인]
① 극값의 곱을 답으로 착각한 경우
② 합의 부호를 반대로 계산한 경우
③ 극솟값만 답으로 착각한 경우
⑤ 극댓값만 답으로 착각한 경우

[핵심 개념] 삼차함수와 직선의 접점 조건

🔴 정답 ③ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 좌변을 인수분해하면 $x^4-4x^3+a{x}^2=x^2(x^2-4x+a)$.
❷ $x^2\ge 0$이므로 $x\ne 0$일 때는 $x^2-4x+a\ge 0$이 성립해야 부등식이 항상 성립한다(연속성에 의해 $x=0$에서는 자동으로 $0\ge 0$이 성립).
❸ 이차식 $x^2-4x+a$가 모든 실수 $x$에서 $0$ 이상이려면 판별식 $D/4=4-a\le 0\Rightarrow a\ge 4$.
❹ 따라서 $a$의 최솟값은 $4$.

[오답 확인]
① 판별식 부호를 반대로 적용한 경우
② 판별식 계산에서 $4$를 누락한 경우
④⑤ 판별식 공식에서 배수를 잘못 적용한 경우

[핵심 개념] 사차식의 인수분해와 이차식의 판별식 조건