고등 수학 독립시행의 확률 예상문제

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 주사위를 한 번 던질 때 짝수의 눈(2,4,6)이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$이고, 4번의 시행은 서로 독립이다.
❷ $$P(X=2)={}_4{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^2$$
❸ ${}_4{\mathrm{C}}_2=6$이므로 $$P(X=2)=6\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{4}=6\times \frac{1}{16}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$$
[오답 확인]
① $\frac{3}{16}$: 정답을 한 번 더 $\frac{1}{2}$로 나누는 실수
② $\frac{1}{4}$: 이항계수를 4로 잘못 사용($\frac{4}{16}$)한 오류
④ $\frac{1}{2}$: 이항계수 ${}_4{\mathrm{C}}_2$를 8로 잘못 계산한 오류
⑤ $\frac{9}{16}$: 확률을 곱하지 않고 이항계수와 항을 혼동한 계산 오류
[핵심 개념] 독립시행의 확률 공식 $P(X=k)={}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

🔴 정답: 79
📌 초정밀 풀이
❶ 동전을 던져 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$이고, 6번의 시행은 서로 독립이다.
❷ $$P(X=4)={}_6{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{2}\right)}^4{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={}_6{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{2}\right)}^6$$
❸ ${}_6{\mathrm{C}}_4={}_6{\mathrm{C}}_2=15$이고 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6=\frac{1}{64}$이므로 $P(X=4)=\frac{15}{64}$
❹ $\gcd (15,64)=1$이므로 이미 기약분수이다. 따라서 $a=64$, $b=15$이고 $a+b=79$
[오답 확인]
- ${}_6{\mathrm{C}}_4$를 20이나 6으로 잘못 계산하면 다른 값이 나와 답이 달라진다.
- $2^6=64$를 $2^5=32$ 등으로 잘못 세면 분모가 틀려진다.
[핵심 개념] 독립시행의 확률 공식과 이항계수 계산, 기약분수 변환(최대공약수 판정)

[오답 해설]
- 1번(35): 이항계수 C(6,4)를 6으로 잘못 계산하면 P=6/64=3/32가 되어 a+b=35가 나온다.
- 3번(21): C(6,4)를 C(6,3)=20과 혼동하면 P=20/64=5/16이 되어 a+b=21이 나온다.
- 4번(47): 2^6을 2^5=32로 잘못 계산하면 P=15/32가 되어 a+b=47이 나온다.
- 5번(65): 이항계수를 빠뜨리고 (1/2)^6만 계산하면 P=1/64가 되어 a+b=65가 나온다.

🔴 정답: 2번
📌 초정밀 풀이
❶ 동전을 한 번 던질 때 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$이고, 5번의 시행은 서로 독립이다.
❷ 독립시행의 확률 공식에 의해 $$P(X=3)={}_5{\mathrm{C}}_3{\left(\frac{1}{2}\right)}^3{\left(\frac{1}{2}\right)}^{5-3}$$
❸ ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$이므로 $$P(X=3)=10\times \frac{1}{8}\times \frac{1}{4}=10\times \frac{1}{32}=\frac{5}{16}$$
[오답 확인]
① $\frac{1}{8}$: 이항계수를 빠뜨리고 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$만 계산한 오류
③ $\frac{1}{2}$: '정확히 3번'이 아니라 '3번 이상'일 확률 $P(X\ge 3)=\frac{10+5+1}{32}=\frac{1}{2}$을 구한 오류
④ $\frac{15}{32}$: ${}_5{\mathrm{C}}_3$을 15로 잘못 계산한 오류 (실제로는 10)
⑤ $\frac{5}{8}$: 전체 경우의 수를 $2^4=16$으로 잘못 세어 $\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$로 계산한 오류 (실제로는 $2^5=32$)
[핵심 개념] 독립시행의 확률: 확률 $p$인 사건이 $n$번의 독립시행에서 정확히 $k$번 일어날 확률은 $P(X=k)={}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

🔴 정답: 4번
📌 초정밀 풀이
❶ 자유투 성공확률 $p=\frac{3}{5}$, 실패확률 $1-p=\frac{2}{5}$, $n=3$번의 독립시행이다.
❷ $$P(X=2)={}_3{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{3}{5}\right)}^2{\left(\frac{2}{5}\right)}^1$$
❸ ${}_3{\mathrm{C}}_2=3$이므로 $$P(X=2)=3\times \frac{9}{25}\times \frac{2}{5}=3\times \frac{18}{125}=\frac{54}{125}$$
[오답 확인]
① $\frac{18}{125}$: 이항계수 3을 곱하지 않은 오류
② $\frac{27}{125}={\left(\frac{3}{5}\right)}^3$: 실패확률을 반영하지 않고 성공확률만 세제곱한 오류
③ $\frac{36}{125}$: 성공·실패 확률을 뒤바꿔 ${}_3{\mathrm{C}}_2{\left(\frac{2}{5}\right)}^2\left(\frac{3}{5}\right)$로 계산한 오류
⑤ $\frac{72}{125}$: 이항계수를 4로 잘못 사용한 오류 (실제로는 3)
[핵심 개념] 독립시행의 확률 $P(X=k)={}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$에서 성공·실패 확률의 지수를 정확히 배치해야 한다.

🔴 정답 ⑤ $\frac{3720087}{2500000000}$

📌 초정밀 풀이
❶ 독립시행의 확률 공식 ${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$을 적용한다 ($n=10$, $k=5$, $p=\frac{1}{10}$).
❷ 식을 세우면 $${}_{10}{\mathrm{C}}_5\times {\left(\frac{1}{10}\right)}^5\times {\left(\frac{9}{10}\right)}^5$$이다.
❸ 이를 계산하면 $\frac{3720087}{2500000000}$이다.

[핵심 개념] 독립시행의 확률 ${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

🔴 정답 ④ $\frac{492075}{536870912}$

📌 초정밀 풀이
❶ 독립시행의 확률 공식 ${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$을 적용한다 ($n=10$, $k=9$, $p=\frac{3}{8}$).
❷ 식을 세우면 $${}_{10}{\mathrm{C}}_9\times {\left(\frac{3}{8}\right)}^9\times {\left(\frac{5}{8}\right)}^1$$이다.
❸ 이를 계산하면 $\frac{492075}{536870912}$이다.

[핵심 개념] 독립시행의 확률 ${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

🔴 정답 ⑤ $\frac{1}{625}$

📌 초정밀 풀이
❶ '적어도 5번 성공'은 여사건보다 직접 나열이 쉬우므로 (n-1)번 성공+n번 성공의 확률을 합으로 구한다.
❷ '적어도 5번 성공'은 '정확히 5번 성공' 또는 '정확히 6번 성공'이므로 두 확률을 더한다: $${}_6{\mathrm{C}}_5{\left(\frac{1}{5}\right)}^5\left(\frac{4}{5}\right)+{\left(\frac{1}{5}\right)}^6$$.
❸ 이를 계산하면 $\frac{1}{625}$이다.

[핵심 개념] 독립시행의 확률 ${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

🔴 정답 ⑤ $\frac{20736}{1953125}$

📌 초정밀 풀이
❶ 독립시행의 확률 공식 ${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$을 적용한다 ($n=10$, $k=2$, $p=\frac{3}{5}$).
❷ 식을 세우면 $${}_{10}{\mathrm{C}}_2\times {\left(\frac{3}{5}\right)}^2\times {\left(\frac{2}{5}\right)}^8$$이다.
❸ 이를 계산하면 $\frac{20736}{1953125}$이다.

[핵심 개념] 독립시행의 확률 ${}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$