고등 수학 등차수열(일반항과 합) 예상문제

🔴 정답 ② $155$

📌 초정밀 풀이
❶ 등차수열의 합 공식은 $S_n=\frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}$이다.
❷ $a_1=2,d=3,n=10$을 대입하면 $$S_{10}=\frac{10\{2\times 2+9\times 3\}}{2}=\frac{10\times 31}{2}=155$$.
❸ 따라서 $S_{10}=155$이다.

[오답 확인]
① $29$: $S_{10}$이 아닌 $a_{10}=2+9\times 3$을 구한 값
③ $170$: $(n-1)$ 대신 $n$을 곱해 $\frac{10\{2\times 2+10\times 3\}}{2}$로 계산한 값
④ $290$: $2a_1$이 아닌 $a_1$만 넣고 $2$로 나누지 않은 값($10\times 29$)
⑤ $310$: 공식에서 마지막에 $2$로 나누는 것을 빠뜨린 값

[핵심 개념] 등차수열의 합 공식 $S_n=\frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}$

🔴 정답 ② $19$

📌 초정밀 풀이
❶ 세 수 $a,m,b$가 이 순서대로 등차수열을 이루면 $m$은 $a,b$의 등차중항이므로 $m=\frac{a+b}{2}$이다.
❷ $a=7,b=31$이므로 $m=\frac{7+31}{2}=\frac{38}{2}=19$.
❸ 따라서 $m=19$이다.

[오답 확인]
① $12$: $\frac{31-7}{2}$을 계산해 평균이 아닌 절반의 차를 구한 값
③ $20$: 등차중항을 구한 뒤 실수로 $1$을 더한 값
④ $24$: 두 수의 차 $31-7=24$를 그대로 답으로 쓴 값
⑤ $38$: 두 수를 더하기만 하고 $2$로 나누지 않은 값

[핵심 개념] 등차중항 $m=\frac{a+b}{2}$

🔴 정답 ③ $-37$

📌 초정밀 풀이
❶ 등차수열의 일반항 공식은 $a_n=a_1+(n-1)d$이다.
❷ $a_1=5,d=-3,n=15$를 대입하면 $a_{15}=5+14\times (-3)=5-42=-37$.
❸ 따라서 $a_{15}=-37$이다.

[오답 확인]
① $-42$: $a_1$을 더하지 않고 $14d$만 계산한 값
② $-40$: $(n-1)$ 대신 $n$을 그대로 곱해 $5+15\times (-3)$으로 계산한 값
④ $-34$: $(n-1)$ 대신 $(n-2)$를 곱해 한 항 앞선 $a_{14}$를 구한 값
⑤ $47$: 공차의 부호를 반대로($+3$) 적용한 값

[핵심 개념] 등차수열의 일반항 $a_n=a_1+(n-1)d$

🔴 정답 ③ $22$

📌 초정밀 풀이
❶ 일반항은 $a_n=-2+5(n-1)=5n-7$이다.
❷ $a_n>100$이므로 $5n-7>100\Rightarrow 5n>107\Rightarrow n>21.4$.
❸ $n$은 자연수이므로 이를 만족시키는 최솟값은 $n=22$이다. (실제로 $a_{21}=98\le 100$, $a_{22}=103>100$)

[오답 확인]
① $20$, ② $21$: 부등식 $n>21.4$를 반올림하거나 내림해 계산한 값(경계값 확인 소홀)
④ $23$, ⑤ $24$: 필요 이상으로 한두 항을 더 지나서 답한 값

[핵심 개념] 등차수열의 일반항을 이용한 부등식 풀이

🔴 정답 ③ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 등차수열에서 $a_n-a_m=(n-m)d$가 성립한다.
❷ $a_8-a_3=(8-3)d=28-8=20$이므로 $5d=20$.
❸ 따라서 $d=4$이다.

[오답 확인]
① $-4$: 공차의 부호를 반대로 계산한 값
② $\frac{10}{3}$: 항의 개수 차를 $8-3+1=6$으로 잘못 세어 $\frac{20}{6}$으로 계산한 값
④ $5$: 항의 개수 차를 $8-3-1=4$로 잘못 세어 $\frac{20}{4}$로 계산한 값
⑤ $20$: $d$를 구하기 위한 나눗셈을 하지 않고 $a_8-a_3$ 값을 그대로 답으로 쓴 값

[핵심 개념] 등차수열의 공차 계산 $d=\frac{a_n-a_m}{n-m}$

🔴 정답 ① $72$

📌 초정밀 풀이
❶ $a_n=a_1+(n-1)d$에 $n=12,2$를 대입한 연립방정식 $a_1+11d=17$, $a_1+1d=-3$을 세운다.
❷ 두 식을 풀면 $a_1=-5$, $d=2$이다.
❸ 따라서 구하는 값은 $72$이다.

[핵심 개념] 등차수열의 합 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $72$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $42$

📌 초정밀 풀이
❶ $a_n=a_1+(n-1)d$에 $n=6,8$를 대입한 연립방정식 $a_1+5d=10$, $a_1+7d=14$을 세운다.
❷ 두 식을 풀면 $a_1=0$, $d=2$이다.
❸ 따라서 구하는 값은 $42$이다.

[핵심 개념] 등차수열의 합 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $42$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $-18$

📌 초정밀 풀이
❶ $a_n=a_1+(n-1)d$에 $n=17,10$를 대입한 연립방정식 $a_1+16d=-28$, $a_1+9d=-21$을 세운다.
❷ 두 식을 풀면 $a_1=-12$, $d=-1$이다.
❸ 따라서 구하는 값은 $-18$이다.

[핵심 개념] 등차수열의 일반항 $a_n=a_1+(n-1)d$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $-18$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.