고등 수학 두 곡선의 공통접선 예상문제

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=e^x$라 하면 $f^{\prime }(x)=e^x$이므로 점 $(0,1)$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(0)=1$이다. 따라서 접선의 방정식은
$y=1\cdot (x-0)+1=x+1$
❷ 이 직선이 $y=\ln x+k$에도 접해야 하므로, 접점을 $(t,\ln t+k)$라 하면 그 점에서의 접선의 기울기가 1이어야 한다.
$g(x)=\ln x+k$, $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$이므로 $\frac{1}{t}=1\Rightarrow t=1$
❸ 접점 $(1,k)$가 직선 $y=x+1$ 위에 있어야 하므로
$k=1+1=2$

[오답 확인]
① 0: 접선을 $y=x$로 잘못 구하고(절편을 빠뜨림) $t=1$에서 $k=1-1=0$으로 계산한 경우
② 1: 접선을 $y=x$로 잘못 구한 뒤 $g(1)=k$를 직선의 $x=1$에서의 값 1과 그대로 같다고 놓은 경우
④ 3, ⑤ 4: 접점의 $y$좌표와 직선의 $y$절편을 혼동하여 부호 또는 덧셈을 잘못 처리한 경우

[핵심 개념] 두 곡선의 공통접선: 한 곡선 위의 한 점에서의 접선이 다른 곡선과도 접하려면 (1) 두 곡선의 접점에서 기울기가 같고, (2) 두 접점이 동일한 직선 위에 있어야 한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=x^3-x$, $f^{\prime }(x)=3x^2-1$이므로 점 $(1,0)$에서의 기울기는 $f^{\prime }(1)=2$이다.
접선: $y=2(x-1)=2x-2$
❷ $g(x)=x^2-4x+a$가 이 직선과 접하려면 $g^{\prime }(x)=2x-4=2\Rightarrow x=3$
❸ 접점 $(3,g(3))$이 직선 위에 있어야 하므로
$g(3)=9-12+a=a-3$, 직선의 $x=3$에서의 값은 $2\cdot 3-2=4$
$a-3=4\Rightarrow a=7$

[오답 확인]
① 3, ② 5: $g^{\prime }(x)=2$로 잘못 놓거나($x=3$ 대신 $x=2$ 계산) 부호를 혼동한 경우
④ 9, ⑤ 11: $a-3=4$를 $a+3=4$ 또는 $a-3=6$ 등으로 잘못 계산한 경우

[핵심 개념] 삼차함수와 이차함수의 공통접선은 기울기가 같은 점을 찾은 뒤, 그 점이 직선 위에 있다는 조건으로 미지수를 결정한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=x^3-2x^2$, $f^{\prime }(x)=3x^2-4x$이므로 $f^{\prime }(2)=12-8=4$이다.
접선: $y=4(x-2)=4x-8$
❷ $g(x)=2x^2+a$가 이 직선과 접하려면 $g^{\prime }(x)=4x=4\Rightarrow x=1$
❸ 접점 $(1,g(1))$이 직선 위에 있어야 하므로
$g(1)=2+a$, 직선의 $x=1$에서의 값은 $4-8=-4$
$2+a=-4\Rightarrow a=-6$

[오답 확인]
① -10, ② -8: $g(1)=2+a$를 계산할 때 상수항 2를 빠뜨리거나 직선의 값을 잘못 계산한 경우
④ -4, ⑤ -2: 부호 오류로 $2+a=4$ 또는 $2-a=-4$ 등으로 풀이한 경우

[핵심 개념] 삼차함수 위의 점에서의 접선을 구한 뒤, 이차함수와 접하는 조건(기울기 일치 + 접점이 직선 위)을 순차적으로 적용

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=2\sin x$, $f^{\prime }(x)=2\cos x$이므로 $f^{\prime }(0)=2$이다.
접선: $y=2x$
❷ $g(x)=x^2+a$가 이 직선과 접하려면 $g^{\prime }(x)=2x=2\Rightarrow x=1$
❸ 접점 $(1,g(1))$이 직선 위에 있어야 하므로
$g(1)=1+a$, 직선의 $x=1$에서의 값은 $2$
$1+a=2\Rightarrow a=1$

[오답 확인]
① -1, ② 0: $f^{\prime }(0)$을 1로 잘못 계산하거나(계수 2를 빠뜨림) 접점 $x=1$ 대입을 잘못한 경우
④ 2, ⑤ 3: $1+a=2$를 풀 때 부호나 계산 실수를 한 경우

[핵심 개념] 삼각함수의 도함수($\sin x$의 도함수는 $\cos x$)를 이용한 접선의 방정식 구하기와 공통접선 조건의 적용

[핵심개념] 두 곡선의 공통접선 - 각 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식을 매개변수(접점의 x좌표)로 나타낸 뒤, 두 접선이 일치하기 위한 기울기·y절편 조건을 연립하고, 근과 계수의 관계(비에트의 공식)를 이용해 접점을 개별적으로 구하지 않고도 y절편의 합(대칭식)을 구하는 방법

[문제파악] 두 곡선 y=x²+3, y=-x²+4x-2에 공통으로 접하는 두 접선이 있을 때, 이 두 접선의 y절편의 합을 구하는 문제이다.

[접선 방정식 세우기] 곡선 y=x²+3 위의 점 (t, t²+3)에서의 접선의 기울기는 y'=2x이므로 2t이고, 접선의 방정식은 y=2t(x-t)+t²+3=2tx-t²+3이다. 곡선 y=-x²+4x-2 위의 점 (s, -s²+4s-2)에서의 접선의 기울기는 y'=-2x+4이므로 -2s+4이고, 접선의 방정식은 y=(-2s+4)(x-s)+(-s²+4s-2)=(-2s+4)x+s²-2이다.

[공통접선 조건] 두 접선이 같은 직선이 되려면 기울기와 y절편이 각각 같아야 하므로 2t=-2s+4 ··· (i), -t²+3=s²-2 ··· (ii)이다.

[관계식 정리] (i)에서 t+s=2이다. (ii)를 정리하면 t²+s²=5이다.

[근과 계수의 관계 적용] (t+s)²=t²+2ts+s²이므로 4=5+2ts, 따라서 ts=-1/2이다. 즉 t, s는 이차방정식 2z²-4z-1=0의 두 근이다. (직접 계산으로 연립방정식 2t=-2s+4, -t²+3=s²-2를 직접 풀면 t=1±√6/2, s=1∓√6/2가 나오고, 이 두 경우 각각의 접선이 실제로 두 곡선 모두에 중근으로 접함을 판별식 0으로 재확인함.)

[y절편의 합 계산] 공통접선의 y절편은 첫 번째 곡선 기준 c=-t²+3이며, t가 이차방정식의 두 근 t₁, t₂를 가질 때 y절편의 합은 (-t₁²+3)+(-t₂²+3)=6-(t₁²+t₂²)이다. 이때 t₁²+t₂²=(t₁+t₂)²-2t₁t₂=2²-2×(-1/2)=4+1=5이므로, y절편의 합은 6-5=1이다.

[검산] 직접 계산으로 t=1+√6/2, s=1-√6/2 및 t=1-√6/2, s=1+√6/2 각각에 대해 실제 접선의 y절편을 계산하면 1/2-√6, 1/2+√6이 나오고, 두 값의 합은 정확히 1로 근과 계수의 관계로 구한 결과와 일치한다.

[오답배제] ①-1, ②0, ④2, ⑤3: (t+s)² 전개 시 2ts항의 부호를 잘못 처리하거나 t²+s²을 구하는 식 (ii)를 잘못 정리하는 등의 계산 실수에서 나올 수 있는 값들이다.

🔴 정답: 2
📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=\tan x$, $f^{\prime }(x)={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$이므로 $f^{\prime }(0)=1$, $f(0)=0$
접선: $y=1\cdot (x-0)=x$
❷ $g(x)=x^3+a{x}^2+b$가 이 직선과 점 $x=1$에서 접하므로 기울기 조건:
$g^{\prime }(1)=3(1{)}^2+2a(1)=3+2a=1\Rightarrow a=-1$
❸ 접점이 직선 위에 있어야 하므로 $g(1)=1+a+b$가 직선의 $x=1$에서의 값 1과 같아야 한다.
$1+(-1)+b=1\Rightarrow b=1$
❹ 따라서 $b-a=1-(-1)=2$

[핵심 개념] $\tan x$의 도함수는 ${\sec }^{2}x$이며 $x=0$에서 그 값은 1이다. 삼각함수와 삼차함수의 공통접선 문제에서도 (기울기 일치)+(접점이 직선 위) 두 조건을 그대로 적용한다.

[오답 해설]
- 선택지 2 (-2): $b-a$ 대신 $a-b$를 계산하는 부호 실수 ($a=-1,b=1$일 때 $a-b=-2$).
- 선택지 3 (4): 접선의 기울기 조건 $g^{\prime }(1)=3+2a=1$에서 계수 $2$를 빠뜨려 $3+a=1$로 잘못 세워 $a=-2$를 얻고, 이어서 $b=2$로 계산해 $b-a=4$.
- 선택지 4 (1): 접점이 직선 위에 있어야 한다는 조건(함숫값 일치)을 확인하지 않고 $b=0$으로 놓아 $b-a=0-(-1)=1$.
- 선택지 5 (-4): $3+2a=1$을 풀 때 부호를 반대로 적용해 $2a=1+3=4\Rightarrow a=2$로 계산하고, 이어서 $b=-2$를 얻어 $b-a=-4$.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=e^{2x-2}$, $f^{\prime }(x)=2e^{2x-2}$이므로 $f^{\prime }(1)=2e^0=2$이다.
접선: $y=2(x-1)+1=2x-1$
❷ $g(x)=\ln x+a$가 이 직선과 접하려면 $g^{\prime }(x)=\frac{1}{x}=2\Rightarrow x=\frac{1}{2}$
❸ 접점 $\left(\frac{1}{2},g\left(\frac{1}{2}\right)\right)$이 직선 위에 있어야 하므로
$g\left(\frac{1}{2}\right)=\ln \frac{1}{2}+a=-\ln 2+a$, 직선의 $x=\frac{1}{2}$에서의 값은 $2\cdot \frac{1}{2}-1=0$
$-\ln 2+a=0\Rightarrow a=\ln 2$

[오답 확인]
① $\frac{1}{2}\ln 2$: $\ln \frac{1}{2}=-\frac{1}{2}\ln 2$로 잘못 계산한 경우
③ $2\ln 2$: $-\ln 2+a=0$에서 부호를 반대로 처리해 $a=2\ln 2$ 등으로 오산한 경우
④, ⑤: 직선의 $x=\frac{1}{2}$에서의 값을 0이 아닌 값(예: $\pm 1$)으로 잘못 대입한 경우

[핵심 개념] 지수함수와 로그함수의 도함수를 이용한 접선 방정식, 로그의 성질 $\ln \frac{1}{2}=-\ln 2$

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=x{e}^x$이므로 곱의 미분법에 의해 $f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x$
$f^{\prime }(0)=1$, $f(0)=0$
접선: $y=x$
❷ $g(x)=x^2+ax+b$가 이 직선과 점 $x=1$에서 접하므로 기울기 조건:
$g^{\prime }(1)=2+a=1\Rightarrow a=-1$
❸ 접점이 직선 위에 있어야 하므로 $g(1)=1+a+b$가 직선의 $x=1$에서의 값 1과 같아야 한다.
$1+(-1)+b=1\Rightarrow b=1$
❹ 따라서 $10a+b=10\times (-1)+1=-9$

[오답 확인]
① -11, ③ -7: $a$ 또는 $b$의 부호를 반대로 대입한 경우
④ -5, ⑤ -3: 곱의 미분법을 잘못 적용하여 $f^{\prime }(x)=e^x$로만 계산해 $a,b$를 다르게 구한 경우

[핵심 개념] 곱의 미분법 $(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$을 이용해 접선을 구한 뒤, 공통접선 조건을 적용