고등 수학 다항함수의 적분법 예상문제

🔴 정답 ① $36$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=-x^2+6x=-x(x-6)$이므로 $x$축과의 교점은 $x=0,6$이고, 이 구간에서 $y\ge 0$이다.
❷ 넓이 $S={\int }_0^6(-x^2+6x)dx$이다.
❸ 부정적분 $F(x)=\frac{x^2\left(9-x\right)}{3}$에서 $F(6)-F(0)=36$이다.

[핵심 개념] 정적분을 이용한 넓이 계산

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $36$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $6$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분하면 $f(x)=x^2\left(2x-1\right)+C$이다.
❷ $f(-1)=3$를 대입해 $C$를 구하면 $C=6$이다.
❸ $f(0)=C=6$이다.

[핵심 개념] 부정적분과 미정계수 결정

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $6$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $\frac{9}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=-x^2+3x=-x(x-3)$이므로 $x$축과의 교점은 $x=0,3$이고, 이 구간에서 $y\ge 0$이다.
❷ 넓이 $S={\int }_0^3(-x^2+3x)dx$이다.
❸ 부정적분 $F(x)=\frac{x^2\left(9-2x\right)}{6}$에서 $F(3)-F(0)=\frac{9}{2}$이다.

[핵심 개념] 정적분을 이용한 넓이 계산

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{9}{2}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $\frac{125}{6}$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=-x^2+5x=-x(x-5)$이므로 $x$축과의 교점은 $x=0,5$이고, 이 구간에서 $y\ge 0$이다.
❷ 넓이 $S={\int }_0^5(-x^2+5x)dx$이다.
❸ 부정적분 $F(x)=\frac{x^2\left(15-2x\right)}{6}$에서 $F(5)-F(0)=\frac{125}{6}$이다.

[핵심 개념] 정적분을 이용한 넓이 계산

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{125}{6}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $-\frac{56}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 정적분의 구간에 대한 가산성에 의해 $${\int }_{-4}^{-1}f(x)dx+{\int }_{-1}^{3}f(x)dx={\int }_{-4}^{3}f(x)dx$$이다.
❷ ${\int }_{-4}^{3}f(x)dx$를 직접 계산한다.
❸ 계산하면 값은 $-\frac{56}{3}$이다.

[핵심 개념] 정적분의 구간에 대한 가산성 ${\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f={\int }_a^{c}f$

🔴 정답 ④ $\frac{148}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분을 구한다: $F(x)=\frac{x\left(4x^2+3x+18\right)}{6}$
❷ $F(4)-F(2)$를 계산한다.
❸ $F(4)=\frac{188}{3}$, $F(2)=\frac{40}{3}$이므로 값은 $\frac{148}{3}$이다.

[핵심 개념] 정적분의 계산(미적분의 기본정리)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{148}{3}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $15$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분을 구한다: $F(x)=\frac{x\left(x^2-6x+18\right)}{3}$
❷ $F(2)-F(-1)$를 계산한다.
❸ $F(2)=\frac{20}{3}$, $F(-1)=-\frac{25}{3}$이므로 값은 $15$이다.

[핵심 개념] 정적분의 계산(미적분의 기본정리)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $15$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ② $\frac{9}{4}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부정적분을 구하면 $F(x)=\frac{x\left(-3x^3-4x^2+2x+12\right)}{4}$이다.
❷ 미적분의 기본정리에 의해 구하는 값은 $F(0)-F(-1)$이다.
❸ $F(0)=0$, $F(-1)=-\frac{9}{4}$이므로 값은 $\frac{9}{4}$이다.

[핵심 개념] 다항함수의 정적분 계산(미적분의 기본정리)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{9}{4}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.