고등 수학 등차수열과 등비수열의 복합 활용 예상문제

🔴 정답: 160
📌 초정밀 풀이
❶ 등비수열의 합 공식 $S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ ($r\ne 1$)을 사용한다.
❷ $a_1=4,r=3,n=4$를 대입하면 $S_4=\frac{4(3^4-1)}{3-1}$이다.
❸ $3^4=81$이므로 분자는 $4\times 80=320$이고, $S_4=\frac{320}{2}=160$이다.
[오답 확인]
공비 공식에서 분모를 $r+1$로 착각하거나 $3^4$ 대신 $3^3=27$을 사용하면 각각 다른 오답이 나온다. 정확한 공식과 지수 계산이 필요하다.
[핵심 개념]
등비수열의 합 공식과 지수 계산.
[검증]
직접 각 항을 나열하면 $4,12,36,108$이고 이를 모두 더하면 $4+12+36+108=160$으로 공식 계산과 일치한다.

[오답 해설]
- 1번 (52): 등비수열의 합 공식을 제4항까지가 아니라 제3항까지만 적용한(항 개수를 착각한) 오류이다.
- 2번 (80): 등비수열 합 공식의 분모를 $r-1$이 아닌 $r+1$로 잘못 사용해 $\frac{4\times 80}{4}=80$으로 계산한 오류이다.
- 3번 (162): $3^4-1$에서 $1$을 빼는 것을 잊고 $\frac{4\times 81}{2}=162$로 계산한 오류이다.
- 4번 (320): 분자 $4\times 80=320$까지는 맞게 구했지만 분모 $(r-1)=2$로 나누는 것을 잊은 오류이다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 등차수열의 합 공식 $S_n=\frac{n}{2}\{2a_1+(n-1)d\}$를 사용한다.
❷ $a_1=2,d=4,n=10$을 대입하면 $S_{10}=\frac{10}{2}\{2\times 2+9\times 4\}$이다.
❸ 괄호 안을 계산하면 $4+36=40$이므로 $S_{10}=5\times 40=200$이다.
[오답 확인]
① 180, ② 190은 계산 과정에서 항의 개수나 공차 곱을 잘못 처리한 값이다. ④ 210, ⑤ 220은 $(n-1)$ 대신 $n$을 그대로 사용해 $S_{10}=\frac{10}{2}\{2\times 2+10\times 4\}=220$처럼 계산하는 흔한 오류에서 나온다.
[핵심 개념]
등차수열의 합 공식에서 $(n-1)d$의 $n-1$을 정확히 적용하는 것이 핵심이다.
[검증]
$a_{10}=2+9\times 4=38$이므로 $$S_{10}=\frac{(a_1+a_{10})\times 10}{2}=\frac{(2+38)\times 10}{2}=200$$으로 동일한 결과를 얻어 검증됨.

🔴 정답: 4번
📌 초정밀 풀이
❶ 등차수열의 일반항을 $a_n=a_1+(n-1)d$로 놓는다.
❷ $a_5-a_2=3d=14-5=9$이므로 $d=3$이다.
❸ $a_2=a_1+d=5$에서 $a_1=5-3=2$이다.
❹ 따라서 $a_{11}=a_1+10d=2+10\times 3=32$이다.
[오답 확인]
① 26, ② 29, ③ 30, ⑤ 35는 공차를 잘못 계산하거나($d$를 2 또는 2.5로 오인) 항의 개수를 $n$ 대신 $n-1$로 잘못 대입하는 등의 계산 실수에서 나올 수 있는 값이다. 정확히 $d=3,a_1=2$를 구해 대입하면 32만 성립한다.
[핵심 개념]
등차수열의 일반항 공식 $a_n=a_1+(n-1)d$와 두 항의 차를 이용해 공차를 구하는 방법.
[검증]
$a_1=2,d=3$이면 $a_2=5,a_5=2+12=14$로 조건을 모두 만족하고, $a_{11}=2+30=32$로 직접 계산으로 연립방정식을 풀어도 동일한 값이 나옴을 확인함.

[출제 의도 및 실전 개념]
등차수열의 합 공식과 절댓값 기호의 성질을 분석하는 문항입니다. $(|x|-x)$ 꼴의 식이 음수일 때만 값을 가진다는 성질을 명확히 파악해야 합니다.

[완벽 풀이]
1단계: 절댓값 식의 의미 파악
$a_k\ge 0$ 이면 $|a_k|-a_k=0$
$a_k<0$ 이면 $|a_k|-a_k=-2a_k$
주어진 식은 수열의 '음수 항들의 합'에 $-2$를 곱한 값입니다.
따라서 (음수 항들의 합) $=-26$ 입니다.

2단계: 수열의 구조 파악
전체 합은 양수($25$)이고 음수 항이 존재하므로, 이 수열은 음수에서 시작하여 양수로 커지는 공차 $d>0$ 인 등차수열입니다.
전체 10항의 합: $$S_{10}=5(2a_1+9d)=25⟹2a_1+9d=5⟹a_1=\frac{5-9d}{2}$$

3단계: 정수 조건을 활용한 공차 추론
제$m$항까지가 음수라고 합시다.
음수 항들의 합: $S_m=\frac{m(2a_1+(m-1)d)}{2}=-26$
$2a_1=5-9d$ 를 대입하면, $m(5-9d+md-d)=-52$
식 정리: $$m\{5-d(10-m)\}=-52⟹d=\frac{52+5m}{m(10-m)}$$
$m$은 $1\le m\le 9$인 자연수이므로, 하나씩 대입하여 $d$가 성립하는지 확인합니다.
$m=4$일 때, $d=\frac{52+20}{4\times 6}=3$ 으로 깔끔하게 떨어집니다.

4단계: $a_{10}$ 도출
$d=3$ 일 때 $2a_1+27=5⟹a_1=-11$.
실제로 $a_1=-11,a_2=-8,a_3=-5,a_4=-2$ 이며 이들의 합은 $-26$으로 조건에 완벽히 부합합니다.
따라서 $a_{10}=a_1+9d=-11+27=16$.

🔴 정답: 4번
📌 초정밀 풀이
❶ 등비수열의 일반항은 $a_n=a_1{r}^{n-1}$이다.
❷ $a_1=3,r=2$이므로 $a_6=3\times 2^5$이다.
❸ $2^5=32$이므로 $a_6=3\times 32=96$이다.
[오답 확인]
① 48은 $2^4=16$을 사용($n-1$ 대신 $n-2$ 지수 오류)한 값, ② 64는 $a_1$을 곱하지 않고 $2^6$을 계산한 값, ③ 80은 단순 계산 실수, ⑤ 192는 지수를 $n$으로 잘못 사용해 $3\times 2^6$을 계산한 값이다.
[핵심 개념]
등비수열의 일반항 공식 $a_n=a_1{r}^{n-1}$에서 지수가 $n-1$임을 정확히 적용하는 것이 핵심이다.
[검증]
직접 계산으로 $3\cdot 2^{6-1}$을 계산하면 96이 나와 일치함을 확인함.

[STEP 1] 유리화 (분모의 무리수 제거)
$$\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}=\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{(\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k})(\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k})}=\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{a_{k+1}-a_k}$$

[STEP 2] 등차수열 조건 적용
$\{a_n\}$이 공차 $d>0$인 등차수열이므로 $a_{k+1}-a_k=d$ (상수)이다.

$$\frac{1}{\sqrt{a_{k+1}}+\sqrt{a_k}}=\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{d}$$

[STEP 3] 텔레스코핑(망원급수)
$$\sum _{k=1}^{24}\frac{\sqrt{a_{k+1}}-\sqrt{a_k}}{d}=\frac{1}{d}\left[(\sqrt{a_2}-\sqrt{a_1})+(\sqrt{a_3}-\sqrt{a_2})+\cdots +(\sqrt{a_{25}}-\sqrt{a_{24}})\right]$$

$$=\frac{\sqrt{a_{25}}-\sqrt{a_1}}{d}=\frac{\sqrt{a_{25}}-1}{d}$$

[STEP 4] 조건식에서 $d$ 결정
$a_{25}=a_1+24d=1+24d$이므로:

$$\frac{\sqrt{1+24d}-1}{d}=4$$

$$\sqrt{1+24d}=4d+1$$

양변을 제곱:
$1+24d=16d^2+8d+1$
$16d^2-16d=0$
$16d(d-1)=0$

$d>0$이므로 $d=1$

[STEP 5] $a_{25}$ 결정
$$a_{25}=1+24(1)=25$$

[STEP 6] 검산
$a_n=n$이므로 $\frac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$
$$\sum _{k=1}^{24}(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=\sqrt{25}-\sqrt{1}=5-1=4$$ ✓

[핵심 통찰]
▸ $\frac{1}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$를 보면 유리화를 즉시 시도
▸ 등차수열 조건이 있어야 분모 $a_{k+1}-a_k=d$가 상수가 되어 텔레스코핑 가능
▸ 텔레스코핑의 결과: 처음 항과 마지막 항만 남음

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ $a_1=a$라 하면 공차가 $3$이므로 $a_2=a+3$, $a_4=a+9$이다.
❷ $a_1,a_2,a_4$가 등비수열을 이루므로 등비중항 관계 $a_2^2=a_1\times a_4$가 성립한다.
❸ $(a+3{)}^2=a(a+9)$를 전개하면 $a^2+6a+9=a^2+9a$이다.
❹ 정리하면 $9=3a$이므로 $a=3$이다.
[오답 확인]
① 1, ② 2, ④ 4, ⑤ 5는 등비중항 공식을 세우는 과정에서 $a_2^2=a_1{a}_4$가 아니라 $a_2=a_1{a}_4$ 등으로 잘못 세우거나 전개 과정에서 부호·항을 누락했을 때 나오는 값이다.
[핵심 개념]
등차수열의 특정 세 항이 등비수열을 이룰 조건은 등비중항 관계식을 세워 방정식을 푸는 것이다.
[검증]
$a_1=3$이면 $a_2=6,a_4=12$이고 $6^2=36=3\times 12$가 성립하므로 공비 $2$인 등비수열 조건을 만족함을 확인함.

🔴 정답 ③ $-\frac{18}{5}$

📌 초정밀 풀이
❶ 등차수열의 일반항은 $a_n=6+(n-1)d$이다.
❷ $a_7$, $a_8$, $a_{10}$이 등비수열을 이루므로 $a_8^2=a_7\cdot a_{10}$이 성립한다.
❸ 이를 $d$에 대한 방정식으로 풀면 (공차 $\ne 0$ 조건에서) $d=-\frac{6}{5}$이다.
❹ 따라서 $a_9=6+(9-1)\times (-\frac{6}{5})=-\frac{18}{5}$이다.

[핵심 개념] 등차수열의 세 항이 등비수열을 이룰 조건($($중항${)}^2=$양끝항의 곱$)$