고등 수학 도함수의 활용 종합(최대최소, 접선의 개수 등) 예상문제

🔴 정답 ② $-7$

📌 초정밀 풀이
❶ 접선의 기울기를 구하는 단계 → $y^{\prime }=3x^2-3$이므로 $x=2$에서 기울기는 $3(4)-3=9$
❷ 접선의 방정식: $y-2=9(x-2)\Rightarrow y=9x-16$
❸ $y$절편은 $-16$
❹ 기울기와 $y$절편의 합: $9+(-16)=-7$

[오답 확인]
① $-10$: 도함수에서 $-3$항을 빠뜨려 기울기를 $12$로 잘못 구한 경우
③ $9$: $y$절편을 원점을 지나는 것으로 착각해 $f(0)=0$을 더한 경우
④ $11$: 기울기의 부호를 반대로($-9$) 계산해 $y$절편을 $20$으로 얻은 경우
⑤ $25$: 접점을 $(-2,-2)$ 근처로 착각해 계산한 경우

[핵심 개념] 접선의 방정식(미분계수와 한 점을 이용)

🔴 정답 ② $-13$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)=0\Rightarrow x=0,\pm 2$
❷ 함숫값: $f(0)=3,f(2)=16-32+3=-13,f(-2)=16-32+3=-13$
❸ 최솟값은 $-13$

[오답 확인]
① $-16$: 항 정리 과정에서 계산 실수로 상수항을 빠뜨린 경우
③,④ $-10,-5$: 곱셈이나 부호 처리 과정에서 나온 계산 실수값
⑤ $3$: $x=0$에서의 함숫값(극댓값)을 최솟값으로 착각한 경우

[핵심 개념] 사차함수의 최댓값·최솟값(임계점 전수 비교)

🔴 정답 ③ $10$

📌 초정밀 풀이
❶ 세로의 길이는 $20-x$이므로 넓이 $S(x)=x(20-x)=20x-x^2$
❷ $S^{\prime }(x)=20-2x=0\Rightarrow x=10$
❸ $S^{\prime \prime }(x)=-2<0$이므로 $x=10$에서 최대

[오답 확인]
①,④ $5,15$: $x$와 $20-x$의 관계를 반대로 대입한 계산 실수
② $8$: 둘레 공식을 잘못 세워 나온 값
⑤ $20$: 둘레의 절반을 가로 길이로 착각한 경우

[핵심 개념] 도함수를 이용한 최대·최소(둘레 고정, 넓이 최적화)

🔴 정답 ② $3$

📌 초정밀 풀이
❶ 극값을 구하는 단계 → $f^{\prime }(x)=-3x^2+3=0\Rightarrow x=\pm 1$
❷ 이계도함수 부호 판정: $f^{\prime \prime }(x)=-6x$이므로 $f^{\prime \prime }(1)=-6<0$(극대), $f^{\prime \prime }(-1)=6>0$(극소)
❸ 극댓값: $f(1)=-1+3+k=k+2$
❹ 조건 $k+2=5\Rightarrow k=3$

[오답 확인]
① $1$: $f(1)=1+3+k$처럼 세제곱의 부호를 잘못 처리한 경우
③ $5$: 극댓값 $5$를 그대로 $k$로 착각한 경우
④ $7$: 극댓값이 아닌 극솟값 $f(-1)=k-2=5$로 놓고 푼 경우
⑤ $-3$: 부호를 반대로 하여 $-k+2=5$로 계산한 경우

[핵심 개념] 삼차함수의 극값(임계점·이계도함수 판정)

🔴 정답 ② $-2$

📌 초정밀 풀이
❶ 최댓값·최솟값 후보를 구하는 단계 → 닫힌구간에서 삼차함수의 최댓값·최솟값은 극값과 양 끝점의 함숫값 중에서 결정된다.
❷ $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0$에서 임계점은 $x=0,2$
❸ 후보값 계산: $f(-1)=-2,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=2$
❹ 이 중 최솟값은 $-2$ ($x=-1,x=2$에서 동시에 달성)

[오답 확인]
① $-3$: 임계점 계산 과정에서 부호를 잘못 처리해 나온 값
③ $-1$: $f(0)$과 $f(2)$ 사이 값을 어림한 오류
④ $0$: 상수항만 남기고 계산한 실수
⑤ $2$: 최솟값이 아닌 최댓값(끝점값)을 답으로 고른 경우

[핵심 개념] 닫힌구간에서의 최댓값·최솟값(극값과 끝점 비교)

🔴 정답 ③ $2$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+8x=4x(x-1)(x-2)=0\Rightarrow x=0,1,2$
❷ 함숫값: $f(0)=k,f(1)=k+1,f(2)=k$
❸ 그래프 개형(사차, 최고차항 양수, 세 임계점)에서 $x=0,2$가 극소, $x=1$이 극대이므로 전체 최솟값은 $k$
❹ 조건 $k=2$

[오답 확인]
① $-2$: 부호를 반대로 처리한 계산 실수
② $1$: 극댓값 $f(1)=k+1$을 최솟값으로 착각해 $k+1=2\Rightarrow k=1$로 계산한 경우
④,⑤ $3,6$: 상수항을 잘못 더하거나 다른 임계점을 대입해 나온 오류

[핵심 개념] 사차함수의 최댓값·최솟값(그래프 개형 판단)

🔴 정답 ② $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 높이를 $h$라 하면 부피 조건 $x^{2}h=32\Rightarrow h=\frac{32}{x^2}$
❷ 뚜껑이 없으므로 겉넓이 $S(x)=x^2+4xh=x^2+\frac{128}{x}$
❸ $$S^{\prime }(x)=2x-\frac{128}{x^2}=0\Rightarrow 2x^3=128\Rightarrow x^3=64\Rightarrow x=4$$
❹ $x=4$ 전후로 $S^{\prime }$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $x=4$에서 최소

[오답 확인]
①,④ $2,8$: 겉넓이 식을 세우는 과정에서 옆면 개수(4개)를 빠뜨리거나 잘못 곱한 계산 실수
③ $6$: $x^3=64$를 푸는 과정의 계산 실수
⑤ $16$: 부피 조건에서 $h$를 구하는 과정의 계산 실수로 나온 값

[핵심 개념] 도함수를 이용한 겉넓이의 최소화(부피 제약)

🔴 정답 ③ $16$

📌 초정밀 풀이
❶ 직사각형의 가로는 $x$, 세로는 $12-x^2$이므로 $A(x)=x(12-x^2)=12x-x^3$
❷ $A^{\prime }(x)=12-3x^2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2$ ($0<x<2\sqrt{3}$에서 타당)
❸ $A^{\prime \prime }(x)=-6x<0$이므로 $x=2$에서 최대
❹ $A(2)=2(12-4)=16$

[오답 확인]
①,④ $8,20$: 임계점 계산이나 대입 과정에서 제곱을 빠뜨린 계산 실수
② $12$: 세로 길이를 $12-x$로 착각해 계산한 경우
⑤ $24$: 정의역의 끝값 부근으로 잘못 대입한 경우

[핵심 개념] 도함수를 이용한 도형의 최대 넓이