고등 수학 다항함수의 미분법 기초 예상문제

🔴 정답 ④ $1$

📌 초정밀 풀이
❶ 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수이므로 $f^{\prime }(x)=2x-3$을 구한다.
❷ $f^{\prime }(2)=2\cdot 2-3=4-3=1$

[오답 확인]
① $7$: 부호를 반대로 미분해 $f^{\prime }(x)=2x+3$으로 계산한 경우
② $-2$: 기울기 대신 함숫값 $f(2)=4-6=-2$를 구한 경우
③ $-1$: 계수 2를 빠뜨려 $f^{\prime }(x)=x-3$으로 계산한 경우
⑤ $4$: $-3$을 빠뜨려 $f^{\prime }(x)=2x$로 계산 후 대입한 경우

[핵심 개념] 접선의 기울기(도함수)

🔴 정답 ② $0$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=4x^3-4x$
❷ $f^{\prime }(-1)=4\cdot (-1{)}^3-4\cdot (-1)=-4+4=0$

[오답 확인]
① $8$: $(-1{)}^3$을 $1$로 잘못 계산해 $4-(-4)=8$로 계산한 경우
③ $-4$: $-4x$ 항을 빠뜨리고 $f^{\prime }(x)=4x^3$만 계산한 경우
④ $-2$: $-2x^2$의 도함수를 계수 2를 빠뜨려 $-2x$로 잘못 계산한 경우
⑤ $2$: $f^{\prime }(-1)$ 대신 $f(-1)=1-2+3=2$를 구한 경우

[핵심 개념] 다항함수의 도함수 계산

🔴 정답 ⑤ $2$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2+a$
❷ $f^{\prime }(1)=3+a=5$
❸ 위 식을 풀면 $a=2$

[오답 확인]
① $8$: $3+a=5$를 $a=5+3=8$로 부호를 반대로 계산한 경우
② $-2$: $3-a=5$로 식을 잘못 세워 $a=-2$를 얻은 경우
③ $4$: $f^{\prime }(1)$ 대신 $f(1)=1+a=5$로 계산한 경우
④ $5$: 계수 3을 빠뜨리고 $a=5$로 착각한 경우

[핵심 개념] 미분계수를 이용한 미정계수 결정

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $2$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $-4$

📌 초정밀 풀이
❶ 다항함수의 미분법(거듭제곱 미분법)으로 도함수를 구한다: $f^{\prime }(x)=3x^2-8x$
❷ $x=2$를 대입한다: $f^{\prime }(2)=3\cdot 2^2-8\cdot 2=12-16=-4$

[오답 확인]
① $12$: $-8x$ 항을 통째로 빠뜨리고 $f^{\prime }(x)=3x^2$로 계산한 경우
② $4$: $-8x$에서 $x$를 빠뜨려 $f^{\prime }(x)=3x^2-8$로 잘못 미분한 경우
④ $-3$: $f^{\prime }(2)$ 대신 $f(2)=8-16+5=-3$을 구한 경우
⑤ $28$: $-8x$의 부호를 $+8x$로 착각한 경우

[핵심 개념] 다항함수의 도함수(거듭제곱 미분법)

🔴 정답 ① $12$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=6x^2-6x$
❷ $f^{\prime }(-1)=6\cdot (-1{)}^2-6\cdot (-1)=6+6=12$

[오답 확인]
② $0$: $(-1{)}^2$을 $-1$로 잘못 계산한 경우
③ $9$: $-3x^2$의 도함수를 계수 2를 빠뜨려 $-3x$로 잘못 구한 경우
④ $-1$: $f^{\prime }(-1)$ 대신 $f(-1)=-2-3+4=-1$을 구한 경우
⑤ $8$: $2x^3$의 도함수를 계수 3을 빠뜨려 $2x^2$로 잘못 구한 경우

[핵심 개념] 다항함수의 도함수

🔴 정답 ② $10$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=12x^2-10x+2$이다.
❷ $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+\frac{1}{3}h)-f(2)}{h}=\frac{1}{3}\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+\frac{1}{3}h)-f(2)}{\frac{1}{3}h}=\frac{1}{3}{f}^{\prime }(2)$$이다.
❸ $f^{\prime }(2)=30$이므로 구하는 값은 $\frac{1}{3}\times (30)=10$이다.

[핵심 개념] 미분계수의 정의 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+ch)-f(a)}{h}=c{f}^{\prime }(a)$

🔴 정답 ⑤ $30$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-2x-3$이다.
❷ $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-3+1h)-f(-3)}{h}=1\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(-3+1h)-f(-3)}{1h}=1f^{\prime }(-3)$$이다.
❸ $f^{\prime }(-3)=30$이므로 구하는 값은 $1\times (30)=30$이다.

[핵심 개념] 미분계수의 정의 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+ch)-f(a)}{h}=c{f}^{\prime }(a)$

🔴 정답 ⑤ $6$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=12x^2+6x+2$이다.
❷ $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+3h)-f(0)}{h}=3\cdot \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(0+3h)-f(0)}{3h}=3f^{\prime }(0)$$이다.
❸ $f^{\prime }(0)=2$이므로 구하는 값은 $3\times (2)=6$이다.

[핵심 개념] 미분계수의 정의 $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+ch)-f(a)}{h}=c{f}^{\prime }(a)$