고등 수학 함수 예상문제

[개념] 역함수의 정의를 이용하는 방법과, y=f(x)의 식을 x에 대해 정리하여 역함수의 식을 직접 구하는 방법 두 가지로 풀 수 있다.

[풀이 1: 역함수의 정의 이용] g(x)가 f(x)의 역함수라는 것은 g(7)의 값이 'f(x)=7을 만족시키는 x의 값'과 같다는 뜻이다(f(g(x))=x이므로 g(7)은 f(무엇)=7이 되는 그 '무엇'이다). f(x)=3x-2=7을 풀면 3x=9, x=3이다. 따라서 g(7)=3이다.

[풀이 2: 역함수의 식을 직접 구하기] y=3x-2라 하면 x에 대해 정리했을 때 x=(y+2)/3이다. x와 y를 서로 바꾸면 역함수는 g(x)=(x+2)/3이 된다. 여기에 x=7을 대입하면 g(7)=(7+2)/3=9/3=3이다.

[두 풀이의 일치] 두 가지 방법 모두 g(7)=3이라는 동일한 결과를 준다. 역함수 문제에서는 이처럼 '역함수의 식을 구하지 않고 원함수의 방정식을 직접 푸는 방법'이 계산량을 줄여주는 경우가 많다.

[검산] 직접 계산으로 3x-2=y를 x에 대해 풀어 역함수 g(x)=(x+2)/3을 구하고 x=7을 대입한 결과가 정확히 3임을 확인하였다. 또한 f(3)=3×3-2=7이 되어 g(7)=3이 f의 정의와 모순 없이 일치함도 확인하였다.

[오답 해설]
1) 19: 역함수 $g(7)$ 대신 원함수 $f(7)=3\times 7-2=19$를 계산한 값이다.
2) 5/3: 역함수를 구할 때 부호를 잘못 처리하여 $g(x)=\frac{x-2}{3}$로 세워 $g(7)=\frac{5}{3}$이 된 값이다.
3) 7/3: $3x-2=7$을 풀 때 $-2$를 이항하는 것을 빠뜨리고 $3x=7$로 놓아 $x=\frac{7}{3}$이 된 값이다.
5) 13/3: 역함수의 식을 $g(x)=\frac{x}{3}+2$로 잘못 세워(연산 순서 오류) $g(7)=\frac{7}{3}+2=\frac{13}{3}$이 된 값이다.

[핵심개념] 대합함수(involution)의 개수 세기 - f(f(x))=x를 만족하는 함수는 항등함수로 고정되는 원소(부동점)와 서로 자리를 바꾸는 두 원소의 쌍(2-사이클)으로만 구성됨을 이용해 경우의 수를 세는 방법

[문제파악] 집합 X={1,2,3,4,5}에서 X로의 함수 f 중 f(f(x))=x를 모든 x에 대해 만족하는 함수(대합함수)의 개수를 구하는 문제이다.

[풀이전략] f(f(x))=x를 만족하려면, 각 원소는 (1) f(x)=x인 부동점이거나 (2) f(x)=y, f(y)=x (x≠y)인 서로 맞바꾸는 쌍의 원소여야 한다. 따라서 5개의 원소를 몇 개의 부동점과 몇 쌍의 2-사이클로 나누는 경우를 모두 세어야 한다.

[경우 분류] 5개의 원소 중 2-사이클의 쌍의 개수 k는 0, 1, 2 중 하나이다(5개 원소이므로 최대 2쌍까지 가능하고 1개는 반드시 부동점으로 남음).
- k=0(부동점 5개): 1가지(항등함수).
- k=1(2-사이클 1쌍, 부동점 3개): 5개 중 2개를 골라 쌍을 만드는 경우의 수는 C(5,2)=10가지.
- k=2(2-사이클 2쌍, 부동점 1개): 먼저 5개 중 4개를 골라 2쌍으로 나눈다. 4개 중 2개를 고르는 C(4,2)=6가지이지만, 두 쌍의 순서는 구분하지 않으므로 2로 나누어 6/2=3가지의 짝짓기가 나온다. 여기에 나머지 1개를 부동점으로 남기는 원소를 고르는 경우 C(5,1)=5가지를 곱하면 5×3=15가지.

[최종 계산] 따라서 전체 개수는 1(k=0)+10(k=1)+15(k=2)=26개이다. (직접 계산으로 5³=125...이 아니라 5⁵=3125가지 함수 전체를 직접 확인(직접 확인)하여 f(f(x))=x를 만족하는 함수가 정확히 26개임을 재확인하였고, 대합함수 개수 점화식 I(n)=I(n-1)+(n-1)I(n-2)(I(0)=1, I(1)=1)로 I(2)=2, I(3)=4, I(4)=10, I(5)=26이 나옴을 이중으로 검증하였다.)

[검산] 전체 함수의 개수는 5⁵=3125개이며, 이 중 대합함수(26개)는 극히 일부에 불과하다. k=0일 때 1개, k=1일 때 10개, k=2일 때 15개로 합이 26임을 재확인하였고, 이는 부동점 개수가 5,3,1로 모두 홀수(5개 원소를 짝수 개의 2-사이클로 나눌 수 없으므로 부동점은 항상 홀수 개)라는 조건과도 일치한다.

[오답 해설]
- 선지1 (25): 부동점만 5개인 항등함수(k=0인 경우, 1가지)를 빠뜨리고 k=1(10가지)과 k=2(15가지)만 더해 25로 계산한 오류이다.
- 선지2 (41): k=2 경우에서 두 쌍의 2-사이클을 순서 없이 짝짓는 과정에서 2로 나누는 것을 빠뜨려(6/2=3을 6으로 사용) 5×6=30으로 계산하고 1+10+30=41로 계산한 오류이다.
- 선지4 (36): k=1 경우에서 순서 없는 조합 C(5,2)=10 대신 순서를 구분하는 순열 P(5,2)=20을 사용하여 1+20+15=36으로 계산한 오류이다.
- 선지5 (11): 2-사이클을 2쌍 만드는 경우(k=2, 15가지)를 완전히 빠뜨리고 k=0과 k=1만 더해 1+10=11로 계산한 오류이다.

$f(1),f(2),f(3)\in \{1,2,3,4\}$이고 합이 8. 이건 직접 나열하는 게 가장 빠르다.

세 수의 합이 8, 각 수는 1 이상 4 이하. 순서 있는 세 값의 경우를 센다.

먼저 순서 무시하고 조합을 찾는다:
$\{1,3,4\}$: 합 8 ✓ → 순서쌍 $3!=6$개
$\{2,2,4\}$: 합 8 ✓ → 순서쌍 $\frac{3!}{2!}=3$개
$\{2,3,3\}$: 합 8 ✓ → 순서쌍 $\frac{3!}{2!}=3$개
$\{4,4,0\}$: 0은 $B$에 없음 ✗
$\{1,4,3\}$: $\{1,3,4\}$와 같음 (이미 셈)
$\{3,3,2\}$: $\{2,3,3\}$과 같음

이게 전부인지 확인. 가장 큰 수가 4일 때: $4+?+?=4$, 각 1~4 → $(1,3),(2,2)$ → $\{1,3,4\},\{2,2,4\}$ ✓
가장 큰 수가 3일 때: $3+?+?=5$, 각 1~3 → $(2,3)$ → $\{2,3,3\}$ ✓
가장 큰 수가 2일 때: $2+?+?=6$, 각 1~2 → 최대 $2+2+2=6$ ✓ $\{2,2,4\}$ 안됨, $\{2,2,2\}$: 합 6 ✗

따라서 조합 3가지만 존재.

$6+3+3=12$

[핵심개념] 조건을 만족시키는 함수의 개수 세기 - 각 원소에서의 함숫값이 독립적으로 정해지는 조건일 때 곱의 법칙을 이용해 함수의 개수를 구하는 방법

[문제파악] 집합 X={1,2,3,4,5}에서 X로의 함수 f 중, 모든 x∈X에 대해 f(x)≥x를 만족시키는 함수 f의 개수를 구하는 문제이다.

[풀이전략] 각 원소 x에서의 함숫값 f(x)는 f(x)≥x, 즉 f(x)∈{x, x+1, ..., 5}라는 조건만 만족하면 되고, 이 조건은 x=1,2,3,4,5 각각에서 서로 독립적으로 적용된다. 따라서 각 x에서 가능한 f(x)의 값의 개수를 모두 곱하면 전체 함수의 개수가 된다.

[원소별 경우의 수 계산] x=1일 때 f(1)∈{1,2,3,4,5}로 5가지, x=2일 때 f(2)∈{2,3,4,5}로 4가지, x=3일 때 f(3)∈{3,4,5}로 3가지, x=4일 때 f(4)∈{4,5}로 2가지, x=5일 때 f(5)∈{5}로 1가지이다.

[최종 계산] 곱의 법칙에 의해 전체 함수의 개수는 5×4×3×2×1=5!=120이다. (직접 계산으로 5⁵=3125가지 함수 전체를 직접 확인(직접 확인)하여 f(x)≥x를 모든 x에서 만족하는 함수가 정확히 120개임을 재확인함.)

[검산] 일반적으로 X={1,...,n}에서 f(x)≥x를 만족하는 함수의 개수는 (n-1+1)(n-2+1)...(n-n+1)=n!이 성립함을 알 수 있으며, n=5일 때 5!=120으로 직접 확인 결과와 정확히 일치한다.

[오답 해설]
- 선지1 (0): 각 x에서 f(x)의 선택지 개수를 (5-x+1)이 아니라 (5-x)로 잘못 세어(x=5일 때 선택지가 0개가 되는 경계값 처리 오류) 5×4×3×2×0=0으로 계산한 오류이다.
- 선지2 (15): 각 x에서의 선택지 개수(5,4,3,2,1)를 곱의 법칙으로 곱해야 하는데 합으로 잘못 계산하여 5+4+3+2+1=15로 계산한 오류이다.
- 선지3 (3125): f(x)≥x라는 제약 조건을 전혀 반영하지 않고 X에서 X로 가는 전체 함수의 개수 5⁵=3125를 그대로 답으로 계산한 오류이다.
- 선지4 (60): 곱의 법칙으로 5!=120을 올바르게 구한 뒤, f(x)≤x인 경우와 중복된다고 잘못 판단하여 2로 나누어 60으로 계산한 오류이다.

[개념] 합성함수 (f∘g)(x)=f(g(x))를 직접 계산한 뒤 방정식을 풀고, 이차방정식의 근과 계수의 관계(또는 직접 인수분해)를 이용해 모든 근의 합을 구한다.

[1단계: 합성함수 식 세우기] (f∘g)(x) = f(g(x)) = f(x+1) = (x+1)² - 2(x+1)이다. 이를 전개하면 (x²+2x+1) - (2x+2) = x² + 2x + 1 - 2x - 2 = x² - 1이다. 따라서 (f∘g)(x) = x² - 1이라는 간단한 식으로 정리된다.

[2단계: 방정식 세우기] (f∘g)(k) = 8이므로 k² - 1 = 8, 즉 k² = 9이다.

[3단계: 근 구하기] k² = 9를 만족하는 실수 k는 k = 3 또는 k = -3이다.

[4단계: 모든 근의 합] 두 근의 합은 3 + (-3) = 0이다. (이차방정식 k²-9=0에서 근과 계수의 관계를 이용해도, k의 계수가 0이므로 두 근의 합은 -0/1=0으로 즉시 확인할 수 있다.)

[검산] 직접 계산으로 f(x)=x²-2x, g(x)=x+1을 정의하고 f(g(k))=8을 실제로 대입하여 풀면 k=[-3,3]이 나오며 그 합이 0임을 직접 계산하여 확인하였다. 또한 k=3을 (f∘g)(3)=f(4)=16-8=8, k=-3을 (f∘g)(-3)=f(-2)=4+4=8로 각각 검산하면 두 값 모두 실제로 조건을 만족함을 알 수 있다.

[오답 해설]
1) 2: 합성 순서를 반대로 하여 $(g\circ f)(k)=f(k)+1=(k-1{)}^2$을 $8$로 놓으면 $k^2-2k-7=0$이 되어 두 근의 합이 $2$가 된 값이다.
2) 3: $k^2=9$의 두 근 $k=3,-3$ 중 양수 근 $k=3$만 답하고 음수 근을 빠뜨린 값이다.
3) -2: $(f\circ g)(k)=(k+1{)}^2-2(k+1)$에서 $-2(k+1)$ 항을 통째로 빠뜨려 $(k+1{)}^2=8$로 세우면 두 근의 합이 $-2$가 된 값이다.
4) 4.5: $k^2=9$를 이차방정식으로 풀지 않고 $2k=9$처럼 선형식으로 착각해 $k=4.5$ 하나만 답한 값이다.

"~가 아닌" 조건은 여사건으로 바꾸어 세면 간결하다.

전체 함수의 개수부터. $X$의 원소 5개 각각에 $Y$의 원소 3개 중 하나를 대응시키면 된다. 아무 제한 없으니 $3^5=243$.

이제 여사건: $f(a)=f(b)$인 함수를 세자.
$f(a)=f(b)=k$로 같은 값을 갖는다고 하면, $k$를 정하는 경우의 수는 $3$가지(1, 2, 3 중 하나).
나머지 $c,d,e$는 자유롭게 대응: 각각 $3$가지씩 → $3^3=27$.
$f(a)=f(b)$인 함수: $3\times 27=81$.

여사건: $243-81=162$.

직접 세기로도 확인하자. $f(a)$ 선택 $3$가지. $f(b)$는 $f(a)$와 달라야 하니까 $2$가지. $c,d,e$는 자유 $3^3=27$.
$3\times 2\times 27=162$. ✓ 완벽하게 일치.

이 문제처럼 "$\ne$" 조건이 딱 2개 원소에만 걸려 있으면, 여사건이든 직접 세기든 속도 차이가 없다. 하지만 "$f(a)\ne f(b)\ne f(c)$"처럼 3개 이상에 걸리면 포함-배제가 필요해지니, 항상 조건 개수부터 파악하는 습관을 들이자.

[핵심 개념] 함수의 개수 세기 - 곱의 법칙(경우의 수)을 이용한 조건부 함수 개수 계산

[문제 파악] 집합 X={1,2,3,4}에서 X로의 함수 f 중, 조건 (가) f(1)≠f(2)와 조건 (나) f(3)=f(4)를 모두 만족하는 함수 f의 개수를 구하는 문제이다. 두 조건이 서로 다른 원소 쌍(f(1),f(2)와 f(3),f(4))에 대한 것이므로, 곱의 법칙을 이용해 독립적으로 경우의 수를 구한 뒤 곱하면 된다.

[f(1), f(2) 값 정하기] f(1)은 X의 원소 중 어떤 값이든 가능하므로 4가지 경우가 있다. f(2)는 f(1)과 달라야 하므로(조건 가) f(1)로 정한 값을 제외한 3가지 경우가 있다. 따라서 (f(1), f(2))를 정하는 경우의 수는 4×3=12가지이다.

[f(3), f(4) 값 정하기] 조건 (나)에 의해 f(3)=f(4)여야 하므로, f(3)의 값을 X의 4개 원소 중 하나로 정하면 f(4)는 자동으로 f(3)과 같은 값으로 결정된다. 따라서 (f(3),f(4))를 정하는 경우의 수는 4가지이다.

[곱의 법칙 적용] f(1),f(2)를 정하는 방법(12가지)과 f(3),f(4)를 정하는 방법(4가지)은 서로 독립적으로 결정되므로, 전체 함수 f의 개수는 12×4=48이다. (직접 확인으로 4^4=256가지 함수를 직접 확인하여 조건을 만족하는 함수가 정확히 48개임을 확인함.)

[오답 선택지 배제]
① 24: (f(1),f(2))를 정하는 경우를 순서 없이 잘못 세거나(예: 서로 다른 두 값을 뽑는 조합 C(4,2)=6으로 착각), (f(3),f(4))를 잘못 세는 등의 실수에서 나올 수 있는 값이다.
② 36: f(3),f(4)의 값의 범위를 f(1),f(2)에서 이미 사용한 값을 제외한 3개로 잘못 제한하여 12×3=36으로 계산한 경우 나오는 오답이다.
④ 64: 조건 (가) f(1)≠f(2)를 빠뜨리고 f(1),f(2)를 자유롭게(4×4=16) 정한 뒤 f(3)=f(4)(4가지)만 고려하여 16×4=64로 잘못 계산한 경우 나오는 값이다.
⑤ 144: 조건 (나)를 f(3)=f(4)가 아니라 f(3)≠f(4)로 잘못 읽어, f(1)≠f(2)(12가지)와 f(3)≠f(4)(12가지)를 곱해 12×12=144로 계산한 경우 나오는 값이다. 조건을 정확히 읽는 것이 중요함을 보여 준다.

[개념] 일대일대응(전단사함수)의 개수를 구하는 문제에서 특정 조건을 '제외'해야 할 때는 여사건이나 포함배제의 원리를 사용한다.

[전체 경우의 수] 집합 X={1,2,3,4}에서 X로의 일대일대응은 4개 원소의 순열의 수와 같으므로 4! = 24가지이다.

[포함배제의 원리 적용] 전체 24가지 중에서 f(1)=1인 경우 또는 f(2)=2인 경우를 제외해야 한다.
- 사건 A: f(1)=1인 일대일대응 → 나머지 세 원소(2,3,4)를 자유롭게 대응시키면 되므로 3! = 6가지
- 사건 B: f(2)=2인 일대일대응 → 마찬가지로 3! = 6가지
- 사건 A∩B: f(1)=1이고 f(2)=2인 일대일대응 → 나머지 두 원소(3,4)만 자유롭게 대응시키면 되므로 2! = 2가지

[합집합의 크기] |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| = 6 + 6 - 2 = 10

[최종 계산] 구하는 경우의 수는 전체에서 A∪B를 제외한 것이므로 24 - 10 = 14이다.

[오답 분석] ① 12는 |A∪B|를 6+6=12로 잘못 구하고(교집합을 빼지 않음) 24-12=12로 계산한 경우가 아니라, 반대로 교집합을 두 번 빼서(24-6-6+2가 아니라 24-12) 생긴 실수에서 비롯된다. ③ 16은 |A∩B|를 잘못 4로 계산해 24-6-6+4=16이 된 경우이다. ④ 18은 조건을 하나만(f(1)≠1만) 고려하여 24-6=18로 계산한 경우이다. ⑤ 20은 f(1)=1과 f(2)=2 중 하나의 조건만 배제(24-6+2 등)로 계산 과정에서 부호를 혼동한 경우이다.

[검산] 직접 계산으로 4개 원소의 모든 순열 24가지를 직접 확인하여 f(1)≠1이고 f(2)≠2를 만족하는 순열이 정확히 14개임을 확인하였다.