고등 수학 등비수열(일반항과 합) 예상문제

🔴 정답 ④ $48$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 등비수열의 일반항 $a_5$
❷ 개념: 등비수열의 일반항 공식 $a_n=a_1{r}^{n-1}$
❸ 계산: $a_1=3,r=2,n=5$를 대입하면 $a_5=3\times 2^4=3\times 16$
❹ 해석: $a_5=48$

[오답 확인]
① $16$: $a_1$을 곱하지 않고 $r^4=16$만 계산한 값
② $24$: $a_4=3\times 2^3=24$를 구해 답으로 착각한 값(지수 실수)
③ $36$: 단순 계산 실수
⑤ $96$: 지수를 $n=5$ 그대로 사용해 $3\times 2^5$를 계산한 값(지수 오적용)

[핵심 개념] 등비수열의 일반항 $a_n=a_1{r}^{n-1}$

🔴 정답 ③ $3$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 공비 $r$
❷ 개념: $a_3=a_1{r}^2$
❸ 계산: $36=4r^2\Rightarrow r^2=9\Rightarrow r=\pm 3$
❹ 해석: 모든 항이 양수이므로 $r>0$, 따라서 $r=3$

[오답 확인]
① $-3$: 양수 조건을 확인하지 않고 음의 근을 택한 값
② $\frac{3}{2}$: 계산 과정의 단순 실수
④ $8$: $(36-4)÷4=8$처럼 등차수열식으로 접근한 잘못된 풀이
⑤ $9$: $a_3=a_{1}r$로 지수를 잘못 적용해 $r=36÷4=9$로 계산한 값

[핵심 개념] 등비수열의 공비 구하기(양수 조건에 의한 근의 선택)

🔴 정답 ② $2$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 공비 $r$
❷ 개념: $a_5=a_2\cdot r^3$
❸ 계산: $48=6r^3\Rightarrow r^3=8\Rightarrow r=2$
❹ 해석: 모든 항이 양수이므로 $r$은 실근 중 양수인 $2$

[오답 확인]
① $-2$: 양수 조건을 무시하고 부호를 반대로 잡은 값(단, $(-2{)}^3=-8\ne 8$이므로 애초에 방정식도 만족 못함)
③ $3$, ④ $4$: 세제곱근 계산 과정에서의 단순 계산 실수
⑤ $8$: $r^3=8$에서 세제곱근을 취하지 않고 그대로 $r$로 착각한 값

[핵심 개념] 등비수열의 공비 구하기($a_n=a_1{r}^{n-1}$의 변형)

🔴 정답 ④ $80$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 등비수열의 첫째항부터 제4항까지의 합 $S_4$
❷ 개념: $S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$ ($r\ne 1$)
❸ 계산: $S_4=\frac{2(3^4-1)}{3-1}=\frac{2\times 80}{2}$
❹ 해석: $S_4=80$

[오답 확인]
① $-80$: 분모를 $(1-r)$로 잘못 적용해 부호가 반대로 나온 값
② $26$: $S_4$ 대신 $S_3=\frac{2(3^3-1)}{2}=26$을 구한 값(항 개수 실수)
③ $40$: $a_1$을 곱하지 않고 $\frac{3^4-1}{3-1}$만 계산한 값
⑤ $162$: 합이 아닌 한 항 $a_1{r}^4=2\times 81=162$를 계산한 값

[핵심 개념] 등비수열의 합 공식 $S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$

🔴 정답 ③ $50$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 공비가 $1$인 등비수열의 합 $S_{10}$
❷ 개념: $r=1$이면 모든 항이 $a_1$로 일정하므로 합 공식 $\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$을 쓸 수 없고(분모가 $0$), $S_n=n{a}_1$을 사용해야 함
❸ 계산: $S_{10}=10\times 5$
❹ 해석: $S_{10}=50$

[오답 확인]
① $0$: 공식 $\frac{r^n-1}{r-1}$에 $r=1$을 그대로 대입해 $\frac{0}{0}$을 $0$으로 잘못 처리한 값
② $45$: 항의 개수를 $9$개로 착각한 값
④ $55$: 항의 개수를 $11$개로 착각한 값
⑤ $500$: $n$을 제곱해 $5\times 10^2$처럼 계산한 단순 실수

[핵심 개념] 등비수열의 합(공비가 $1$인 특수한 경우)

🔴 정답 ② $87381$

📌 초정밀 풀이
❶ 등비수열의 합 공식 $S_n=\frac{b_1(1-r^n)}{1-r}$ ($r\ne 1$)을 적용한다.
❷ $$S_9=\frac{1\left(1-{\left(4\right)}^9\right)}{1-\left(4\right)}$$이다.
❸ 이를 계산하면 $S_9=87381$이다.

[핵심 개념] 등비수열의 합 공식

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $87381$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $16384$

📌 초정밀 풀이
❶ 등비수열의 일반항은 $b_n=b_1{r}^{n-1}$이다.
❷ $b_8=1\times {\left(4\right)}^7$이다.
❸ 이를 계산하면 $b_8=16384$이다.

[핵심 개념] 등비수열의 일반항 $b_n=b_1{r}^{n-1}$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $16384$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $-\frac{5}{16}$

📌 초정밀 풀이
❶ 등비수열의 일반항은 $b_n=b_1{r}^{n-1}$이다.
❷ $b_3=-5\times {\left(\frac{1}{4}\right)}^2$이다.
❸ 이를 계산하면 $b_3=-\frac{5}{16}$이다.

[핵심 개념] 등비수열의 일반항 $b_n=b_1{r}^{n-1}$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $-\frac{5}{16}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.