고등 수학 로그방정식과 로그부등식 예상문제

🔴 정답 ⑤ $19$

📌 초정밀 풀이
❶ 진수조건: $x-3>0\Rightarrow x>3$
❷ 로그의 정의에 따라 지수형태로 변환: ${\log }_2(x-3)=4\Rightarrow x-3=2^4=16$
❸ 따라서 $x=16+3=19$이고, $x>3$을 만족하므로 적합하다.

[오답 확인]
① $5$: $2^{4-3}=2$로 계산해 $x=2+3$을 잘못 구한 경우
② $11$: $x-3=2\times 4=8$로 지수를 곱셈으로 착각한 경우
③ $13$: $x-3=2^4$에서 부호를 반대로 써서 $x=16-3$으로 계산한 경우
④ $16$: $x-3$의 값을 그대로 $x$로 착각해 $3$을 더하지 않은 경우

[핵심 개념] 로그방정식의 정의(지수 변환) 및 진수조건

🔴 정답 ③ $8$

📌 초정밀 풀이
❶ 진수조건: $x-4>0\Rightarrow x>4$
❷ 부등식을 지수형태로 변환: $x-4\le 2^3=8\Rightarrow x\le 12$
❸ 두 조건을 연립하면 $4<x\le 12$이고, 이 범위의 자연수는 $x=5,6,7,8,9,10,11,12$로 총 $8$개.

[오답 확인]
① $3$: $x-4\le 3$로 지수변환을 하지 않고 그대로 계산한 경우
② $6$: $2^3$을 $6$으로 잘못 계산($2\times 3$)해 $x\le 10$으로 푼 경우
④ $9$: $2^3$을 $9$로 잘못 계산해 $x\le 13$으로 푼 경우
⑤ $12$: 진수조건($x>4$)을 빠뜨리고 $x=1$부터 $12$까지 모두 센 경우

[핵심 개념] 로그부등식의 풀이(진수조건+밑 변환)

🔴 정답 ② $11$

📌 초정밀 풀이
❶ 진수조건: $2x+3>0$
❷ 로그의 정의로 변환: ${\log }_5(2x+3)=2\Rightarrow 2x+3=5^2=25$
❸ $2x=22\Rightarrow x=11$이며 진수조건도 만족한다.

[오답 확인]
① $3.5$: $5^2$을 $5\times 2=10$으로 잘못 계산해 $2x+3=10$으로 푼 경우
③ $12.5$: $3$을 빼지 않고 $x=25÷2$로 계산한 경우
④ $14$: 부호를 잘못 읽어 $2x-3=25$로 계산한 경우
⑤ $22$: $2$로 나누지 않고 $x=25-3$으로 계산한 경우

[핵심 개념] 로그방정식의 정의(지수 변환) 및 진수조건

🔴 정답 ④ $2$

📌 초정밀 풀이
❶ 로그의 정의로 변환: ${\log }_{4}x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=4^{1/2}$
❷ $4^{1/2}=\sqrt{4}=2$이므로 $x=2$.
❸ $x>0$이므로 진수조건도 만족한다.

[오답 확인]
① $\frac{1}{16}$: 지수를 반대로 적용해 $x=4^{-2}$처럼 계산한 경우
② $\frac{1}{2}$: 우변 값을 그대로 답으로 쓴 경우
③ $\sqrt{2}$: 밑을 $4$가 아닌 $2$로 착각해 $x=2^{1/2}$로 계산한 경우
⑤ $16$: 지수를 뒤집어 $x=4^2$로 계산한 경우

[핵심 개념] 로그의 정의

🔴 정답 ③ $3$

📌 초정밀 풀이
❶ 진수조건: $x-2>0\Rightarrow x>2$
❷ 밑이 $0<\frac{1}{3}<1$이므로 부등호 방향이 바뀐다: $${\log }_{1/3}(x-2)\ge -1\Rightarrow x-2\le {\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}=3$$
❸ 따라서 $x\le 5$이고, $x>2$와 연립하면 $2<x\le 5$. 이 범위의 자연수는 $x=3,4,5$로 $3$개.

[오답 확인]
① $0$: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$의 부호를 잘못 계산해 $x-2\le -3$로 풀어 공집합이 된 경우
② $2$: 등호 포함을 빠뜨려 $x=5$를 제외하고 $x<5$로 좁게 잡은 경우($x=3,4$만 인정)
④ $5$: 진수조건 $x>2$를 빠뜨리고 $x\le 5$인 자연수 $1,2,3,4,5$를 모두 센 경우
⑤ $6$: 자연수가 아닌 $0$까지 포함해 $0,1,2,3,4,5$를 센 경우

[핵심 개념] 로그부등식(밑<1일 때 부등호 방향)

STEP 1. 진수 조건 확인 (풀이 전 선행)

${\log }_{2}x$ 의 진수 조건: x > 0
${\log }_2(x-6)$ 의 진수 조건: x - 6 > 0 -> x > 6

두 조건의 교집합: x > 6

STEP 2. 로그 합산

$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-6)={\log }_{2}x(x-6)=4$$

STEP 3. 지수 형태로 변환

$$x(x-6)=2^4=16$$
$$x^2-6x-16=0$$
$$(x-8)(x+2)=0$$
$$x=8\text{또는}x=-2$$

STEP 4. 진수 조건 대조

x = 8 -> 8 > 6 O (유효)
x = -2 -> -2 > 6 X (기각)

따라서 x = 8

핵심 정리

[핵심 1] 진수 조건은 풀이 시작 전에 먼저 구한다.
마지막에 검토하면 실수가 생기고 시간도 낭비된다.

[핵심 2] x = -2 가 이 문제의 함정이다.
이차방정식에서 나온 해가 진수 조건을 위반하면 반드시 버린다.
수능에서 x = -2 를 답으로 고르도록 유도하는 오답 설계이다.

[핵심 3] ${\log }_{a}M+{\log }_{a}N={\log }_{a}MN$ 은 M > 0, N > 0 일 때만 성립.
진수 조건이 이를 보장하므로 조건 확인 후 합산해야 올바르다.

정답: 3

🔴 정답 ③ $23$

📌 초정밀 풀이
❶ 진수조건 $x>0$하에서 $t={\log }_{3}x$로 치환하면 $t^2-4t+3<0$
❷ 인수분해: $(t-1)(t-3)<0\Rightarrow 1<t<3$
❸ $x=3^t$은 증가함수이므로 $3^1<x<3^3\Rightarrow 3<x<27$
❹ 이 범위의 정수는 $x=4,5,\dots ,26$이므로 개수는 $26-4+1=23$

[오답 확인]
① $5$: $3^3$을 $9$로 잘못 계산해 $3<x<9$로 좁게 잡은 경우
② $17$: $3^3$을 $21$로 잘못 계산해 $3<x<21$로 잡은 경우
④ $24$: 구간의 길이($27-3$)를 그대로 개수로 착각한 경우
⑤ $25$: 부등호에 등호를 잘못 포함해 $3\le x\le 27$의 정수(25개)를 센 경우

[핵심 개념] 로그부등식(치환, 이차부등식 꼴)

🔴 정답 ④ $11$

📌 초정밀 풀이
❶ 진수 조건: $x-8>0$, 즉 $x>8$.
❷ 로그의 정의에 의해 $x-8=3^1=3$이다.
❸ 따라서 $x=3+8=11$이고, 이는 진수 조건을 만족한다.

[핵심 개념] 로그방정식(진수 조건 확인 필수)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $11$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.