고등 수학 속도와 가속도 예상문제

🔴 정답 ⑤ $21$

📌 초정밀 풀이
❶ 가속도는 속도를 시간에 대해 미분한 것이므로 $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-21$이다.
❷ $t=7$를 대입하면 $a(7)=21$이다.

[핵심 개념] 가속도 $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $21$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 위치함수 $s(t)=t^3-5t^2+4t$를 시간 $t$에 대해 미분하여 속도함수 $v(t)$를 구한다.
$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-10t+4$
❷ $t=3$을 대입한다.
$v(3)=3(3{)}^2-10(3)+4=27-30+4=1$
❸ 따라서 $t=3$에서의 속도는 $1$이다.

[오답 확인]
① -6: 속도 $v(3)$ 대신 위치 $s(3)=27-45+12=-6$을 계산한 값이다(속도와 위치를 혼동).
② -3: $4t$를 미분할 때 상수항 $4$를 빠뜨려 $v(t)=3t^2-10t$로 잘못 구한 뒤 대입한 값이다($3(9)-10(3)=-3$).
④ 8: 속도함수 대신 가속도함수 $a(t)=6t-10$에 $t=3$을 대입한 값이다($6\cdot 3-10=8$), 속도와 가속도를 혼동.
⑤ 61: 미분 과정에서 부호를 잘못 처리하여 $v(t)=3t^2+10t+4$로 계산한 값이다($27+30+4=61$).

[핵심 개념] 위치함수 $s(t)$의 도함수 $s^{\prime }(t)$가 속도함수 $v(t)$이다. 즉 $v(t)=\frac{ds}{dt}$.

🔴 정답 ② $-3$

📌 초정밀 풀이
❶ 가속도는 속도를 시간에 대해 미분한 것이므로 $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-21$이다.
❷ $t=3$를 대입하면 $a(3)=-3$이다.

[핵심 개념] 가속도 $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $-3$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-18t+24=3(t-2)(t-4)=0\Rightarrow t=2$ 또는 $t=4$
❷ 방향이 바뀌려면 $v(t)=0$인 시각 전후로 부호가 바뀌어야 한다. $v(1)=3(1-2)(1-4)=9>0$, $v(3)=3(1)(-1)=-3<0$, $v(5)=3(3)(1)=9>0$이므로 $t=2$와 $t=4$ 모두에서 실제로 방향이 바뀐다.
❸ 처음으로 방향을 바꾸는 시각은 더 작은 값인 $t=2$이다.

[오답 확인]
① 8: 두 근의 곱 $2\times 4=8$을 답으로 착각한 경우.
② 4: 나중에(두 번째로) 방향을 바꾸는 시각을 답으로 잘못 선택한 경우.
④ 3: 두 근의 평균 $(2+4)/2=3$을 계산하여 답으로 착각한 경우.
⑤ 6: 두 근의 합 $2+4=6$을 답으로 착각한 경우.

[핵심 개념] 운동 방향이 바뀌는 시각은 $v(t)=0$이면서 그 전후로 $v(t)$의 부호가 실제로 바뀌는 시각이다. 단순히 $v=0$인 순간이라고 해서 모두 방향 전환은 아니다.

🔴 정답 ⑤ $12$

📌 초정밀 풀이
❶ 가속도는 속도를 시간에 대해 미분한 것이므로 $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-24$이다.
❷ $t=6$를 대입하면 $a(6)=12$이다.

[핵심 개념] 가속도 $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $12$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $-12$

📌 초정밀 풀이
❶ 가속도는 속도를 시간에 대해 미분한 것이므로 $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-18$이다.
❷ $t=1$를 대입하면 $a(1)=-12$이다.

[핵심 개념] 가속도 $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $-12$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $s(t)=t^3-3t^2+5t-1$을 미분하여 속도함수 $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-6t+5$
❷ $v(t)$를 다시 미분하여 가속도함수 $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-6$
❸ $a(2)=6(2)-6=6$

[오답 확인]
① 5: $v(2)=3(4)-6(2)+5=12-12+5=5$를 구해 가속도로 착각한 경우(속도-가속도 혼동).
② 9: $a(t)$를 미분 과정에서 상수항 처리를 잘못하여 $a(t)=6t-3$처럼 계산해 $6(2)-3=9$가 나온 경우.
④ 12: 상수항 $-6$을 빠뜨리고 $a(t)=6t$로 계산해 $6\times 2=12$가 나온 경우.
⑤ 18: 미분 시 부호를 반대로 하여 $a(t)=6t+6$으로 계산해 $6(2)+6=18$이 나온 경우.

[핵심 개념] 위치 $\to$ (미분) $\to$ 속도 $\to$ (미분) $\to$ 가속도. $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$.

🔴 정답 ② $3$

📌 초정밀 풀이
❶ 가속도는 속도를 시간에 대해 미분한 것이므로 $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-33$이다.
❷ $t=6$를 대입하면 $a(6)=3$이다.

[핵심 개념] 가속도 $a(t)=v^{\prime }(t)=x^{\prime \prime }(t)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $3$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.