고등 수학 지수 로그 방정식의 실생활 활용 예상문제

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $t=15.2$를 대입하면 $\frac{t}{3.8}=\frac{15.2}{3.8}=4$ 이다.
❷ 따라서 남은 비율은 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ 이다.
❸ 이를 계산하면 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$ 이다.

[오답 확인]
① $\frac{1}{4}$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$에 해당하며 이는 반감기 2번(7.6일) 경과한 값이다.
② $\frac{1}{8}$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$에 해당하며 반감기 3번(11.4일) 경과한 값이다.
④ $\frac{1}{32}$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$에 해당하며 19일 경과한 값이다.
⑤ $\frac{1}{64}$: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^6$에 해당하며 22.8일 경과한 값이다.

[핵심 개념]
반감기 모델 $A(t)=A_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{t/h}$에서 경과 시간이 반감기의 정수배일 때는 지수만 계산하면 되는 지수함수의 성질을 이용한다.

[검증]
15.2일은 3.8일의 정확히 4배이므로 반감기를 4번 거친 것과 같다. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$으로 직접 계산한 결과와 일치한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $\text{pH}=-{\log }_{10}[{\text{H}}^{+}]$이므로 $[{\text{H}}^{+}]=10^{-\text{pH}}$ 이다.
❷ 수용액 A: $[{\text{H}}^{+}{]}_A=10^{-3}$, 수용액 B: $[{\text{H}}^{+}{]}_B=10^{-5}$
❸ $$\frac{[{\text{H}}^{+}{]}_A}{[{\text{H}}^{+}{]}_B}=\frac{10^{-3}}{10^{-5}}=10^2=100$$

[오답 확인]
① 10배: pH 차이 1일 때의 배수이다(pH 차이를 잘못 계산).
② 50배, ④ 500배: 지수 계산 없이 배수를 어림한 오답이다.
⑤ 1000배: pH 차이가 3인 경우($10^3$)에 해당하는 값으로, pH 차이를 잘못 구한 경우이다.

[핵심 개념]
pH가 낮을수록 수소 이온 농도가 크며, pH 차이가 n이면 농도는 $10^n$배 차이가 난다는 로그의 정의를 활용한다.

[검증]
pH 차이는 $5-3=2$이므로 농도비는 $10^2=100$이다. 직접 대입해도 $10^{-3}/10^{-5}=100$으로 일치한다.

[정답 확인]
최종 답은 100배이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

🔴 정답: 4번

📌 초정밀 풀이
❶ A지점: $$60=10{\log }_{10}\frac{I_A}{I_0}\Rightarrow {\log }_{10}\frac{I_A}{I_0}=6$$
❷ B지점: $$100=10{\log }_{10}\frac{I_B}{I_0}\Rightarrow {\log }_{10}\frac{I_B}{I_0}=10$$
❸ 두 식을 빼면 $${\log }_{10}\frac{I_B}{I_A}={\log }_{10}\frac{I_B}{I_0}-{\log }_{10}\frac{I_A}{I_0}=10-6=4$$ 이므로 $\frac{I_B}{I_A}=10^4=10000$ 이다.

[오답 확인]
① 10, ② 100, ③ 1000: 데시벨 차이(40dB)를 10dB당 10배가 아니라 더 작은 배수로 잘못 계산한 경우이다.
⑤ 100000: $10^5$으로 계산한 경우로, dB 차이를 50으로 착각한 오류이다.

[핵심 개념]
데시벨 차이 $\Delta L=10{\log }_{10}\frac{I_2}{I_1}$이므로 $\frac{I_2}{I_1}=10^{\Delta L/10}$이라는 로그의 실생활 활용 공식을 이용한다.

[검증]
$\Delta L=100-60=40$이므로 $\frac{I_B}{I_A}=10^{40/10}=10^4=10000$으로 일치한다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 세균의 개체 수 모델은 $N(t)=500\times 2^{\frac{t}{20}}$ 이다.
❷ $N(t)=4000$ 이 되는 t를 구하기 위해 방정식을 세우면 $500\times 2^{\frac{t}{20}}=4000$ 이다.
❸ 양변을 500으로 나누면 $2^{\frac{t}{20}}=8=2^3$ 이므로 지수를 비교하면 $\frac{t}{20}=3$, 즉 $t=60$ 이다.

[오답 확인]
① 40분: $2^{40/20}=2^2=4$이므로 개체 수는 2000마리에 불과하다.
② 50분: $2^{50/20}=2^{2.5}\approx 5.66$이므로 4000마리에 미치지 못한다.
④ 70분: $2^{70/20}=2^{3.5}\approx 11.3$이므로 4000마리를 이미 초과한 시점이다.
⑤ 80분: $2^{80/20}=2^4=16$이므로 8000마리로 4000마리를 훨씬 초과한다.

[핵심 개념]
지수함수를 이용한 실생활 증가 모델에서 지수방정식 $a^{f(t)}=a^{g(t)}\Rightarrow f(t)=g(t)$ (밑이 1이 아닌 양수일 때)의 원리를 활용한다.

[검증]
$t=60$을 대입하면 $N(60)=500\times 2^3=500\times 8=4000$(마리)로 정확히 일치한다. (직접 계산으로 방정식을 풀어도 $t=60$ 하나만 해로 나온다.)

[정답 확인]
최종 답은 60분이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

🔴 정답 ③ $4$시간 후

📌 초정밀 풀이
❶ $t$시간 후의 양은 $N(t)=75\times 2^{t/2}$이다.
❷ $N(t)=300$이 되려면 $75\times 2^{t/2}=300$, 즉 $2^{t/2}=2^2$이다.
❸ 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\frac{t}{2}=2$, 즉 $t=2\times 2=4$이다.

[핵심 개념] 지수함수의 실생활 활용(증식·증가 모형)과 지수방정식

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $4$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ② $3$주 후

📌 초정밀 풀이
❶ $t$주 후의 양은 $N(t)=75\times 2^{t/1}$이다.
❷ $N(t)=600$이 되려면 $75\times 2^{t/1}=600$, 즉 $2^{t/1}=2^3$이다.
❸ 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\frac{t}{1}=3$, 즉 $t=1\times 3=3$이다.

[핵심 개념] 지수함수의 실생활 활용(증식·증가 모형)과 지수방정식

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $3$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $9$개월 후

📌 초정밀 풀이
❶ $t$개월 후의 양은 $N(t)=81\times {\left(\frac{1}{3}\right)}^{t/3}$이다.
❷ $N(t)=3$이 되려면 $${\left(\frac{1}{3}\right)}^{t/3}=\frac{3}{81}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3$$이다.
❸ 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\frac{t}{3}=3$, 즉 $t=3\times 3=9$이다.

[핵심 개념] 지수함수의 실생활 활용(감소·붕괴 모형)과 지수방정식

🔴 정답 ④ $8$시간 후

📌 초정밀 풀이
❶ $t$시간 후의 양은 $N(t)=20\times 2^{t/2}$이다.
❷ $N(t)=320$이 되려면 $20\times 2^{t/2}=320$, 즉 $2^{t/2}=2^4$이다.
❸ 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $\frac{t}{2}=4$, 즉 $t=2\times 4=8$이다.

[핵심 개념] 지수함수의 실생활 활용(증식·증가 모형)과 지수방정식

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $8$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.