고등 수학 지수방정식과 지수부등식 예상문제

🔴 정답 ② $3$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>\frac{1}{16}$을 만족시키는 자연수 $x$의 최댓값
❷ 개념: $\frac{1}{16}={\left(\frac{1}{2}\right)}^4$이고, 밑 $\frac{1}{2}$는 $0<\frac{1}{2}<1$이므로 지수함수가 감소함수 → 부등호 방향이 반대로 바뀜
❸ 계산: $${\left(\frac{1}{2}\right)}^x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\Rightarrow x<4$$
❹ 해석: $x<4$인 자연수는 $1,2,3$이므로 최댓값은 $3$.

[오답 확인]
① $2$: 부등호를 만족하는 값 중 최댓값이 아닌 값을 고른 경우
③ $4$: 밑이 1보다 작아 부등호가 바뀌는 것을 놓치고 $x\le 4$로 착각한 경우
④ $5$, ⑤ $6$: $\frac{1}{16}=2^{-4}$의 지수 부호를 반대로 사용한 경우

[핵심 개념] 지수부등식(밑<1, 부등호 방향)

🔴 정답 ② $2$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $3^{2x-1}\le 27$을 만족시키는 자연수 $x$의 최댓값
❷ 개념: $27=3^3$이며 밑 $3>1$이므로 지수함수는 증가함수 → 부등호 방향 유지
❸ 계산: $2x-1\le 3\Rightarrow x\le 2$
❹ 해석: $x\le 2$인 자연수는 $1,2$이므로 최댓값은 $2$.

[오답 확인]
① $1$: 최댓값이 아닌 다른 만족값을 고른 경우
③ $3$: $2x-1\le 3$을 $2x\le 3$으로 잘못 계산한 경우($x\le 1.5$를 반올림)
④ $4$: $27=3^4$으로 착각한 경우
⑤ $5$: 부등호를 무시하고 임의로 큰 값을 고른 경우

[핵심 개념] 지수부등식(밑>1)

🔴 정답 ① $-3$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 지수방정식 $3^x=\frac{1}{27}$의 해
❷ 개념: $\frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3}$ (음의 지수법칙)
❸ 계산: $3^x=3^{-3}\Rightarrow x=-3$
❹ 해석: 밑이 같으므로 지수를 비교하면 $x=-3$이 유일한 해.

[오답 확인]
② $-2$: $27=3^2$으로 잘못 계산한 경우
③ $-1$: $\frac{1}{27}$을 $3^{-1}$로 착각한 경우
④ $2$, ⑤ $3$: 음의 지수를 양수로 착각해 부호를 빠뜨린 경우

[핵심 개념] 지수방정식(음의 지수)

🔴 정답 ③ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 지수방정식 $2^{x-1}=8$의 해
❷ 개념: $8=2^3$이므로 우변을 밑이 2인 거듭제곱으로 통일
❸ 계산: $2^{x-1}=2^3\Rightarrow x-1=3\Rightarrow x=4$
❹ 해석: $x=4$가 유일한 실근이다.

[오답 확인]
① $2$: $x+1=3$처럼 부호를 반대로 계산한 경우
② $3$: $-1$을 무시하고 $2^x=8$로 풀어 $x=3$으로 착각한 경우
④ $5$: $x-1=4$로 지수를 잘못 읽은 경우
⑤ $6$: $8$을 $2^4$로 잘못 계산한 경우

[핵심 개념] 지수방정식(밑을 같게 하기)

🔴 정답 ④ $3$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $5^{x+1}=25^{x-1}$의 해
❷ 개념: $25=5^2$이므로 우변을 $5^{2(x-1)}=5^{2x-2}$로 변형
❸ 계산: $x+1=2x-2\Rightarrow 3=x\Rightarrow x=3$
❹ 해석: $x=3$이 유일한 실근.

[오답 확인]
① $-1$: $25$를 $5^1$로 착각해 $x+1=x-1$로 잘못 세운 경우
② $1$: 지수 전개 시 부호를 잘못 적용한 경우
③ $2$: $2(x-1)$을 $2x-1$로 잘못 전개한 경우
⑤ $5$: $x+1=2x+2$로 부호를 반대로 전개한 경우

[핵심 개념] 지수방정식(밑 통일, 지수법칙)

🔴 정답 ④ $9$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 지수부등식을 만족시키는 모든 정수 $x$의 합
❷ 개념: 밑 $\frac{1}{3}$은 $0<\frac{1}{3}<1$이므로 감소함수 → 지수를 비교할 때 부등호 방향이 반대로 바뀜
❸ 계산: $$x^2-2x\le x+4\Rightarrow x^2-3x-4\le 0\Rightarrow (x-4)(x+1)\le 0\Rightarrow -1\le x\le 4$$
❹ 해석: 이 범위의 정수는 $-1,0,1,2,3,4$이고, 합은 $-1+0+1+2+3+4=9$.

[오답 확인]
① $6$: 정수 하나($-1$ 또는 $4$)를 빠뜨리고 합을 구한 경우
② $7$: 경계값 중 하나를 빠뜨린 경우
③ $8$: $0$을 빠뜨리고 합을 구한 경우
⑤ $10$: 부등호 방향을 바꾸지 않아 범위를 잘못 구한 경우

[핵심 개념] 지수부등식(밑<1, 이차식 지수)

STEP 1. 치환 설정

t = $3^x$ (t > 0) 으로 치환한다.

$9^x=(3^2{)}^x=(3^x{)}^2=t^2$

$4\cdot 3^{x+1}=4\cdot 3\cdot 3^x=12t$

STEP 2. t 에 대한 이차방정식으로 변환

$$t^2-12t+27=0$$
$$(t-3)(t-9)=0$$
$$t=3\text{또는}t=9$$

STEP 3. x 로 역변환

$3^x=3=3^1$ -> x = 1
$3^x=9=3^2$ -> x = 2

t > 0 조건: t = 3, 9 모두 양수이므로 두 해 모두 유효.

STEP 4. 합산

$$1+2=3$$

핵심 정리

[핵심 1] 밑을 통일한 후 $t=(\text{공통 밑}{)}^x$ 으로 치환하면
지수방정식이 t 에 대한 다항방정식이 된다.
이것이 이 유형의 유일한 표준 풀이법이다.

[핵심 2] $4\cdot 3^{x+1}$ 을 반드시 $12\cdot 3^x$ 으로 변환해야 한다.
$3^{x+1}=3\cdot 3^x$ 임을 놓치면 계수 오류 발생.

[핵심 3] 치환 후 t > 0 조건 확인 필수.
$3^x>0$ 이므로 t 가 음수인 해는 버려야 한다.

정답: 3

🔴 정답 ③ $5$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 연립지수방정식을 만족하는 $x+y$
❷ 개념: 각 식을 밑이 같은 거듭제곱으로 통일하여 지수를 비교
❸ 계산: $2^x\cdot 4^y=2^x\cdot 2^{2y}=2^{x+2y}=2^6\Rightarrow x+2y=6$
$$\frac{3^x}{9^y}=3^x\cdot 3^{-2y}=3^{x-2y}=3^2\Rightarrow x-2y=2$$
두 식을 더하면 $2x=8\Rightarrow x=4$, 대입하면 $2y=2\Rightarrow y=1$
❹ 해석: $x+y=4+1=5$.

[오답 확인]
① $3$: $y$의 부호를 반대로 대입한 경우
② $4$: $x$만 구하고 $y$를 더하지 않은 경우
④ $6$: $x+2y=6$을 그대로 답으로 착각한 경우
⑤ $7$: $x-2y=2$의 부호 처리를 반대로 한 경우

[핵심 개념] 연립지수방정식