고등 수학 지수법칙과 지수 계산 예상문제

🔴 정답 ② $-3$

📌 초정밀 풀이
❶ $n$이 홀수일 때 세제곱근은 음수에 대해서도 실수 범위에서 유일하게 정의됨: $\sqrt[3]{-27}=x⟺x^3=-27$
❷ $(-3{)}^3=-27$이므로 $x=-3$

[오답 확인]
① $3$: 세제곱근의 부호를 양수로 착각한 경우
③ $9$: $\sqrt[3]{}$을 제곱근으로 착각해 $(-27)$과 관련 없는 값을 계산한 경우
④ $-9$: 세제곱을 제곱으로 착각한 경우
⑤ $-1$: $27=3^3$에서 밑만 취해 단순화한 계산 실수

[핵심 개념] 거듭제곱근(홀수차 거듭제곱근)의 정의

🔴 정답 ③ $8$

📌 초정밀 풀이
❶ $16=2^4$로 밑을 변환
❷ 유리수 지수법칙 $(a^m{)}^n=a^{mn}$ 적용: $16^{\frac{3}{4}}=(2^4{)}^{\frac{3}{4}}=2^{4\times \frac{3}{4}}=2^3$
❸ $2^3=8$

[오답 확인]
① $2$: 지수 $\frac{3}{4}$를 분모만 반영해 $2^{4/4}=2$로 잘못 계산한 경우
② $4$: $16^{\frac{3}{4}}$을 $\sqrt[4]{16}=2$로 계산을 멈추고 세제곱을 빠뜨린 뒤 다른 실수와 혼동한 경우
④ $12$: $4\times \frac{3}{4}$를 지수법칙이 아닌 단순 곱셈 $16\times \frac{3}{4}$로 착각한 경우
⑤ $64$: 지수를 $4\times 3=12$가 아니라 $16^3$처럼 지수 변환 없이 계산한 경우

[핵심 개념] 유리수 지수의 정의와 지수법칙 확장

🔴 정답 ③ $\frac{3}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ 지수법칙: $a\ne 0$일 때 $a^0=1$이므로 $5^0=1$
❷ 음의 지수법칙: $2^{-1}=\frac{1}{2}$
❸ 합산: $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

[오답 확인]
① $0$: $5^0$을 $0$으로 잘못 계산한 경우(밑의 0제곱과 지수 0을 혼동)
② $\frac{1}{2}$: $5^0=1$을 빠뜨리고 $2^{-1}$만 답으로 쓴 경우
④ $2$: $2^{-1}$을 $2$로 잘못 계산(부호 무시)한 뒤 $1+...$ 대신 단순 합산한 경우
⑤ $3$: $2^{-1}$을 $2$로 잘못 계산하고 $1+2=3$으로 답한 경우

[핵심 개념] 지수 0과 음의 지수의 정의

🔴 정답 ③ $9$

📌 초정밀 풀이
❶ 음의 지수법칙: $a^{-n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n$이므로 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=3^2$
❷ 계산: $3^2=9$

[오답 확인]
① $-9$: 지수 $-2$의 음의 부호를 결과값에 그대로 곱해버린 부호 실수
② $\frac{1}{9}$: 음의 지수를 뒤집지 않고 그대로 제곱한 경우(${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$)
④ $-\frac{1}{9}$: 뒤집기와 부호를 모두 잘못 처리한 경우
⑤ $6$: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$를 $\frac{1}{3}\times (-2)$ 형태로 오적용한 경우

[핵심 개념] 음의 정수 지수법칙

🔴 정답 ③ $1$

📌 초정밀 풀이
❶ 밑을 통일: $4^{-1}=(2^2{)}^{-1}=2^{-2}$
❷ 지수법칙 $a^m\times a^n=a^{m+n}$을 적용: $2^4\times 2^{-2}\times 2^{-2}=2^{4-2-2}=2^0$
❸ $2^0=1$

[오답 확인]
① $\frac{1}{4}$: 지수의 합을 $-2$로 잘못 계산한 경우
② $\frac{1}{2}$: 지수의 합을 $-1$로 잘못 계산한 경우
④ $2$: $4^{-1}$을 $2^{-1}$로 착각해 지수합을 $4-2-1=1$로 계산한 경우
⑤ $4$: $2^{-2}$항의 부호를 빠뜨리고 $4-2+2=4$로 계산한 경우

[핵심 개념] 지수법칙(밑의 통일, 지수의 덧셈)

🔴 정답 ② 9

📌 초정밀 풀이
❶ 지수법칙 $a^m\times a^n=a^{m+n}$을 적용한다.
❷ 지수를 더하면 $(1-\sqrt{3})+(1+\sqrt{3})=2$이다. 이때 $-\sqrt{3}$과 $+\sqrt{3}$이 정확히 상쇄되어 무리수 항이 사라지고 정수 $2$만 남는 것이 이 문제의 핵심이다.
❸ 따라서 $3^{1-\sqrt{3}}\times 3^{1+\sqrt{3}}=3^2=9$이다.

[오답 확인]
① 3 — 지수를 잘못 더해 $1$로 계산한 경우 나오는 값이다.
③ 27 — 지수를 $3$으로 착각(무리수 항을 임의로 $+1$ 처리)한 경우다.
④ 81, ⑤ 243 — 지수법칙을 $a^m\times a^n=a^{mn}$(곱셈)으로 잘못 적용하면 나올 수 있는 오답 유형이다.

[핵심 개념] 지수법칙(같은 밑의 곱셈) — $a^m\times a^n=a^{m+n}$

🔴 정답 ④ $2401$

📌 초정밀 풀이
❶ 거듭제곱근을 유리수 지수로 바꾼다: $\sqrt[3]{7^{11}}=7^{11/3}$, $\sqrt[3]{7^{-7}}=7^{-7/3}$, $\sqrt[3]{7^{-8}}=7^{-8/3}$
❷ 지수법칙 $a^m\times a^n÷a^k=a^{m+n-k}$을 적용하면 지수는 $\frac{11}{3}-\frac{7}{3}+\frac{8}{3}=4$이다.
❸ 따라서 식의 값은 $7^4=2401$이다.

[핵심 개념] 유리수 지수의 정의 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ 및 지수법칙

🔴 정답 ① $\frac{1}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ 거듭제곱근을 유리수 지수로 바꾼다: $\sqrt[3]{2^2}=2^{2/3}$, $\sqrt[3]{2^3}=2^1$, $\sqrt[3]{2^8}=2^{8/3}$
❷ 지수법칙 $a^m\times a^n÷a^k=a^{m+n-k}$을 적용하면 지수는 $2/3+1-8/3=-1$이다.
❸ 따라서 식의 값은 $2^{-1}=\frac{1}{2}$이다.

[핵심 개념] 유리수 지수의 정의 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ 및 지수법칙