고등 수학 지수함수 그래프의 평행이동과 대칭 예상문제

🔴 정답 ⑤ $-6$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=2^{x-a}+q$의 그래프는 $y=2^x$의 그래프를 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $q$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=q$이다. 점근선이 $y=-6$이므로 $q=-6$이다.
❷ 점 $(2,-2)$을 대입하면 $2^{2-a}-6=-2$, 즉 $2^{2-a}=4=4$이다.
❸ $2^2=4$이므로 $2-a=2$, 즉 $a=0$이다.
❹ 따라서 $a+q=0-6=-6$이다.

[핵심 개념] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선

🔴 정답 ① $-8$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=5^{x-a}+q$의 그래프는 $y=5^x$의 그래프를 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $q$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=q$이다. 점근선이 $y=-7$이므로 $q=-7$이다.
❷ 점 $(3,618)$을 대입하면 $5^{3-a}-7=618$, 즉 $5^{3-a}=625=625$이다.
❸ $5^4=625$이므로 $3-a=4$, 즉 $a=-1$이다.
❹ 따라서 $a+q=-1-7=-8$이다.

[핵심 개념] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선

🔴 정답 ① $10$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=5^{x-a}+q$의 그래프는 $y=5^x$의 그래프를 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $q$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=q$이다. 점근선이 $y=7$이므로 $q=7$이다.
❷ 점 $(5,32)$을 대입하면 $5^{5-a}+7=32$, 즉 $5^{5-a}=25=25$이다.
❸ $5^2=25$이므로 $5-a=2$, 즉 $a=3$이다.
❹ 따라서 $a+q=3+7=10$이다.

[핵심 개념] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선

🔴 정답 ② $-12$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=4^{x-a}+q$의 그래프는 $y=4^x$의 그래프를 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $q$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=q$이다. 점근선이 $y=-7$이므로 $q=-7$이다.
❷ 점 $(-3,9)$을 대입하면 $4^{-3-a}-7=9$, 즉 $4^{-3-a}=16=16$이다.
❸ $4^2=16$이므로 $-3-a=2$, 즉 $a=-5$이다.
❹ 따라서 $a+q=-5-7=-12$이다.

[핵심 개념] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선

🔴 정답: 4번

📌 초정밀 풀이
❶ 함수 $y=2^x$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동하면 $x$ 대신 $-x$를 대입한 식이 되므로 $y=2^{-x}$이다.
❷ 이 그래프가 점 $\left(a,\frac{1}{8}\right)$을 지나므로 $2^{-a}=\frac{1}{8}$이다.
❸ $\frac{1}{8}=2^{-3}$이므로 $2^{-a}=2^{-3}$, 즉 $-a=-3$이다. 따라서 $a=3$이다.

[오답 확인]
① $-3$: 대칭이동 후에도 지수의 부호를 바꾸지 않고 원래 함수 $2^x=\frac{1}{8}$로 풀어 $x=-3$을 그대로 답으로 착각한 경우이다.
② $-\frac{1}{3}$, ③ $\frac{1}{3}$: $\frac{1}{8}$을 $2^{-3}$이 아니라 다른 형태로 잘못 지수화한 경우에서 나올 수 있는 오답이다.
⑤ $8$: $\frac{1}{8}$의 분모를 그대로 답으로 쓴 경우이다.

[핵심 개념]
지수함수 $y=a^x$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동하면 $y=a^{-x}$가 된다. 이는 원래 함수의 그래프를 좌우로 뒤집는 것과 같다.

[검증] $a=3$을 대입하면 $2^{-3}=\frac{1}{8}$로 주어진 점의 $y$좌표와 정확히 일치한다.

🔴 정답 ② $2$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=2^{x-a}+q$의 그래프는 $y=2^x$의 그래프를 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $q$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=q$이다. 점근선이 $y=1$이므로 $q=1$이다.
❷ 점 $(4,9)$을 대입하면 $2^{4-a}+1=9$, 즉 $2^{4-a}=8=8$이다.
❸ $2^3=8$이므로 $4-a=3$, 즉 $a=1$이다.
❹ 따라서 $a+q=1+1=2$이다.

[핵심 개념] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선

🔴 정답 ① $-1$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=2^{x-a}+q$의 그래프는 $y=2^x$의 그래프를 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $q$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=q$이다. 점근선이 $y=0$이므로 $q=0$이다.
❷ 점 $(2,8)$을 대입하면 $2^{2-a}=8$, 즉 $2^{2-a}=8=8$이다.
❸ $2^3=8$이므로 $2-a=3$, 즉 $a=-1$이다.
❹ 따라서 $a+q=-1=-1$이다.

[핵심 개념] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선

🔴 정답 ③ $-2$

📌 초정밀 풀이
❶ $y=3^{x-a}+q$의 그래프는 $y=3^x$의 그래프를 $x$축 방향 $a$, $y$축 방향 $q$만큼 평행이동한 것이므로 점근선은 $y=q$이다. 점근선이 $y=1$이므로 $q=1$이다.
❷ 점 $(-1,10)$을 대입하면 $3^{-1-a}+1=10$, 즉 $3^{-1-a}=9=9$이다.
❸ $3^2=9$이므로 $-1-a=2$, 즉 $a=-3$이다.
❹ 따라서 $a+q=-3+1=-2$이다.

[핵심 개념] 지수함수 그래프의 평행이동과 점근선