고등 수학 지수함수와 로그함수의 최대최소 예상문제

🔴 정답: 8
📌 초정밀 풀이
❶ 밑이 $\frac{1}{2}$로 0과 1 사이이므로 $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)$은 감소함수이고, $k(x)$도 감소함수이다.
❷ 닫힌구간의 감소함수는 왼쪽 끝에서 최댓값, 오른쪽 끝에서 최솟값을 갖는다.
$M=k(0)={\log }_{\frac{1}{2}}(1)+5=0+5=5$
$m=k(3)={\log }_{\frac{1}{2}}(4)+5=-2+5=3$
❸ $M+m=5+3=8$
[오답 확인] 감소함수임을 놓치고 $x=3$에서 최댓값, $x=0$에서 최솟값이라 판단하면 개별 최댓값·최솟값 판단이 틀리게 된다. 또한 ${\log }_{\frac{1}{2}}4=-2$를 $2$로 잘못 계산하면 $M+m=12$처럼 틀린 값이 나온다.
[핵심 개념] $0<a<1$일 때 $y={\log }_{a}x$는 감소함수이며, ${\log }_{\frac{1}{2}}4={\log }_{2^{-1}}{2}^2=-2$이다.

[오답 해설]
- 1번 (-2): $M+m$에 상수항 $5$를 더하는 것을 잊고 ${\log }_{\frac{1}{2}}1+{\log }_{\frac{1}{2}}4=0+(-2)=-2$만 계산한 오류이다.
- 2번 (9): ${\log }_{\frac{1}{2}}4$를 $-2$가 아닌 $-1$로 잘못 계산해 $m=-1+5=4$, $M+m=5+4=9$가 된 계산 실수이다.
- 4번 (10): $M+m$을 구해야 하는데 $M(=5)$만 계산해두고 이를 두 번 더해 $2M=10$으로 답한 오류이다.
- 5번 (12): ${\log }_{\frac{1}{2}}4=-2$의 부호를 반대로 $2$로 잘못 계산해 $m=2+5=7$, $M+m=5+7=12$가 된 오류이다.

🔴 정답 ③ $78$

📌 초정밀 풀이
❶ 밑이 $3>1$이므로 $f(x)=3^x+1$는 증가함수이다.
❷ 따라서 $x=4$에서 최댓값 $M=f(4)=3^4+1=82$, $x=1$에서 최솟값 $m=f(1)=3^1+1=4$이다.
❸ 따라서 $M-m=82-(4)=78$이다.

[핵심 개념] 지수함수(밑>1)의 증가성을 이용한 닫힌구간에서의 최대·최소

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $78$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $15$

📌 초정밀 풀이
❶ 밑이 $2>1$이므로 $f(x)=2^x$는 증가함수이다.
❷ 따라서 $x=4$에서 최댓값 $M=f(4)=2^4=16$, $x=0$에서 최솟값 $m=f(0)=2^0=1$이다.
❸ 따라서 $M-m=16-(1)=15$이다.

[핵심 개념] 지수함수(밑>1)의 증가성을 이용한 닫힌구간에서의 최대·최소

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $15$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 4번
📌 초정밀 풀이
❶ 밑이 $\frac{1}{3}$로 0과 1 사이이므로 $g(x)$는 $x$에 대한 감소함수이다.
❷ 닫힌구간의 감소함수는 왼쪽 끝에서 최댓값, 오른쪽 끝에서 최솟값을 갖는다.
$M=g(-2)={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}+4=9+4=13$
$m=g(0)={\left(\frac{1}{3}\right)}^0+4=1+4=5$
❸ $M+m=13+5=18$
[오답 확인] 14번: 증가함수로 착각하여 최댓값과 최솟값을 바꿔 잘못된 항을 더한 경우. 16,17번: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9$ 계산에서 부호나 지수 처리를 실수한 경우. 22번: $M+m$ 대신 $2M=26$ 근처로 잘못 계산하거나 더하는 과정에서 항을 중복한 경우.
[핵심 개념] 지수함수 $y=a^x$ $(0<a<1)$는 감소함수이며, 닫힌구간 $[p,q]$에서 최댓값은 $x=p$, 최솟값은 $x=q$에서 나타난다.

🔴 정답 ② $80$

📌 초정밀 풀이
❶ 밑이 $3>1$이므로 $f(x)=3^x-3$는 증가함수이다.
❷ 따라서 $x=4$에서 최댓값 $M=f(4)=3^4-3=78$, $x=0$에서 최솟값 $m=f(0)=3^0-3=-2$이다.
❸ 따라서 $M-m=78-(-2)=80$이다.

[핵심 개념] 지수함수(밑>1)의 증가성을 이용한 닫힌구간에서의 최대·최소

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $80$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 로그함수 $y={\log }_2(x+4)$는 밑이 2로 1보다 크므로 증가함수이고, $h(x)$도 증가함수이다.
❷ 정의역은 $x+4>0$을 만족하는 동시에 문제에서 주어진 $-2\le x\le 4$이므로, 최솟값은 $x=-2$, 최댓값은 $x=4$에서 나온다.
$m=h(-2)={\log }_2(2)-3=1-3=-2$
$M=h(4)={\log }_2(8)-3=3-3=0$
❸ $M+m=0+(-2)=-2$
[오답 확인] -4번: ${\log }_{2}2$와 ${\log }_{2}8$의 값을 각각 잘못 계산해 두 값 모두 음수로 처리한 경우. -3,-1번: 상수항 $-3$을 한 번만 반영하거나 두 번 반영하는 등 계산 실수. 0번: 최댓값만 구하고 최솟값을 더하지 않은 경우.
[핵심 개념] 로그함수 $y={\log }_{a}x$는 $a>1$이면 증가함수이며, 닫힌구간에서 최댓값·최솟값은 양 끝점에서 나타난다.

🔴 정답 ① $2$

📌 초정밀 풀이
❶ 밑이 $2>1$이므로 $f(x)={\log }_{2}x$는 증가함수이다.
❷ $x=32$에서 최댓값 $M={\log }_{2}32=5=5$, $x=8$에서 최솟값 $m={\log }_{2}8=3=3$이다.
❸ 따라서 $M-m=5-(3)=2$이다.

[핵심 개념] 로그함수(밑>1)의 증가성을 이용한 닫힌구간에서의 최대·최소

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $2$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $1$

📌 초정밀 풀이
❶ 밑이 $3>1$이므로 $f(x)={\log }_{3}x+5$는 증가함수이다.
❷ $x=9$에서 최댓값 $M={\log }_{3}9+5=2+5=7$, $x=3$에서 최솟값 $m={\log }_{3}3+5=1+5=6$이다.
❸ 따라서 $M-m=7-(6)=1$이다.

[핵심 개념] 로그함수(밑>1)의 증가성을 이용한 닫힌구간에서의 최대·최소

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $1$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.