고등 수학 치환적분법 기초 예상문제

[핵심개념] 치환적분법 - 피적분함수에 합성함수와 그 안쪽 함수의 도함수(또는 도함수의 상수배)가 함께 곱해진 형태일 때, u=g(x)로 치환하여 적분을 간단히 하는 방법

[문제파악] 정적분 ∫₀¹x(1-x²)³dx의 값을 구하는 문제이다.

[치환 설정] u=1-x²로 치환하면 du/dx=-2x이므로 du=-2x dx, 즉 x dx=-du/2이다.

[적분구간 변환] x=0일 때 u=1-0=1이고, x=1일 때 u=1-1=0이다.

[치환 적분 계산] ∫₀¹x(1-x²)³dx=∫(u=1→0) u³·(-du/2) = 1/2∫₀¹u³du (적분구간을 뒤집으며 부호가 바뀜)=1/2×[u⁴/4]₀¹=1/2×1/4=1/8이다. (직접 계산하여 1/8임을 재확인함.)

[검산] 치환 없이 (1-x²)³을 직접 전개하면 x(1-x²)³=x-3x³+3x⁵-x⁷이고, 각 항을 0부터 1까지 적분하면 [x²/2-3x⁴/4+3x⁶/6-x⁸/8]₀¹=1/2-3/4+1/2-1/8=1/8로 치환적분 결과와 정확히 일치한다.

[오답 해설]
- 선지1 (1/4): 치환 시 x dx=-du/2에서 1/2 계수를 빠뜨리고 x dx=-du로 잘못 사용하여 ∫₀¹u³du=1/4로 계산한 오류이다.
- 선지2 (-1/8): 치환 시 x dx=-du/2에서 음의 부호를 빠뜨리고 x dx=du/2로 잘못 사용하여 원시함수의 부호가 반대로 바뀌어 -1/8로 계산한 오류이다.
- 선지4 (1/2): 원시함수를 -1/8(1-x²)⁴으로 구하는 과정에서 지수(4)로 나누는 단계를 빠뜨려 -1/2(1-x²)⁴로 잘못 구해 정적분값을 1/2로 계산한 오류이다.
- 선지5 (1/16): 치환 계수 1/2를 정적분 계산 과정에서 중복으로 한 번 더 곱하는 계산 슬립으로 1/2×1/8=1/16으로 계산한 오류이다.

🔴 정답: 1번

📌 초정밀 풀이
❶ $u=x^2+1$로 치환하면 $\frac{du}{dx}=2x$, 즉 $du=2xdx$이다.
❷ 주어진 식 $\int 2x(x^2+1{)}^{5}dx$에서 $(x^2+1{)}^5=u^5$이고, 남은 부분 $2xdx$는 정확히 $du$와 같다.
❸ 따라서 계수의 변형 없이 그대로 대입하면 $\int 2x(x^2+1{)}^{5}dx=\int u^{5}du$가 성립한다.

[오답 확인]
- 2번: $du=2xdx$인데 여기에 다시 $\frac{1}{2}$을 곱하는 것은 $\int x(x^2+1{)}^{5}dx$ (계수가 $x$뿐인 경우)와 혼동한 오류이다.
- 3번: $du=2xdx$를 이미 정확히 대응시켰음에도 불필요하게 2를 한 번 더 곱한 오류이다.
- 4번, 5번: $(x^2+1{)}^5$의 지수 5를 4로 잘못 낮춘 오류이다.

[핵심 개념]
치환적분법의 기본 원리: $u=g(x)$로 치환하면 $du=g^{\prime }(x)dx$이며, 피적분함수 안에 $g^{\prime }(x)$가 정확히 곱해진 형태이면 계수 조정 없이 그대로 $u$에 대한 적분으로 바꿀 수 있다.

[검증]
직접 계산하면 $\int 2x(x^2+1{)}^{5}dx=\frac{(x^2+1{)}^6}{6}+C$이고, $\int u^{5}du=\frac{u^6}{6}+C=\frac{(x^2+1{)}^6}{6}+C$로 두 식이 상수 차이(적분상수)만 나며 완전히 일치함을 확인하였다.

[핵심개념] 치환적분법 - 합성함수와 그 안쪽 함수의 도함수의 상수배가 함께 있는 피적분함수를 u=(안쪽함수)로 치환하여 적분하는 방법

[문제파악] 정적분 ∫₀¹ x²(x³+1)² dx의 값을 구하는 문제이다.

[치환] u=x³+1로 놓으면 du/dx=3x², 즉 du=3x²dx이므로 x²dx=du/3이다.

[구간변환] x=0일 때 u=1, x=1일 때 u=2이다.

[적분계산] ∫₀¹ x²(x³+1)²dx = ∫₁² u²×(1/3)du = (1/3)[u³/3]₁² = (1/3)×(8/3-1/3)=(1/3)×(7/3)=7/9이다. (직접 계산해 7/9임을 재확인함.)

[오답배제] ①1/9: du=3x²dx의 1/3 배수를 반영하지 않고 구간만 잘못 축소하는 등의 실수에서 나올 수 있는 값이다. ②5/9, ④7/3, ⑤8/9: 계수(1/3) 처리나 지수 계산(2³=8, 1³=1) 과정에서 흔히 발생하는 산술 실수로 나올 수 있는 값들이다.

[정답 확인]
최종 답은 \frac{7}{9}이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

[핵심 개념] 치환적분법 - 피적분함수 안에 합성함수와 그 안쪽 함수의 도함수(또는 그 상수배)가 함께 있을 때 u=(안쪽 함수)로 치환하여 적분을 간단히 하는 방법

[문제 파악] 정적분 ∫₀¹ x(x²+1)³ dx의 값을 구하는 문제이다. 피적분함수에 (x²+1)³이라는 합성함수와, (x²+1)의 도함수인 2x의 상수배인 x가 함께 곱해져 있으므로 치환적분법을 적용하기에 적합한 형태이다.

[치환] u=x²+1로 놓으면 du/dx=2x, 즉 du=2x dx이므로 x dx=du/2이다.

[적분 구간(x)을 u로 변환] x=0일 때 u=0²+1=1이고, x=1일 때 u=1²+1=2이다. 즉 적분 구간이 x:0→1에서 u:1→2로 바뀐다.

[치환한 식으로 적분 계산] ∫₀¹ x(x²+1)³ dx = ∫₁² u³×(1/2) du = (1/2)∫₁² u³ du = (1/2)[u⁴/4]₁² = (1/2)×(16/4 - 1/4) = (1/2)×(15/4) = 15/8이다. (직접 계산해 15/8임을 재확인함.)

[오답 선택지 배제]
① 1/8: 치환 후 적분 구간을 x의 범위(0→1)를 그대로 u의 범위로 잘못 사용하여 [u⁴/8]₀¹=(1-0)/8=1/8로 계산한 경우 나오는 오답이다. 치환적분법에서는 반드시 구간도 함께 변환해야 함을 보여 준다.
② 15/4: du=2x dx에서 나오는 1/2 배수를 빠뜨리고 ∫u³du=u⁴/4로만 계산하여 [u⁴/4]₁²=(16-1)/4=15/4로 계산한 경우 나오는 오답이다.
④ 15/2: 1/2을 곱해야 할 자리에 반대로 2를 곱하는 등 계수 처리를 반대로 하여 나올 수 있는 오답이다.
⑤ 17/8: u⁴ 계산에서 2⁴=16을 잘못 계산하는 등의 지수 계산 실수에서 나올 수 있는 값이다.

[정답 확인]
최종 답은 \frac{15}{8}이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

🔴 정답: 15
📌 초정밀 풀이
❶ $u=x^2+1$로 치환하면 $du=2xdx$, 즉 $8xdx=4du$이다.
❷ 적분구간을 바꾸면 $x=0$일 때 $u=1$, $x=1$일 때 $u=2$이다.
❸ 따라서 $${\int }_0^{1}8x(x^2+1{)}^{3}dx={\int }_1^{2}4u^{3}du=4{\left[\frac{u^4}{4}\right]}_1^2={\left[u^4\right]}_1^2=16-1=15$$

[핵심 개념]
피적분함수 안의 계수(여기서는 8)를 치환한 변수의 미분($du=2xdx$)에 맞추어 정확히 환산하는 것이 치환적분의 핵심이다. $8xdx=4(2xdx)=4du$로 정리하는 과정이 중요하다.

[검증]
직접 계산으로 ${\int }_0^{1}8x(x^2+1{)}^{3}dx$를 직접 계산하면 15가 나와 위 결과와 정확히 일치함을 확인하였다.

[오답 해설]
- 선택지 1 (30): 치환 시 $du=2xdx$에서 계수 $\frac{1}{2}$ 정리를 빠뜨려 $8xdx=8du$로 잘못 놓아 ${\int }_1^{2}8u^{3}du=30$으로 계산.
- 선택지 2 (1): 적분구간을 치환한 변수 $u$에 맞게 바꾸지 않고 원래 구간 $[0,1]$을 그대로 사용해 ${\int }_0^{1}4u^{3}du=1$로 계산.
- 선택지 4 (15/4): 계수 $4$를 빠뜨리고 ${\int }_1^2{u}^{3}du=\frac{15}{4}$로 계산.
- 선택지 5 (5): $(x^2+1{)}^3$을 전개할 때 교차항을 빠뜨려 $x^6+1$로 근사해 ${\int }_0^1(8x^7+8x)dx=5$로 계산.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $u=2x+1$로 치환하면 $\frac{du}{dx}=2$, 즉 $dx=\frac{1}{2}du$이다.
❷ 적분구간을 바꾸면 $x=0$일 때 $u=1$, $x=1$일 때 $u=3$이다.
❸ 따라서 $${\int }_0^1(2x+1{)}^{3}dx={\int }_1^3{u}^3\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}{\left[\frac{u^4}{4}\right]}_1^3=\frac{1}{8}(81-1)=\frac{80}{8}=10$$

[오답 확인]
- 1번(5): 적분구간을 바꾸지 않고 $x$의 구간 $[0,1]$을 그대로 $u$에 사용한 뒤 절반으로 잘못 나눈 오류이다.
- 2번(8): $$\frac{1}{2}{\left[\frac{u^4}{4}\right]}_0^2=\frac{1}{8}(16-0)=2$$ 등 구간 치환을 잘못한 계산에서 나올 수 있는 오답이다.
- 4번(20): $dx=\frac{1}{2}du$의 $\frac{1}{2}$을 빠뜨리고 계산한 오류($\frac{80}{4}=20$).
- 5번(40): $\frac{1}{2}$을 곱해야 할 것을 반대로 2를 곱한 오류.

[핵심 개념]
치환적분법에서 정적분은 적분변수를 바꿀 때 적분구간도 함께 바꾸어야 하며, $dx$를 $du$로 정확히 환산해야 한다.

[검증]
직접 ${\int }_0^1(2x+1{)}^{3}dx$를 계산하면 10이 나와 위 결과와 일치함을 확인하였다.

🔴 정답: 1번

📌 초정밀 풀이
❶ $u=x^2$으로 치환하면 $du=2xdx$, 즉 $xdx=\frac{1}{2}du$이다.
❷ 적분구간을 바꾸면 $x=0$일 때 $u=0$, $x=1$일 때 $u=1$이다.
❸ 따라서 $${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx={\int }_0^1{e}^u\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}{\left[e^u\right]}_0^1=\frac{1}{2}(e-1)$$

[오답 확인]
- 2번($e-1$): $xdx=\frac{1}{2}du$에서 $\frac{1}{2}$을 빠뜨린 오류이다.
- 3번($\frac{e}{2}$): ${\left[e^u\right]}_0^1$에서 $u=0$일 때 값 $e^0=1$을 빼는 것을 빠뜨린 오류이다.
- 4번($\frac{e+1}{2}$): 빼야 할 것을 더한 부호 오류이다.
- 5번($2(e-1)$): $\frac{1}{2}$을 곱해야 할 곳에서 반대로 2를 곱한 오류이다.

[핵심 개념]
지수함수의 치환적분: $u=x^2$으로 놓으면 $xdx$ 형태가 정확히 $\frac{1}{2}du$로 바뀌어 $\int e^{u}du=e^u+C$를 이용할 수 있다.

[검증]
직접 계산으로 ${\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx$를 계산하면 $\frac{e}{2}-\frac{1}{2}=\frac{e-1}{2}$가 나와 위 결과와 정확히 일치함을 확인하였다.

[정답 확인]
최종 답은 \dfrac{e-1}{2}이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

[개념] 피적분함수에 lnx와 1/x가 함께 있을 때는 u=lnx로 치환하면 du=(1/x)dx가 되어 적분식이 매우 간단해진다는 것이 치환적분법의 핵심 아이디어이다.

[1단계: 치환] u=ln x로 치환하면 du/dx = 1/x이므로 du = (1/x)dx이다. 즉 원래 피적분함수 (ln x)/x dx는 정확히 u du로 바뀐다.

[2단계: 적분구간 변환] x=1일 때 u=ln1=0이고, x=e일 때 u=lne=1이다. 따라서 x에 대한 구간 [1,e]는 u에 대한 구간 [0,1]로 바뀐다.

[3단계: 치환된 적분 계산] ∫₁^e (lnx)/x dx = ∫₀^1 u du = [u²/2]₀^1 = 1/2 - 0 = 1/2이다.

[대체 풀이: 직접 원시함수 찾기] (lnx)²/2를 x에 대해 미분하면 합성함수의 미분법에 의해 2·lnx·(1/x)/2 = (lnx)/x가 되어 원함수와 일치함을 바로 확인할 수 있다. 따라서 원시함수는 F(x)=(lnx)²/2이고, F(e)-F(1) = (1)²/2 - (0)²/2 = 1/2로 같은 결과를 얻는다.

[오답 분석] ①1/4, ②1/3은 치환 후 u²/2의 계산 과정에서 지수나 계수를 잘못 적용한 경우이다. ④1은 원시함수를 (lnx)²으로 잘못 구하고 계수 1/2을 빠뜨린 경우이다. ⑤2는 부호나 구간 설정을 반대로 하여 나올 수 있는 값이다.

[검산] 원시함수를 이용해 ∫₁^e (lnx)/x dx를 직접 계산한 결과 정확히 1/2이 나옴을 확인하였다.

[정답 확인]
최종 답은 \frac{1}{2}이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.