고등 수학 표본평균의 분포와 신뢰구간 예상문제

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 모평균 $m$, 모분산 ${\sigma }^2$인 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출하면 표본평균 $\overline{X}$는 $E(\overline{X})=m$을 만족한다(추출 반복에 따른 평균은 모평균과 같다).
❷ 표본평균의 분산은 개별 관측값의 분산을 $n$으로 나눈 것과 같으므로 $V(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$이다.
❸ 따라서 옳은 식은 ③ $V(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$이다.

[오답 확인]
① $E(\overline{X})=nm$: 기댓값은 표본크기와 무관하게 $m$이며, $n$을 곱하는 것은 합 $\sum X_i$의 기댓값과 혼동한 것이다.
② $E(\overline{X})=m/n$: 기댓값을 표본크기로 나누는 오류로, 역시 $E(\overline{X})=m$이어야 한다.
④ $V(\overline{X})=n{\sigma }^2$: 분산이 표본크기에 비례한다고 착각한 경우로, 실제로는 반비례한다.
⑤ $V(\overline{X})={\sigma }^2$: 표본을 추출해도 분산이 줄어들지 않는다고 잘못 생각한 경우이다.

[핵심 개념]
표본평균의 평균과 분산: $E(\overline{X})=m$, $V(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$. 표본의 크기가 커질수록 표본평균의 분산은 작아지고 모평균에 가까워진다(큰 수의 법칙과 관련).

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 모집단이 정규분포 $N(m,8^2)$을 따르므로 모분산은 ${\sigma }^2=64$이다.
❷ 크기 $n=16$인 표본의 표본평균 $\overline{X}$의 분산 공식은 $V(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$이다.
❸ 대입하면 $V(\overline{X})=\frac{64}{16}=4$이다.

[오답 확인]
① 2: 표준편차 $\sigma /\sqrt{n}=8/4=2$를 분산으로 착각한 경우이다.
③ 8: $\sigma$를 그대로 답한 경우로, $n$으로 나누는 과정을 빠뜨렸다.
④ 16: ${\sigma }^2$을 $\sqrt{n}=4$로 나눈 경우(분산을 $n$이 아닌 $\sqrt{n}$으로 나누는 오류)이다.
⑤ 64: ${\sigma }^2$을 그대로 답하여 표본 추출에 따른 분산 감소를 반영하지 않은 경우이다.

[핵심 개념]
모평균 $m$, 모분산 ${\sigma }^2$인 모집단에서 크기 $n$인 표본을 임의추출할 때 표본평균 $\overline{X}$는 $E(\overline{X})=m$, $V(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}$을 만족한다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 모표준편차 $\sigma =12$, 표본의 크기 $n=36$이다.
❷ 표본평균 $\overline{X}$의 표준편차(표준오차)는 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$이다.
❸ 대입하면 $\frac{12}{\sqrt{36}}=\frac{12}{6}=2$이다.

[오답 확인]
① $\frac{1}{3}$: $\sigma$를 $n$으로 나누는 계산($12/36$)을 한 오류로, $\sqrt{n}$이 아닌 $n$으로 나누었다.
③ 4: $\sigma$를 $\sqrt{n}$이 아닌 다른 값으로 잘못 계산한 경우이다.
④ 6: $\sqrt{n}=\sqrt{36}=6$을 표준오차 값으로 착각하고 $\sigma$를 곱하거나 나누는 과정을 생략한 경우이다.
⑤ 12: 표본을 추출해도 표준편차가 변하지 않는다고 잘못 생각한 경우이다.

[핵심 개념]
표본평균의 표준편차(표준오차)는 $\sigma (\overline{X})=\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$으로, 표본의 크기가 커질수록 작아진다.

오차 한계:
$$1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}=1.96\times \frac{12}{\sqrt{36}}=1.96\times 2=3.92$$

신뢰구간:
$$58-3.92\le m\le 58+3.92$$
$$54.08\le m\le 61.92$$

핵심 정리

[핵심 1] 신뢰구간 공식:
$$\bar{X}-z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le m\le \bar{X}+z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

[핵심 2] 표본평균의 표준편차 = $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$
n 이 커질수록 신뢰구간이 좁아진다.

[핵심 3] 신뢰도를 높이면 z 값이 커져 신뢰구간은 오히려 넓어진다.
"신뢰도 높음 = 정밀도 높음" 이 아님을 주의하라.

정답: 1

🔴 정답: 1

📌 초정밀 풀이
❶ 모집단이 $N(20,5^2)$을 따르므로 모평균 $m=20$, 모분산 ${\sigma }^2=25$이다.
❷ 표본의 크기 $n=25$이므로 표본평균 $\overline{X}$는 정규분포 $N\left(m,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$을 따른다.
❸ 분산을 계산하면 $a=\frac{25}{25}=1$이다.

[오답 확인]
문제 자체가 단답형이므로 대표적인 오답 사례를 제시하면, ${\sigma }^2$을 그대로 $25$라고 답하거나(표본추출 효과를 반영하지 않음), $\sigma =5$를 그대로 답하는 경우(분산과 표준편차 혼동)가 흔한 실수이다.

[핵심 개념]
정규분포 $N(m,{\sigma }^2)$을 따르는 모집단에서 크기 $n$인 표본의 표본평균 $\overline{X}$는 $N\left(m,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$을 따른다.

[오답 해설]
1) 5: 표본평균의 표준편차가 아니라 모표준편차 $\sigma =5$를 그대로 답한 값(분산과 표준편차 혼동).
3) 25: 표본추출 효과($n$으로 나누는 과정)를 반영하지 않고 모분산 ${\sigma }^2=25$를 그대로 답한 값이다.
4) 25/24: ${\sigma }^2/n$ 대신 불편분산에서 쓰는 $n-1=24$로 나누어 $25/24$로 계산한 값이다(표본평균의 분포와 불편분산 추정을 혼동).
5) 1/5: ${\sigma }^2/n$이 아니라 제곱을 빠뜨린 $\sigma /n=5/25=1/5$로 계산한 값이다.

🔴 정답 ② $169$

📌 초정밀 풀이
❶ 모표준편차가 $\sigma$, 표본 크기가 $n$일 때 신뢰도 99% 신뢰구간의 반폭(오차한계)은 $2.58\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$이다.
❷ 신뢰구간의 길이는 $2\times 2.58\times \frac{3}{\sqrt{n}}=\frac{387}{325}$이므로 이를 $n$에 대해 풀면 $\sqrt{n}=\frac{2\times 2.58\times 3}{\frac{387}{325}}$이고, 양변을 제곱하면 $n=169$이다.

[핵심 개념] 모평균의 신뢰구간 추정 $$\overline{x}-2.58\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le m\le \overline{x}+2.58\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

🔴 정답 ③ $100$

📌 초정밀 풀이
❶ 모표준편차가 $\sigma$, 표본 크기가 $n$일 때 신뢰도 95% 신뢰구간의 반폭(오차한계)은 $1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$이다.
❷ 신뢰구간의 길이는 $2\times 1.96\times \frac{6}{\sqrt{n}}=\frac{294}{125}$이므로 이를 $n$에 대해 풀면 $\sqrt{n}=\frac{2\times 1.96\times 6}{\frac{294}{125}}$이고, 양변을 제곱하면 $n=100$이다.

[핵심 개념] 모평균의 신뢰구간 추정 $$\overline{x}-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le m\le \overline{x}+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$

🔴 정답 ③ $\frac{14}{5}$

📌 초정밀 풀이
❶ 모표준편차가 $\sigma$, 표본 크기가 $n$일 때 신뢰도 95% 신뢰구간의 반폭(오차한계)은 $1.96\times \frac{\sigma }{\sqrt{n}}$이다.
❷ $a=1.96\times \frac{20}{\sqrt{196}}=\frac{14}{5}$이다.

[핵심 개념] 모평균의 신뢰구간 추정 $$\overline{x}-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le m\le \overline{x}+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$