고등 수학 함수의 극한과 연속 예상문제

🔴 정답 ① 1/4

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $\frac{0}{0}$ 꼴 무리식의 극한(분자의 유리화가 필요)
❷ 개념: 분모, 분자에 켤레식 $\sqrt{x+4}+2$를 곱해 유리화한다.
❸ 계산: $$\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$$, $x\to 0$이면 $\frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$
❹ 해석: 유리화를 통해 부정형을 없앤 뒤 대입해야 한다.

[오답 확인]
② 1/2: 분모의 $\sqrt{x+4}+2$에서 $2$를 빠뜨리고 $\sqrt{4}$만 쓴 경우
③ 1: 유리화를 하지 않고 분자만 소거한 경우
④ 2: 역수를 취해 계산한 경우
⑤ 4: 분모를 빠뜨리고 $\sqrt{x+4}+2$의 극한값 자체를 답으로 쓴 경우

[핵심 개념] 무리함수의 극한(분모의 유리화)

🔴 정답 ② 1

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $x=1$에서 극한값이 존재하기 위한 조건
❷ 개념: $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$ 이어야 극한값이 존재한다.
❸ 계산: 좌극한 $=1+a$, 우극한 $=3(1)-1=2$. $1+a=2\Rightarrow a=1$
❹ 해석: $a=1$일 때 좌극한과 우극한이 모두 $2$로 같아 극한값이 존재한다.

[오답 확인]
① -1: 우극한 식을 잘못 계산($3(1)-1$을 $-1$로 계산)한 경우
③ 2: 우극한을 $3x-1$ 대신 $3x+1$로 계산한 경우
④ 3: $1+a=3(1)-1$을 잘못 정리한 계산 실수
⑤ 5: $a$와 상수항을 바꿔 계산한 경우

[핵심 개념] 극한값의 존재조건(좌극한=우극한)

🔴 정답 ① 4

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $x\to 2$일 때 $\frac{x^2-4}{x-2}$의 극한값(분모가 0이 되는 형태이므로 인수분해로 약분해야 함)
❷ 개념: 인수분해 공식 $x^2-4=(x-2)(x+2)$
❸ 계산: $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2(x\ne 2)$ 이므로 $\underset{x\to 2}{\lim }(x+2)=4$
❹ 해석: $x=2$에서 함수값은 정의되지 않지만 극한값은 존재하며 4이다.

[오답 확인]
② 5: $x+2$ 대신 상수항을 잘못 더해 $x+3$으로 계산한 실수
③ 6: 약분 후 $x+4$로 잘못 계산한 경우
④ 7: 인수분해를 $(x-2)(x+5)$처럼 잘못한 경우
⑤ 8: 값을 두 배로 계산한 경우

[핵심 개념] 유리함수의 극한(인수분해를 통한 약분)

🔴 정답 ⑤ 3

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $x\to \infty$일 때 다항함수의 비로 이루어진 유리함수의 극한
❷ 개념: 분모, 분자가 모두 최고차항이 $x^2$인 다항식이므로 극한값은 최고차항 계수의 비이다.
❸ 계산: 분모, 분자를 $x^2$으로 나누면 $\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}}{1-\frac{5}{x^2}}$ 이고 $x\to \infty$이면 $\frac{3+0-0}{1-0}=3$
❹ 해석: 최고차항의 계수만 남고 나머지 항은 모두 0으로 수렴한다.

[오답 확인]
① -3: 최고차항 계수의 비의 부호를 반대로 잡은 경우
② -1: 분자, 분모의 계수를 서로 뒤바꿔 계산한 경우
③ 0: 분모의 차수가 분자보다 크다고 착각한 경우
④ 1/5: 최고차항이 아닌 상수항끼리의 비 $\frac{-1}{-5}$로 잘못 계산한 경우

[핵심 개념] 다항함수의 극한(최고차항 계수비)

🔴 정답 ② 6

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $x=3$에서 연속이 되려면 $f(3)=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)$ 이어야 한다.
❷ 개념: 함수의 연속의 정의, 인수분해를 통한 약분
❸ 계산: $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3(x\ne 3)$ 이므로 $\underset{x\to 3}{\lim }(x+3)=6$. 따라서 $k=6$
❹ 해석: 구멍이 뚫린 점의 극한값을 함수값으로 정의해야 연속이 된다.

[오답 확인]
① 0: $x=3$에서 정의되지 않아 불연속이라 착각해 임의로 0을 대입한 경우
③ 7: $x+3$을 $x+4$로 잘못 계산한 실수
④ 8: 계산 과정에서 상수항을 잘못 더한 경우
⑤ 9: 분자에 $x=3$을 대입한 값 $3^2=9$를 그대로 답으로 쓴 경우

[핵심 개념] 함수의 연속(구멍뚫린 함수의 극한값)

$x^2=2tx$에서 $x(x-2t)=0$이므로 $x=0$ 또는 $x=2t$
원점이 아닌 점 P의 좌표는 $(2t,4t^2)$이다.
H는 P에서 $x$축에 내린 수선의 발이므로 $H=(2t,0)$

$OH=2t$
$$OP=\sqrt{(2t{)}^2+(4t^2{)}^2}=\sqrt{4t^2+16t^4}=2t\sqrt{1+4t^2}$$

$\frac{OP}{OH}=\frac{2t\sqrt{1+4t^2}}{2t}=\sqrt{1+4t^2}$

${\lim }_{t\to 0^{+}}\sqrt{1+4t^2}=\sqrt{1+0}=1$

🔴 정답 ⑤ $10$

📌 초정밀 풀이
❶ $x=-2$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 한다.
❷ 좌극한($x<-2$쪽 식에 $x=-2$ 대입): $3x^2$에 $x=-2$을 대입하면 $12$이다.
❸ 우극한(=함숫값): $-1\times (-2)+b$이며, 이 값이 $12$와 같아야 하므로 $b=10$이다.

[핵심 개념] 함수의 연속(좌극한=우극한=함숫값)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $10$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $25$

📌 초정밀 풀이
❶ $x=-4$에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 한다.
❷ 좌극한($x<-4$쪽 식에 $x=-4$ 대입): $3x^2-7$에 $x=-4$을 대입하면 $41$이다.
❸ 우극한(=함숫값): $-4x+b$이며, 이 값이 $41$와 같아야 하므로 $b=25$이다.

[핵심 개념] 함수의 연속(좌극한=우극한=함숫값)

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $25$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.