고등 수학 함수의 증가·감소와 극대·극소 예상문제

🔴 정답 ① $3$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x+9=-3(x^2-2x-3)=-3(x-3)(x+1)$
❷ $f^{\prime }(x)=0$의 근은 $x=-1,3$. 최고차항 계수가 음수이므로 $x<-1$에서 감소, $-1<x<3$에서 증가, $x>3$에서 감소한다.
❸ 따라서 감소에서 증가로 바뀌는 $x=-1$은 극소, 증가에서 감소로 바뀌는 $x=3$은 극대이다. 극대가 되는 $x$의 값은 $3$이다.

[오답 확인]
② $-3$: $f^{\prime }(x)$를 $-3(x+3)(x-1)$로 잘못 인수분해한 경우
③ $1$: 위와 같은 잘못된 인수분해에서 나온 다른 근
④ $-1$: 극대와 극소의 종류를 반대로 판정한 경우(가장 흔한 실수)
⑤ $9$: $f^{\prime }(x)=0$을 상수항까지 잘못 계산해 얻은 근

[핵심 개념] 최고차항 계수의 부호에 따른 극대·극소 판정

🔴 정답 ③ $-22$

📌 초정밀 풀이
❶ 극값을 구하는 단계이므로 먼저 $f^{\prime }(x)$를 구한다: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$
❷ $f^{\prime }(x)=0$의 근은 $x=-1,3$. 증가·감소를 표로 정리하면 $x<-1$에서 증가, $-1<x<3$에서 감소, $x>3$에서 다시 증가하므로 $x=-1$에서 극대, $x=3$에서 극소이다.
❸ 극솟값 계산: $f(3)=27-27-27+5=-22$

[오답 확인]
① $-40$: $3^3$을 $9$로 잘못 계산($3\times 3$)하는 실수
② $32$: $-9x$ 항의 부호를 $+9x$로 착각한 실수
④ $10$: 극대값 $f(-1)=-1-3+9+5=10$과 극솟값을 혼동한 경우
⑤ $-6$: $f^{\prime }(x)$를 $3(x-1)(x+3)$으로 잘못 인수분해해 $x=1$에서의 값을 극솟값으로 착각한 경우

[핵심 개념] 삼차함수의 증가·감소표를 이용한 극값 판정

🔴 정답 ④ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2)$
❷ $f^{\prime }(x)<0$인 구간을 구한다: $3(x-2)(x+2)<0\iff -2<x<2$
❸ 따라서 $f(x)$가 감소하는 구간은 $(-2,2)$이므로 $a=-2,b=2$, $b-a=4$

[오답 확인]
① $8$: 구간의 폭을 두 번 더하는(지름을 반지름처럼 두 번 계산) 실수
② $6$: $a,b$를 $-3,3$으로 잘못 구한 경우
③ $2$: $b-a$ 대신 $b$ 또는 $|a|$ 하나만 답한 경우
⑤ $3$: $f^{\prime }(x)=0$의 근을 잘못 계산($x^2=9$로 오산)한 경우

[핵심 개념] 도함수의 부호를 이용한 감소구간 판정

🔴 정답 ② $\frac{11}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$
❷ $f^{\prime }(x)=0$의 근은 $x=-1,3$이고, 최고차항 계수가 양수이므로 $x=-1$에서 극대, $x=3$에서 극소이다.
❸ 극댓값: $f(-1)=\frac{1}{3}(-1)-1+3+2=-\frac{1}{3}+4=\frac{11}{3}$

[오답 확인]
① $-7$: 극솟값 $f(3)=\frac{1}{3}(27)-9-9+2=-7$과 혼동한 경우
③ $3$: 분수항 $-\frac{1}{3}$을 빠뜨리고 정수항만 계산한 경우
④ $-\frac{11}{3}$: 부호를 반대로 계산한 경우
⑤ $\frac{7}{3}$: $-1-1+3+2$를 잘못 계산해 상수항을 누락한 경우

[핵심 개념] 분수 계수를 갖는 삼차함수의 극값 계산

🔴 정답 ④ $7$

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)$가 실수 전체에서 감소하려면 모든 $x$에 대해 $f^{\prime }(x)\le 0$이어야 한다.
❷ $f^{\prime }(x)=-3x^2+2ax-3$. 최고차항 계수가 음수이므로 $f^{\prime }(x)\le 0$이 항상 성립할 조건은 판별식 $D\le 0$이다.
❸ $$D=(2a{)}^2-4(-3)(-3)=4a^2-36\le 0\Rightarrow a^2\le 9\Rightarrow -3\le a\le 3$$
❹ 이를 만족시키는 정수 $a$는 $-3,-2,-1,0,1,2,3$으로 개수는 $7$이다.

[오답 확인]
① $5$: 범위를 $-2\le a\le 2$로 좁게 잘못 구한 경우
② $6$: 경계값 하나($a=3$ 또는 $a=-3$)를 빠뜨리고 센 경우
③ $8$: 범위를 $-4\le a\le 3$처럼 넓게 잘못 구해 하나 더 포함한 경우
⑤ $4$: $-3\le a\le 3$에서 $0$을 제외한 정수만 센 경우

[핵심 개념] 삼차함수가 항상 감소할 조건과 정수 해의 개수

🔴 정답 ⑤ $36$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2+12x=3(x-(-4))(x-(0))$이다.
❷ $f^{\prime }(x)=0$의 해는 $x=-4,0$이고, $f^{\prime }(x)$의 부호는 $x=-4$ 앞뒤로 $+\to -$(극대), $x=0$ 앞뒤로 $-\to +$(극소)로 바뀐다.
❸ 따라서 극댓값은 $f(-4)=34$, 극솟값은 $f(0)=2$이고, 구하는 극댓값과 극솟값의 합은 $36$이다.

[핵심 개념] 도함수의 부호 변화를 이용한 극대·극소 판정

🔴 정답 ① $4$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2-12=3(x-(-2))(x-(2))$이다.
❷ $f^{\prime }(x)=0$의 해는 $x=-2,2$이고, $f^{\prime }(x)$의 부호는 $x=-2$ 앞뒤로 $+\to -$(극대), $x=2$ 앞뒤로 $-\to +$(극소)로 바뀐다.
❸ 따라서 극댓값은 $f(-2)=18$, 극솟값은 $f(2)=-14$이고, 구하는 극댓값과 극솟값의 합은 $4$이다.

[핵심 개념] 도함수의 부호 변화를 이용한 극대·극소 판정

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $4$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $-\frac{175}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2+27x+60=3(x-(-5))(x-(-4))$이다.
❷ $f^{\prime }(x)=0$의 해는 $x=-5,-4$이고, $f^{\prime }(x)$의 부호는 $x=-5$ 앞뒤로 $+\to -$(극대), $x=-4$ 앞뒤로 $-\to +$(극소)로 바뀐다.
❸ 따라서 극댓값은 $f(-5)=-175/2$, 극솟값은 $f(-4)=-88$이고, 구하는 극댓값은 $-\frac{175}{2}$이다.

[핵심 개념] 도함수의 부호 변화를 이용한 극대·극소 판정