고등 수학 합성함수의 미분법 예상문제

[핵심 개념] 합성함수의 미분법(연쇄법칙) - g(x)=f(h(x)) 꼴일 때 g'(x)=f'(h(x))×h'(x)를 이용하는 방법

[문제 파악] f(x)=(2x-1)⁴이고 g(x)=f(x²+x)일 때, g'(1)의 값을 구하는 문제이다. g(x)는 f와 x²+x의 합성함수이므로 연쇄법칙을 적용해야 한다.

[f'(x) 구하기] f(x)=(2x-1)⁴에서 합성함수 미분법을 적용하면 f'(x)=4(2x-1)³×2=8(2x-1)³이다.

[연쇄법칙 적용] g(x)=f(x²+x)이므로 g'(x)=f'(x²+x)×(x²+x)'=f'(x²+x)×(2x+1)이다.

[x=1에서 필요한 값 계산] x=1일 때 안쪽 함수 값은 x²+x=1²+1=2이다. 즉 f'(x²+x)에서 x=1을 대입하면 f'(2)이다.

[f'(2) 계산] f'(2)=8(2×2-1)³=8×3³=8×27=216이다.

[(x²+x)'의 x=1에서의 값] (2x+1)에 x=1을 대입하면 2(1)+1=3이다.

[최종 계산] g'(1)=f'(2)×3=216×3=648이다. (직접 계산으로 g(x)=f(x²+x)를 직접 전개하여 미분한 뒤 x=1을 대입해 648임을 재확인함 — 직접 계산 결과: g'(x)=128x⁷+448x⁶+384x⁵-160x⁴-224x³+48x²+32x-8이며, x=1을 대입하면 128+448+384-160-224+48+32-8=648로 일치.)

[검산 - 직접 전개로 재확인] g(x)=(2(x²+x)-1)⁴=(2x²+2x-1)⁴을 직접 전개하여 미분해도 x=1에서 648이 나옴을 직접 계산으로 확인하였으므로 연쇄법칙으로 구한 값과 정확히 일치한다.

[오답 해설]
- 선지2 (216): 합성함수 미분법에서 f'(x²+x)=f'(2)=216까지만 계산하고, 안쪽 함수의 도함수 (x²+x)'=2x+1을 곱하는 연쇄법칙의 마지막 단계를 빠뜨린 오류이다.
- 선지3 (324): f(x)=(2x-1)⁴을 미분할 때 안쪽 함수 (2x-1)'=2를 곱하는 것을 빠뜨려 f'(x)=4(2x-1)³으로 잘못 구하고(f'(2)=4×27=108), 여기에 3을 곱해 324로 계산한 오류이다.
- 선지4 (24): 안쪽 함수 값 x²+x를 x=1에서 계산할 때 x항을 빠뜨려 1²=1로 잘못 계산(정답은 2)하여 f'(1)=8(2·1-1)³=8을 구하고 3을 곱해 24로 계산한 오류이다.
- 선지5 (432): 연쇄법칙의 곱셈 인자로 안쪽 함수의 도함수(2x+1=3) 대신 안쪽 함수의 값 자체(x²+x=2, x=1일 때)를 잘못 사용하여 f'(2)×2=216×2=432로 계산한 오류이다.

[개념] 합성함수의 미분법(연쇄법칙)을 이용하는 문제이다. f(x) = (x²+1)³은 '바깥 함수 u³'과 '안쪽 함수 u=x²+1'이 합성된 함수로 볼 수 있다.

[1단계: 연쇄법칙 적용] u=x²+1이라 하면 f=u³이다. 연쇄법칙에 의해 df/dx = (df/du)×(du/dx)이다. df/du = 3u²이고 du/dx = 2x이므로, f'(x) = 3u²×2x = 3(x²+1)²×2x = 6x(x²+1)²이다.

[2단계: x=1 대입] f'(1) = 6×1×(1²+1)² = 6×1×2² = 6×1×4 = 24이다.

[대체 풀이: 직접 전개] (x²+1)³을 이항정리로 전개하면 x⁶+3x⁴+3x²+1이다. 이를 미분하면 f'(x)=6x⁵+12x³+6x이다. x=1을 대입하면 f'(1)=6+12+6=24로 연쇄법칙을 이용한 결과와 정확히 일치한다.

[검산] 직접 계산으로 (x²+1)³을 직접 미분하고 x=1을 대입한 결과가 정확히 24임을 확인하였으며, 이항정리로 전개한 식을 미분한 결과와도 동일함을 교차 검증하였다.

[오답 해설]
1) 4: 연쇄법칙에서 바깥 함수의 계수 3만 남기고 최종 계수 $6=3\times 2$의 $2x$의 계수 $2$를 곱하지 않아 $x(x^2+1{)}^2$에 $x=1$을 대입한 $4$가 된 값이다.
2) 12: 연쇄법칙에서 안쪽 함수의 미분 $2x$(즉 $du/dx$)를 곱하는 것을 빠뜨리고 $3(x^2+1{)}^2$에 $x=1$을 대입한 $12$가 된 값이다.
4) 18: $(x^2+1{)}^3$을 이항전개할 때 가운데 항 $3x^2$을 빠뜨려 $x^6+3x^4+1$로 잘못 전개하고 미분·대입하여 $18$이 된 값이다.
5) 48: 연쇄법칙 적용 시 지수를 $3\to 2$로 낮추지 않고 $3\cdot 2x\cdot (x^2+1{)}^3$에 $x=1$을 대입한 $48$이 된 값이다.

🔴 정답: 108
📌 초정밀 풀이
❶ 합성함수 $y=(x^2-1{)}^3$ 은 바깥함수 $u^3$ ($u=x^2-1$)와 안쪽함수 $u=x^2-1$의 합성함수이다.
❷ 합성함수의 미분법에 의해 $y^{\prime }=3u^2\cdot u^{\prime }=3(x^2-1{)}^2\cdot 2x=6x(x^2-1{)}^2$이다.
❸ $x=2$를 대입하면 $x^2-1=3$이므로 $y^{\prime }(2)=6\times 2\times 3^2=12\times 9=108$이다.
[핵심 개념] 합성함수의 미분법(연쇄법칙): $\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$, 거듭제곱 함수의 미분법 $(u^n{)}^{\prime }=n{u}^{n-1}{u}^{\prime }$

[오답 해설]
- 선지 1번 (27): 합성함수의 미분에서 안쪽 함수의 도함수(연쇄법칙 인자 $2x$)를 곱하지 않고 $3(x^2-1{)}^2$만 계산해 $x=2$에서 $3\times 9=27$로 계산한 경우.
- 선지 3번 (36): 거듭제곱의 지수 $3$을 도함수 계수로 반영하지 않고 $y^{\prime }=2x(x^2-1{)}^2$으로 잘못 미분해 $2\times 2\times 9=36$으로 계산한 경우.
- 선지 4번 (192): $(x^2-1{)}^3$을 $x^6$으로 잘못 전개해 $y^{\prime }=6x^5$, $x=2$에서 $6\times 32=192$로 계산한 경우.
- 선지 5번 (72): $(x^2-1{)}^2$을 계산하는 과정에서 $3^2=9$를 $6$으로 잘못 계산해 $6\times 2\times 6=72$로 계산한 경우.

[핵심개념] 합성함수의 미분법(연쇄법칙) - g(x)=f(h(x)) 꼴의 함수를 g'(x)=f'(h(x))·h'(x)로 미분하는 방법

[문제파악] f(x)=x²+2x, g(x)=f(x²-1)일 때 g'(1)의 값을 구하는 문제이다.

[f'(x) 계산] f(x)=x²+2x이므로 f'(x)=2x+2이다.

[연쇄법칙 적용] g(x)=f(x²-1)이므로 합성함수의 미분법에 의해 g'(x)=f'(x²-1)·(x²-1)'=f'(x²-1)·2x이다.

[f'(x²-1) 계산] f'(x²-1)=2(x²-1)+2=2x²-2+2=2x²이다.

[g'(x) 정리] g'(x)=2x²·2x=4x³이다.

[x=1 대입] g'(1)=4(1)³=4이다. (직접 계산으로 g(x)=f(x²-1)=(x²-1)²+2(x²-1)을 x에 대해 완전히 전개하면 x⁴-1이 되고, 이를 직접 미분하면 4x³이 나와 연쇄법칙으로 구한 결과와 정확히 일치함을 재확인함.)

[검산] g(x)=x⁴-1의 도함수는 4x³이므로 g'(1)=4로 동일하며, 두 가지 방법(연쇄법칙 직접 적용 vs 완전 전개 후 미분)이 모두 같은 답을 준다.

[오답배제] ①2, ②3, ④6, ⑤8: 연쇄법칙에서 바깥쪽 도함수 f'(x²-1)과 안쪽 도함수 (x²-1)'=2x 중 하나를 빠뜨리거나, f'(x²-1) 계산에서 부호나 계수를 잘못 처리하는 등 흔한 계산 실수에서 나올 수 있는 값들이다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 합성함수 $y=(3x-2{)}^4$ 은 바깥함수 $u^4$ ($u=3x-2$)와 안쪽함수 $u=3x-2$의 합성함수이다.
❷ 합성함수의 미분법(연쇄법칙)에 의해 $y^{\prime }=4u^3\cdot u^{\prime }=4(3x-2{)}^3\cdot 3=12(3x-2{)}^3$이다.
❸ $x=1$을 대입하면 $3(1)-2=1$이므로 $y^{\prime }(1)=12\cdot 1^3=12$이다.
[오답 확인]
①4: 바깥함수의 도함수 $4(3x-2{)}^3$만 계산하고 안쪽함수의 도함수 3을 곱하지 않은 오류이다.
②9: 지수 계산을 잘못하여 $3(3x-2{)}^2\cdot 3=9$로 계산한 오류이다.
④16: 안쪽함수의 도함수를 3이 아닌 4로 잘못 곱한 오류이다.
⑤36: 안쪽함수의 도함수 3을 중복으로 곱한(9배) 오류이다.
[핵심 개념] 합성함수의 미분법(연쇄법칙): $\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

[핵심개념] 합성함수의 미분법(연쇄법칙) - g(x)=f(h(x)) 꼴의 함수를 g'(x)=f'(h(x))·h'(x)로 미분하는 방법

[문제파악] f(x)=x³-3x, g(x)=f(x²-2)일 때 g'(2)의 값을 구하는 문제이다.

[f'(x) 계산] f(x)=x³-3x이므로 f'(x)=3x²-3이다.

[연쇄법칙 적용] g(x)=f(x²-2)이므로 합성함수의 미분법에 의해 g'(x)=f'(x²-2)·(x²-2)'=f'(x²-2)·2x이다.

[x=2 대입] x=2일 때 x²-2=4-2=2이므로, g'(2)=f'(2)·(2×2)=f'(2)·4이다.

[f'(2) 계산] f'(2)=3(2)²-3=12-3=9이다.

[최종 계산] g'(2)=9×4=36이다. (직접 계산으로 g(x)=f(x²-2)를 x에 대해 완전히 전개하여 직접 미분한 뒤 x=2를 대입해도 동일하게 36이 나옴을 재확인함.)

[오답배제] ①24, ②30, ④42, ⑤48: 연쇄법칙에서 바깥쪽 도함수 f'(x²-2)와 안쪽 도함수 (x²-2)'=2x 중 하나를 빠뜨리거나(예: 2x를 곱하지 않음), f'(2) 계산에서 부호나 계수를 잘못 처리하는 등 흔한 계산 실수에서 나올 수 있는 값들이다.

🔴 정답: 3번
📌 초정밀 풀이
❶ 합성함수 $y=\sqrt{4x+5}=(4x+5{)}^{1/2}$ 은 바깥함수 $u^{1/2}$ ($u=4x+5$)와 안쪽함수 $u=4x+5$의 합성함수이다.
❷ 합성함수의 미분법에 의해 $$y^{\prime }=\frac{1}{2}{u}^{-1/2}\cdot u^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{4x+5}}\times 4=\frac{2}{\sqrt{4x+5}}$$이다.
❸ $x=1$을 대입하면 $\sqrt{4(1)+5}=\sqrt{9}=3$이므로 $y^{\prime }(1)=\frac{2}{3}$이다.
[오답 확인]
①1/6: 안쪽함수의 도함수 4를 곱하지 않고 $\frac{1}{2\sqrt{4x+5}}=\frac{1}{6}$만 계산한 오류이다.
②1/3: 계수 2를 빠뜨리고 $\frac{1}{\sqrt{4x+5}}$의 형태로 잘못 계산한 오류이다.
④4/3: 안쪽함수의 도함수 4를 그대로 분자에 남기고 $\frac{1}{2}$을 곱하지 않은 오류($\frac{4}{\sqrt{4x+5}}$)이다.
⑤2: 분모의 $\sqrt{4x+5}$ 값을 빠뜨린 계산 오류이다.
[핵심 개념] 무리함수의 합성함수 미분법: $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$

[정답 확인]
최종 답은 2/3이다. 위 풀이에서 얻은 결과와 문제에서 요구한 값을 다시 대조한다.

🔴 정답: 2번
📌 초정밀 풀이
❶ 합성함수 $y=\cos 3x$ 는 바깥함수 $\cos u$ ($u=3x$)와 안쪽함수 $u=3x$의 합성함수이다.
❷ 합성함수의 미분법에 의해 $y^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }=-3\sin 3x$이다.
❸ $x=\frac{\pi }{6}$을 대입하면 $3x=\frac{\pi }{2}$이므로 $\sin \frac{\pi }{2}=1$, 따라서 $y^{\prime }\left(\frac{\pi }{6}\right)=-3\times 1=-3$이다.
[오답 확인]
①-9: 안쪽함수의 도함수 3을 한 번 더 곱하는(중복 적용) 오류이다.
③-1: 안쪽함수의 도함수 3을 곱하지 않고 $-\sin 3x$만 계산한 오류이다.
④1: ③의 오류에 부호까지 잘못 적용한 경우이다.
⑤3: 정답의 부호를 잘못 적용한 오류이다.
[핵심 개념] 삼각함수의 합성함수 미분법: $(\cos u{)}^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }$