고등 수학 확률과 통계 융합 고난도 문제 예상문제

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 먼저 확률의 총합이 1인지 확인한다: \frac{1}{6}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} = \frac{1}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6} = \frac{6}{6} = 1이므로 올바른 확률분포이다.
❷ 기댓값의 정의 E(X) = \sum x_i P(X=x_i)에 대입한다.
❸ E(X) = 0\times\frac{1}{6} + 1\times\frac{1}{2} + 2\times\frac{1}{3} = 0 + \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6}+\frac{4}{6} = \frac{7}{6}이다.

[오답 확인]
①번(5/6): P(X=2) 항의 곱 2×(1/3)을 빠뜨리고 1×(1/2)만 계산한 뒤 다른 값을 더한 경우의 오답이다.
②번(1): 확률값을 가중치로 곱하지 않고 단순히 x값들의 평균 (0+1+2)/3=1로 계산한 오답이다.
④번(4/3): 2×(2/3)처럼 확률을 잘못 대입하여 계산한 경우 나올 수 있는 값이다.
⑤번(3/2): 1×1 + 2×(1/3)과 같이 첫 항의 확률을 빠뜨리고 계산한 경우의 오답이다.

[핵심 개념]
이산확률변수의 기댓값(평균) E(X) = \sum x_i P(X=x_i)

[검증]
직접 계산으로 1/6+1/2+1/3=1 확인, E(X) = 0*(1/6)+1*(1/2)+2*(1/3) = 7/6으로 계산되어 일치함을 확인하였다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 조건부확률의 정의는 P(B|A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}이다.
❷ 주어진 값을 대입하면 P(B|A) = \dfrac{0.3}{0.6}이다.
❸ 계산하면 P(B|A) = 0.5이다.

[오답 확인]
①번(0.3): P(A∩B)의 값을 그대로 답으로 착각한 오답이다.
③번(0.6): P(A)의 값을 그대로 답으로 착각한 오답이다.
④번(0.7): P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8과 헷갈리거나 계산 실수로 나올 수 있는 값이다.
⑤번(0.8): P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) = 0.6+0.5-0.3 = 0.8을 조건부확률로 착각한 오답이다. 참고로 P(A|B) = 0.3/0.5 = 0.6이므로 이 값과도 혼동하지 않도록 주의해야 한다(③번과 값이 겹침에 유의).

[핵심 개념]
조건부확률 P(B|A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} (단, P(A)>0)

[검증]
직접 나누면 $0.3/0.6=1/2=0.5$가 되어 일치함을 확인하였다. 또한 P(A|B)=0.3/0.5=0.6으로 별도 계산하여 ③번과 혼동 가능성도 검토하였다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 전체 7개의 공 중에서 순서를 고려하지 않고 2개를 꺼내는 경우의 수는 \binom{7}{2} = 21이다.
❷ 흰 공 4개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는 \binom{4}{2} = 6이다.
❸ 따라서 구하는 확률은 \frac{6}{21} = \frac{2}{7}이다.

[오답 확인]
①번(1/7): 분자 계산에서 \binom{4}{2}를 3으로 잘못 계산하거나 약분을 잘못한 경우 나올 수 있는 값이다.
③번(3/7): 흰 공과 검은 공의 개수를 혼동하여 \binom{3}{2}/\binom{7}{2}처럼 검은 공 기준으로 계산한 경우의 오답이다.
④번(4/7): 조합 대신 단순히 첫 번째 공이 흰 공일 확률(4/7)만 계산하고 멈춘 경우의 오답이다.
⑤번(6/7): 분모와 분자를 뒤바꾸거나 여사건과 혼동한 경우 나올 수 있는 값이다.

[핵심 개념]
조합을 이용한 확률 계산 — 동시에 여러 개를 뽑는 사건은 순서를 고려하지 않는 조합으로 경우의 수를 세어야 한다.

[검증]
조합으로 계산하면 C(4,2)/C(7,2) = 6/21 = 2/7 (기약분수)로 일치함을 확인하였다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 이항분포 B(n,p)를 따르는 확률변수 X의 분산은 V(X) = np(1-p)이다.
❷ 여기서 n=10, p=\frac{1}{5}이므로 1-p = \frac{4}{5}이다.
❸ V(X) = 10 \times \frac{1}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}이다.

[오답 확인]
①번(2/5): np^2 = 10 \times \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{10}{25}=\frac{2}{5}처럼 (1-p) 대신 p를 한 번 더 곱한 오답이다.
②번(4/25): n을 곱하지 않고 p(1-p) = \frac{1}{5}\times\frac{4}{5} = \frac{4}{25}만 계산한 오답이다.
④번(2): 분산 공식을 기댓값 공식 E(X)=np와 혼동하여 10 \times \frac{1}{5} = 2로 계산한 오답이다.
⑤번(36/25): n을 10이 아닌 9로 착각하여 (n-1)p(1-p) = 9 \times \frac{4}{25} = \frac{36}{25}로 계산한 오답이다.

[핵심 개념]
이항분포의 평균과 분산: X\sim B(n,p)일 때 E(X)=np,\ V(X)=np(1-p)

[검증]
직접 계산하면 $10\times \frac{1}{5}\times \frac{4}{5}=\frac{8}{5}$가 되어 일치함을 확인하였다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 1부터 6까지의 자연수 중 중복을 허락하여 3개를 택하는 것은 중복조합 문제이다. 택한 후 크기 순서(비내림차순)로 배열하는 방법은 오직 한 가지뿐이므로, 만들 수 있는 수의 개수는 서로 다른 6개에서 3개를 택하는 중복조합의 수 {}_{6}\mathrm{H}_{3}와 같다.
❷ {}_{6}\mathrm{H}_{3} = {}_{6+3-1}\mathrm{C}_{3} = {}_{8}\mathrm{C}_{3}이다.
❸ {}_{8}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{8\times7\times6}{3\times2\times1} = 56이다.

[오답 확인]
①번(20): 중복을 허락하지 않는다고 착각하여 {}_{6}\mathrm{C}_{3}=20으로 계산한 오답이다.
③번(120): 순서를 고려하여 서로 다른 3개를 뽑아 나열하는 순열 {}_{6}\mathrm{P}_{3}=6\times5\times4=120으로 계산한 오답이다(비내림차순 배열은 순서가 유일하게 정해짐을 간과함).
④번(216): 각 자리에 중복을 허락하여 자유롭게 배열 가능하다고 착각하여 6^3=216으로 계산한 오답이다(비내림차순 조건을 무시함).
⑤번(336): {}_{8}\mathrm{P}_{3}=8\times7\times6=336처럼 중복조합 공식에서 3!으로 나누는 것을 빠뜨린 오답이다.

[핵심 개념]
중복조합: 서로 다른 n개에서 중복을 허락하여 r개를 택하는 경우의 수 {}_{n}\mathrm{H}_{r}={}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}. 택한 것을 크기순으로 나열하는 방법은 항상 1가지이므로, 중복조합의 수와 만들 수 있는 비내림차순 수열의 개수가 일치한다.

[검증]
$C(8,3)=56$으로 직접 계산한 결과와 일치한다. 오답 후보도 각각 조합·순열 공식을 적용해 구분할 수 있다.

🔴 정답: 4번

📌 초정밀 풀이
❶ X\sim N(70, 8^2)이므로 Z=\dfrac{X-70}{8}은 표준정규분포 N(0,1)을 따른다.
❷ X=66일 때 Z=\dfrac{66-70}{8}=-0.5이고, X=82일 때 Z=\dfrac{82-70}{8}=1.5이다.
❸ 따라서 구하는 확률은 P(-0.5\leq Z\leq1.5) = P(-0.5\leq Z\leq0)+P(0\leq Z\leq1.5) = P(0\leq Z\leq0.5)+P(0\leq Z\leq1.5) (정규분포의 대칭성 이용) = 0.1915+0.4332 = 0.6247이다.

[오답 확인]
①번(0.1915): P(0\leq Z\leq0.5) 한쪽 구간만 계산하고 나머지를 더하지 않은 오답이다.
②번(0.3830): 대칭성을 무시하고 0.1915를 2배(2\times0.1915)로 잘못 계산한 오답이다.
③번(0.4332): P(0\leq Z\leq1.5) 한쪽 구간만 계산하고 반대쪽 구간을 더하지 않은 오답이다.
⑤번(0.8664): 0.4332를 2배(2\times0.4332)로 계산하여 구간을 잘못 대칭시킨 오답이다.

[핵심 개념]
정규분포의 표준화: Z=\dfrac{X-m}{\sigma}, 정규분포 곡선은 평균을 기준으로 좌우 대칭이므로 P(-a\leq Z\leq0)=P(0\leq Z\leq a)이다.

[검증]
(66-70)/8=-0.5, (82-70)/8=1.5로 표준화 값을 재계산하였고, 0.1915+0.4332=0.6247로 소수 계산이 일치함을 확인하였다.

🔴 정답: 7

📌 초정밀 풀이
❶ 두 사건 A, B가 서로 독립이므로 P(A\cap B)=P(A)P(B)이다.
❷ 합사건의 확률 공식 P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)에 대입하면 \dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{3}+P(B)-\dfrac{1}{3}P(B)이다.
❸ 우변을 정리하면 \dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}P(B)이므로 \dfrac{2}{3}P(B)=\dfrac{3}{5}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{9}{15}-\dfrac{5}{15}=\dfrac{4}{15}이다.
❹ 양변에 \dfrac{3}{2}을 곱하면 P(B)=\dfrac{4}{15}\times\dfrac{3}{2}=\dfrac{12}{30}=\dfrac{2}{5}이다.
❺ 따라서 p=5, q=2이고 (서로소 확인: \gcd(5,2)=1) p+q=5+2=7이다.

[오답 확인]
독립사건의 곱셈정리 P(A\cap B)=P(A)P(B)를 배반사건의 조건(P(A\cap B)=0)과 혼동하면 \dfrac{3}{5}=\dfrac{1}{3}+P(B)에서 P(B)=\dfrac{4}{15}가 나오는데, 이때 p+q=15+4=19로 잘못된 답을 얻게 되므로 독립과 배반의 차이를 명확히 구분해야 한다.

[핵심 개념]
독립사건의 곱셈정리: 두 사건 A, B가 서로 독립이면 P(A\cap B)=P(A)P(B). 합사건의 확률: P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

[검증]
방정식 $\frac{1}{3}+P(B)-\frac{1}{3}P(B)=\frac{3}{5}$를 다시 풀면 $P(B)=\frac{2}{5}$이고, 기약분수의 분모와 분자 합은 $5+2=7$이다.

[오답 해설]
1) 19: 독립사건의 곱셈정리 대신 배반사건 조건($P(A\cap B)=0$)으로 착각하여 $\frac{3}{5}=\frac{1}{3}+P(B)$로 풀면 $P(B)=\frac{4}{15}$가 되어 $p+q=15+4=19$가 된 값이다.
2) 6: $\frac{2}{3}P(B)=\frac{3}{5}-\frac{1}{3}$을 전개하는 과정에서 곱셈정리의 $-\frac{1}{3}P(B)$ 항의 부호를 반대로($+\frac{1}{3}P(B)$) 처리하여 $P(B)=\frac{1}{5}$가 되고, $p+q=5+1=6$이 된 값이다.
3) 12: $\frac{3}{5}-\frac{1}{3}$을 계산하는 과정에서 부호를 반대로 하여 $\frac{3}{5}+\frac{1}{3}=\frac{14}{15}$로 처리해 $P(B)=\frac{7}{5}$(확률 범위를 벗어난 값)가 되고, $p+q=5+7=12$가 된 값이다.
5) 42: 올바르게 $P(B)=\frac{2}{5}$까지 구했으나 이를 기약분수로 약분하지 않고 $\frac{12}{30}$ 상태로 두어 $p+q=30+12=42$가 된 값이다.

🔴 정답: 4번

📌 초정밀 풀이
❶ 사건 A: 주머니 A를 택하는 사건, 사건 B: 주머니 B를 택하는 사건, 사건 W: 흰 공을 꺼내는 사건이라 하자. P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}이다.
❷ P(W|A)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}, P(W|B)=\dfrac{3}{8}이다.
❸ 전체확률의 정리에 의해 P(W)=P(A)P(W|A)+P(B)P(W|B)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{16}{48}+\dfrac{9}{48}=\dfrac{25}{48}이다.
❹ 베이즈 정리에 의해 P(A|W)=\dfrac{P(A)P(W|A)}{P(W)}=\dfrac{\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}}{\frac{25}{48}}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{48}}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{48}{25}=\dfrac{48}{75}=\dfrac{16}{25}이다.

[오답 확인]
①번(1/2): 사전확률 P(A)를 그대로 답으로 착각한 오답이다.
②번(2/3): 조건부확률 P(W|A)를 최종 답으로 착각한 오답이다(베이즈 정리 적용을 누락).
③번(3/8): P(W|B)의 값을 답으로 잘못 선택한 오답이다.
⑤번(25/48): 전체확률 P(W)의 값을 최종 답으로 착각하여 베이즈 정리의 분모까지만 계산하고 멈춘 오답이다.

[핵심 개념]
베이즈 정리(조건부확률의 역): P(A|W)=\dfrac{P(A\cap W)}{P(W)}=\dfrac{P(A)P(W|A)}{P(A)P(W|A)+P(B)P(W|B)}

[검증]
$P(W)=25/48$, $P(A|W)=(1/2\times 2/3)/(25/48)=16/25$로 다시 계산해도 일치한다.