고등 수학 확률의 덧셈정리와 여사건의 확률 예상문제

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\frac{3}{4}=P(A)+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$

$$P(A)=\frac{3}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{9-4+3}{12}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{2}{3}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 두 주사위를 던질 때 나오는 모든 경우의 수는 $6\times 6=36$이다.
❷ 여사건을 이용한다. "합이 4 이상"의 여사건은 "합이 4 미만", 즉 합이 2 또는 3인 사건이다.
❸ 합이 2인 경우: $(1,1)$의 1가지. 합이 3인 경우: $(1,2),(2,1)$의 2가지. 따라서 여사건의 경우의 수는 $1+2=3$가지이고, 그 확률은 $\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$이다.
❹ 구하는 확률은 $1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{5}{6}$: 여사건을 "합이 4 이하"로 착각하여 $(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1)$의 6가지를 뺀 값이다.
③ $\frac{17}{18}$: 합이 3인 경우 중 $(1,2)$ 또는 $(2,1)$ 하나만 세어 여사건을 $\frac{2}{36}$로 잘못 구한 값이다.
④ $\frac{35}{36}$: 여사건을 합이 2인 경우 1가지로만 좁혀 계산한 값이다.
⑤ $1$: 여사건의 확률이 0이라고 잘못 판단한 값이다.

[핵심 개념]
여사건의 확률: $P(A)=1-P(A^c)$. "이상"의 반대는 "미만"임에 유의해야 한다(이하로 혼동하지 않도록 주의).

[검증]
$36$가지 순서쌍을 모두 나열해 합이 4 미만인 경우가 $(1,1),(1,2),(2,1)$ 3가지뿐임을 직접 확인할 수 있으므로 $P=\frac{11}{12}$가 맞다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $A=\{1,2\}$이므로 $P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이다.
❷ $B=\{6\}$이므로 $P(B)=\frac{1}{6}$이다.
❸ $A\cap B=\varnothing$이므로 $A$, $B$는 배반사건이고, 배반사건일 때는 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$가 성립한다.
❹ 따라서 $$P(A\cup B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$이다.

[오답 확인]
① $\frac{1}{3}$: $P(A)$만 계산한 값이다.
② $\frac{5}{12}$: 확률을 통분하는 과정에서 분모를 잘못 잡아 생긴 오답이다.
④ $\frac{2}{3}$: $P(A)+P(B)$를 계산할 때 $B$의 확률을 $\frac{2}{6}$로 잘못 적용한 값이다.
⑤ $\frac{5}{6}$: $A\cup B$의 원소 개수를 5개로 잘못 세었을 때 나오는 값이다.

[핵심 개념]
배반사건일 때의 확률의 덧셈정리: $A\cap B=\varnothing$이면 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (교집합을 뺄 필요가 없다).

[검증]
$A\cup B=\{1,2,6\}$이므로 원소가 3개이고 $P(A\cup B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$로 일치한다.

🔴 정답: 17

📌 초정밀 풀이
❶ 1부터 20까지의 자연수 중 3의 배수인 사건을 $A$라 하면 $A=\{3,6,9,12,15,18\}$이므로 원소의 개수는 $6$개이다. 따라서 $P(A)=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$이다.
❷ 구하는 확률은 $A$의 여사건 $A^c$의 확률이므로 $P(A^c)=1-P(A)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$이다.
❸ $\frac{7}{10}$은 이미 기약분수이므로 $q=7$, $p=10$이고, $p+q=10+7=17$이다.

[오답 확인]
- 3의 배수의 개수를 $7$개로 잘못 세면(예: $21$을 포함) $P(A)=\frac{7}{20}$이 되어 답이 $\frac{13}{20}$이 되고, $p+q=33$이라는 오답이 나온다.
- 여사건을 취하지 않고 $P(A)=\frac{3}{10}$ 자체를 답으로 하면 $p+q=13$이라는 오답이 나온다.

[핵심 개념]
여사건의 확률: $P(A^c)=1-P(A)$. "~가 아닐 확률"은 여사건의 확률을 구하는 전형적인 표현이다.

[검증]
3의 배수가 아닌 수는 $1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20$의 $14$개이므로 $P(A^c)=\frac{14}{20}=\frac{7}{10}$으로 직접 세어도 일치한다.

[오답 해설]
- 1번(33): 3의 배수의 개수를 7개(21을 잘못 포함)로 세면 P(A)=7/20, P(A^c)=13/20이 되어 p+q=33이 나온다.
- 2번(13): 여사건을 취하지 않고 P(A)=3/10 자체를 답으로 착각하면 p+q=13이 나온다.
- 4번(34): P(A^c)=14/20을 기약분수로 약분하지 않고 그대로 p=20, q=14로 두면 p+q=34가 나온다.
- 5번(32): 카드가 20장이 아니라 19장이라고 착각(전체 개수 오류)하면 P(A^c)=13/19가 되어 p+q=32가 나온다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ 표본공간은 $\{1,2,3,4,5,6\}$이고 각 눈이 나올 확률은 $\frac{1}{6}$씩이다.
❷ 사건 $A$(3의 배수)$=\{3,6\}$이므로 $P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이다.
❸ 사건 $B$(4 이상)$=\{4,5,6\}$이므로 $P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$이고, $A\cap B=\{6\}$이므로 $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$이다.
❹ 확률의 덧셈정리에 의해 $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}+\frac{3}{6}-\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$이다.

[오답 확인]
① $\frac{1}{3}$: $P(A)$만 계산한 값이다.
② $\frac{1}{2}$: $P(B)$만 계산한 값이다.
④ $\frac{3}{4}$: 교집합을 잘못 구해 생긴 오답이다.
⑤ $\frac{5}{6}$: 교집합을 빼지 않고 $P(A)+P(B)$만 계산한 값이다(배반사건으로 착각).

[핵심 개념]
확률의 덧셈정리: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. $A,B$가 배반이 아니면 반드시 교집합을 빼야 한다.

[검증]
직접 원소를 나열하면 $A\cup B=\{3,4,5,6\}$이므로 $P(A\cup B)=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$로 일치한다.

🔴 정답 ① $\frac{3}{8}$

📌 초정밀 풀이
❶ $3$의 배수는 16개, $8$의 배수는 6개이고 둘 다의 배수($24$의 배수)는 2개이다. 정확히 하나에만 해당하는 수는 전체 합집합에서 교집합을 두 번 빼서 $16+6-2\times 2=18$개이므로 확률은 $\frac{18}{48}=\frac{3}{8}$이다.

[핵심 개념] 확률의 덧셈정리 및 여사건의 확률

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{3}{8}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $\frac{3}{7}$

📌 초정밀 풀이
❶ $2$의 배수 또는 $9$의 배수인 수는 $14+3-1=16$개이므로 여사건의 확률에 의해 $1-\frac{16}{28}=\frac{12}{28}=\frac{3}{7}$이다.

[핵심 개념] 확률의 덧셈정리 및 여사건의 확률

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{3}{7}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $\frac{5}{12}$

📌 초정밀 풀이
❶ $5$의 배수는 7개, $4$의 배수는 9개, $20(=5\times 4÷\gcd )$의 배수(둘 다의 배수)는 1개이므로 덧셈정리에 의해 $\frac{7+9-1}{36}=\frac{5}{12}$이다.

[핵심 개념] 확률의 덧셈정리 및 여사건의 확률

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{5}{12}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.