수학 개념정리

이차함수 그래프와 꼭짓점 구하기

이차함수 문제는 결국 꼭짓점과 축을 찾는 문제입니다. 표준형과 일반형을 오가는 방법을 확실히 익혀 두세요.

업데이트 2026-09-25

기본형 $y = a x^{2}$

꼭짓점 $(0, 0)$ , 축 $x = 0$ ( $y$ 축)
$a > 0$ 이면 아래로 볼록, $a < 0$ 이면 위로 볼록
$∣ a ∣$ 가 클수록 폭이 좁아집니다.

표준형 $y = a (x - p)^{2} + q$

$y = a x^{2}$ 을 $x$ 축 방향으로 $p$ , $y$ 축 방향으로 $q$ 만큼 평행이동한 그래프
꼭짓점 $(p, q)$ , 축의 방정식 $x = p$

일반형 $y = a x^{2} + b x + c$ → 꼭짓점

y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}

꼭짓점 $(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a})$ , y절편은 $c$ 입니다. 실전에서는 $x = - \frac{b}{2 a}$ 를 원래 식에 대입해 $y$ 좌표를 구하는 것이 빠릅니다.

예제

$y = 2 x^{2} - 8 x + 5$ → $x = - \frac{- 8}{4} = 2$ , $y = 8 - 16 + 5 = - 3$ → 꼭짓점 $(2, - 3)$ , 축 $x = 2$

완전제곱식으로 쓰면 $y = 2 (x - 2)^{2} - 3$

최댓값·최솟값

$a > 0$ : 꼭짓점에서 최솟값 $q$ , 최댓값 없음
$a < 0$ : 꼭짓점에서 최댓값 $q$ , 최솟값 없음
$x$ 의 범위가 주어지면 꼭짓점과 양 끝값을 모두 비교합니다(고1).

a, b, c의 부호 판별

$a$ : 볼록 방향 (아래로 볼록이면 $a > 0$ )
$b$ : 축이 $y$ 축 왼쪽이면 $a, b$ 같은 부호, 오른쪽이면 다른 부호
$c$ : y절편의 부호

자주 묻는 질문

이차함수 꼭짓점 공식은?: y=ax²+bx+c의 꼭짓점 x좌표는 -b/(2a)이고, 이 값을 식에 대입하면 y좌표가 나옵니다.
a의 값이 클수록 그래프는?: |a|가 클수록 그래프의 폭이 좁아집니다.

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