외심과 내심의 차이는?

외심은 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점까지 거리가 같고, 내심은 세 내각의 이등분선의 교점으로 세 변까지 거리가 같습니다.

직각삼각형의 외심은 어디에 있나요?

빗변의 중점에 있습니다. 따라서 외접원의 반지름은 빗변 길이의 절반입니다.

내심을 I라 하면 ∠BIC = 90° + ½∠A 입니다.

삼각형의 넓이를 S, 세 변의 길이를 a, b, c라 하면 r = 2S/(a+b+c) 입니다.

수학 개념정리

중2 도형 단원에서 가장 많이 헷갈리는 외심과 내심을 한 표로 비교하고, 시험에 나오는 각도 공식과 내접원 반지름 공식을 예제와 함께 정리했습니다.

업데이트 2026-09-26

구분	외심 (O)	내심 (I)
정의	세 변의 수직이등분선의 교점	세 내각의 이등분선의 교점
같은 거리	세 꼭짓점까지의 거리가 같다 $\overline{O A} = \overline{OB} = \overline{OC}$	세 변까지의 거리가 같다
관련 원	외접원 (반지름 = $\overline{O A}$ )	내접원 (반지름 = 내심에서 변까지 거리)
위치	삼각형 모양에 따라 안·위·밖	항상 삼각형 내부
각도 공식	$∠ BOC = 2∠ A$	$∠ B I C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A$

외워 두는 법: 외심은 꼭짓점 → 원이 삼각형 바깥을 감싼다(외접원). 내심은 변 → 원이 삼각형 안에 들어간다(내접원).

직각삼각형에서 외심이 빗변의 중점이라는 성질은 매우 자주 나옵니다. 빗변이 10이면 외접원의 반지름은 5입니다.

외심 O에 대해 $△ O A B, △ OBC, △ OC A$ 는 모두 이등변삼각형입니다. 이를 이용하면

∠ x + ∠ y + ∠ z = 9 0^{\circ} (∠ O A B = ∠ x, ∠ OBC = ∠ y, ∠ OC A = ∠ z)

∠ BOC = 2∠ A

예) $∠ A = 5 0^{\circ}$ 이면 $∠ BOC = 10 0^{\circ}$

내심 I는 각의 이등분선의 교점이므로 각 꼭짓점의 각이 반으로 나뉩니다.

\frac{1}{2} ∠ A + \frac{1}{2} ∠ B + \frac{1}{2} ∠ C = 9 0^{\circ}

∠ B I C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A

예) $∠ A = 7 0^{\circ}$ 이면 $∠ B I C = 9 0^{\circ} + 3 5^{\circ} = 12 5^{\circ}$

세 변의 길이가 $a, b, c$ 이고 넓이가 $S$ 인 삼각형의 내접원 반지름을 $r$ 이라 하면, 삼각형을 내심 기준으로 세 조각으로 나누어

S = \frac{1}{2} r (a + b + c) \Rightarrow r = \frac{2 S}{a + b + c}

직각삼각형 특별 공식: 빗변이 $c$ 이고 나머지 두 변이 $a, b$ 이면 $r = \frac{a + b - c}{2}$

예) 세 변이 3, 4, 5인 직각삼각형: $S = 6$ , $r = \frac{2 \times 6}{12} = 1$ . 특별 공식으로도 $\frac{3 + 4 - 5}{2} = 1$

내접원이 세 변과 만나는 점을 D, E, F라 하면 한 꼭짓점에서 두 접점까지의 거리는 같습니다. 예를 들어 $\overline{A D} = \overline{A F}$ . 이 성질로 변의 길이를 나누어 구하는 문제가 자주 나옵니다.

정삼각형은 외심, 내심, 무게중심이 모두 한 점에서 만납니다.

중학교 2학년 수학 '삼각형의 성질' 단원 기준. 교과서마다 단원 이름과 순서는 조금 다를 수 있습니다.

외심과 내심의 차이는?: 외심은 세 변의 수직이등분선의 교점으로 세 꼭짓점까지 거리가 같고, 내심은 세 내각의 이등분선의 교점으로 세 변까지 거리가 같습니다.
직각삼각형의 외심은 어디에 있나요?: 빗변의 중점에 있습니다. 따라서 외접원의 반지름은 빗변 길이의 절반입니다.
내심 각도 공식은?: 내심을 I라 하면 ∠BIC = 90° + ½∠A 입니다.
내접원 반지름은 어떻게 구하나요?: 삼각형의 넓이를 S, 세 변의 길이를 a, b, c라 하면 r = 2S/(a+b+c) 입니다.