n각형 내각의 합 공식은?

180°×(n−2)입니다. 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형 n−2개로 나뉘기 때문입니다.

다각형 외각의 합은 왜 항상 360°인가요?

각 꼭짓점에서 내각과 외각의 합이 180°이므로 전체 합은 180°×n이고, 여기서 내각의 합 180°×(n−2)를 빼면 항상 360°가 됩니다.

대각선 개수 공식은?

n각형의 대각선 총 개수는 n(n−3)/2입니다. 한 꼭짓점에서 n−3개를 그을 수 있고, 각 대각선을 두 번 셌으므로 2로 나눕니다.

정육각형 한 내각의 크기는?

180°×(6−2)÷6 = 120°입니다. 한 외각은 360°÷6 = 60°입니다.

수학 개념정리

다각형 내각의 합·외각의 합·대각선 개수 공식

중1 평면도형 단원의 핵심 공식 세 가지, 다각형 내각의 합, 외각의 합, 대각선 개수를 유도 과정과 함께 정리했습니다. 정다각형 한 내각의 크기 표와 시험 단골 예제도 담았습니다.

업데이트 2026-09-26

공식 한눈에 보기

구하는 것	공식 (n각형)
한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 수	$n - 3$
대각선의 총 개수	$\frac{n ( n - 3 )}{2}$
내각의 크기의 합	$18 0^{\circ} \times (n - 2)$
외각의 크기의 합	$36 0^{\circ}$ (n과 관계없이 항상)
정n각형 한 내각의 크기	$\frac{18 0 ^{\circ} \times ( n - 2 )}{n}$
정n각형 한 외각의 크기	$\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$

1. 대각선의 개수

n각형의 한 꼭짓점에서는 자기 자신과 이웃한 두 꼭짓점을 뺀 $n - 3$ 개의 꼭짓점으로 대각선을 그을 수 있습니다. 꼭짓점이 n개이므로 $n (n - 3)$ 개를 세게 되는데, 대각선 하나를 양 끝 꼭짓점에서 두 번씩 셌으므로 2로 나눕니다.

대각선의 총 개수 = \frac{n ( n - 3 )}{2}

예) 육각형: $\frac{6 \times 3}{2} = 9$ 개, 십각형: $\frac{10 \times 7}{2} = 35$ 개

2. 내각의 크기의 합

n각형의 한 꼭짓점에서 대각선을 모두 그으면 삼각형 $n - 2$ 개로 나뉩니다. 삼각형 내각의 합이 $18 0^{\circ}$ 이므로

n 각형 내각의 합 = 18 0^{\circ} \times (n - 2)

다각형	삼각형 개수	내각의 합
삼각형	1	180°
사각형	2	360°
오각형	3	540°
육각형	4	720°
팔각형	6	1080°
십각형	8	1440°

3. 외각의 크기의 합은 항상 360°

각 꼭짓점에서 (내각) + (외각) = $18 0^{\circ}$ 입니다. n개 꼭짓점을 모두 더하면 $18 0^{\circ} \times n$ 이고, 여기서 내각의 합 $18 0^{\circ} \times (n - 2)$ 를 빼면

18 0^{\circ} n - 18 0^{\circ} (n - 2) = 36 0^{\circ}

그래서 삼각형이든 백각형이든 외각의 합은 언제나 360°입니다.

정다각형 한 내각·한 외각 표

정다각형	한 내각	한 외각	대각선 수
정삼각형	60°	120°	0
정사각형	90°	90°	2
정오각형	108°	72°	5
정육각형	120°	60°	9
정팔각형	135°	45°	20
정구각형	140°	40°	27
정십각형	144°	36°	35
정십이각형	150°	30°	54

시험 단골 예제

예제 1. 내각의 합이 $126 0^{\circ}$ 인 다각형은?
$18 0^{\circ} \times (n - 2) = 126 0^{\circ}$ 에서 $n - 2 = 7$ , $n = 9$ . 구각형

예제 2. 한 외각의 크기가 $2 4^{\circ}$ 인 정다각형은?
$\frac{36 0 ^{\circ}}{n} = 2 4^{\circ}$ 에서 $n = 15$ . 정십오각형

예제 3. 대각선이 모두 20개인 다각형은?
$\frac{n ( n - 3 )}{2} = 20$ , $n (n - 3) = 40 = 8 \times 5$ 에서 $n = 8$ . 팔각형

예제 4. 한 내각과 한 외각의 크기의 비가 $3 : 1$ 인 정다각형은?
한 외각 $= 18 0^{\circ} \times \frac{1}{4} = 4 5^{\circ}$ , $\frac{36 0 ^{\circ}}{n} = 4 5^{\circ}$ 에서 $n = 8$ . 정팔각형

자주 하는 실수

외각의 합을 $18 0^{\circ} \times n$ 으로 착각하기 → 외각의 합은 항상 $36 0^{\circ}$
대각선 총 개수에서 2로 나누는 것을 잊기
정다각형이 아닌데 한 내각을 공식으로 구하기 → 한 내각 공식은 정다각형에만 적용

중학교 1학년 수학 '평면도형' 단원 기준. 교과서마다 단원 이름과 순서는 조금 다를 수 있습니다.

자주 묻는 질문

n각형 내각의 합 공식은?: 180°×(n−2)입니다. 한 꼭짓점에서 대각선을 그으면 삼각형 n−2개로 나뉘기 때문입니다.
다각형 외각의 합은 왜 항상 360°인가요?: 각 꼭짓점에서 내각과 외각의 합이 180°이므로 전체 합은 180°×n이고, 여기서 내각의 합 180°×(n−2)를 빼면 항상 360°가 됩니다.
대각선 개수 공식은?: n각형의 대각선 총 개수는 n(n−3)/2입니다. 한 꼭짓점에서 n−3개를 그을 수 있고, 각 대각선을 두 번 셌으므로 2로 나눕니다.
정육각형 한 내각의 크기는?: 180°×(6−2)÷6 = 120°입니다. 한 외각은 360°÷6 = 60°입니다.

과목별 예상문제

중1 수학11개 단원