원주각과 중심각의 관계는?

한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 절반입니다.

반원에 대한 원주각은 몇 도인가요?

지름에 대한 중심각이 180°이므로 원주각은 90°입니다.

원에 내접하는 사각형의 성질은?

마주 보는 두 각의 합이 180°이고, 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 내각(내대각)의 크기와 같습니다.

접선과 현이 이루는 각의 성질은?

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는, 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같습니다.

수학 개념정리

원주각의 성질과 접선과 현이 이루는 각

중3 원의 성질 단원에서 시험에 반드시 나오는 원주각의 성질 5가지를 공식과 그림 설명, 예제로 정리했습니다.

업데이트 2026-09-26

핵심 성질 5가지

성질	내용
① 원주각과 중심각	한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 $\frac{1}{2}$
② 같은 호의 원주각	한 원에서 같은 호에 대한 원주각의 크기는 모두 같다
③ 반원에 대한 원주각	지름에 대한 원주각은 $9 0^{\circ}$
④ 원에 내접하는 사각형	마주 보는 두 각(대각)의 합은 $18 0^{\circ}$ , 한 외각은 이웃하지 않은 내각(내대각)과 같다
⑤ 접선과 현이 이루는 각	그 각 안에 있는 호에 대한 원주각과 같다

용어 정리

중심각: 원의 중심 O에서 호의 양 끝을 이은 각 $∠ A OB$
원주각: 원 위의 한 점 P에서 호의 양 끝을 이은 각 $∠ A PB$

① 원주각 = 중심각의 절반

∠ A PB = \frac{1}{2} ∠ A OB

예) 중심각이 $14 0^{\circ}$ 이면 원주각은 $7 0^{\circ}$ . 원주각이 $3 5^{\circ}$ 이면 중심각은 $7 0^{\circ}$ .

② 같은 호에 대한 원주각은 모두 같다

호 AB에 대한 원주각은 점 P가 호 AB의 반대편 원 위 어디에 있든 크기가 같습니다. 반대로, 길이가 같은 호에 대한 원주각도 같고, 원주각의 크기는 호의 길이에 정비례합니다.

③ 지름에 대한 원주각은 90°

지름에 대한 중심각은 $18 0^{\circ}$ 이므로 원주각은 $9 0^{\circ}$ 입니다. 문제에 지름이 보이면 직각삼각형을 먼저 찾으세요. 피타고라스 정리와 함께 자주 출제됩니다. (피타고라스 정리 보기)

④ 원에 내접하는 사각형

∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}, ∠ B + ∠ D = 18 0^{\circ}

한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않은 내각(내대각)의 크기와 같습니다.

예) 원에 내접하는 사각형 ABCD에서 $∠ A = 10 0^{\circ}$ 이면 $∠ C = 8 0^{\circ}$ .

역으로, 한 쌍의 대각의 합이 $18 0^{\circ}$ 인 사각형은 원에 내접합니다. 네 점이 한 원 위에 있는지 묻는 문제에 쓰입니다.

⑤ 접선과 현이 이루는 각

원 위의 점 A에서 그은 접선과 현 AB가 이루는 각은, 그 각의 내부에 있는 호 AB에 대한 원주각과 같습니다.

∠ B A T = ∠ A CB

(AT는 점 A에서의 접선, C는 호 AB의 반대편 원 위의 점)

예) 접선과 현이 이루는 각이 $5 5^{\circ}$ 이면 그 호에 대한 원주각도 $5 5^{\circ}$ , 중심각은 $11 0^{\circ}$ .

예제

예제 1. 원 O에서 $∠ A OB = 13 0^{\circ}$ 일 때, 호 AB에 대한 원주각 $∠ A PB$ 는? (P는 큰 호 위의 점)
$∠ A PB = 6 5^{\circ}$

예제 2. AB가 지름이고 $∠ A BC = 3 5^{\circ}$ 일 때 $∠ B A C$ 는?
$∠ A CB = 9 0^{\circ}$ 이므로 $∠ B A C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 5^{\circ} = 5 5^{\circ}$

예제 3. 원에 내접하는 사각형에서 $∠ B = 3 x$ , $∠ D = 2 x + 3 0^{\circ}$ 일 때 $x$ 는?
$3 x + 2 x + 3 0^{\circ} = 18 0^{\circ}$ , $x = 3 0^{\circ}$

자주 하는 실수

원주각을 중심각의 2배로 거꾸로 계산하기
원주각이 작은 호에 대한 것인지 큰 호에 대한 것인지 확인하지 않기 (큰 호의 중심각은 $36 0^{\circ}$ 에서 작은 호의 중심각을 뺀 값)
내접 사각형에서 이웃한 두 각의 합을 $18 0^{\circ}$ 로 착각하기 → 마주 보는 두 각

중학교 3학년 수학 '원의 성질' 단원 기준. 교과서마다 단원 이름과 순서는 조금 다를 수 있습니다.

자주 묻는 질문

원주각과 중심각의 관계는?: 한 호에 대한 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 절반입니다.
반원에 대한 원주각은 몇 도인가요?: 지름에 대한 중심각이 180°이므로 원주각은 90°입니다.
원에 내접하는 사각형의 성질은?: 마주 보는 두 각의 합이 180°이고, 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 내각(내대각)의 크기와 같습니다.
접선과 현이 이루는 각의 성질은?: 원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는, 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와 같습니다.