중3 수학 원주각 예상문제

[풀이 과정]
1) 사각형이 원에 내접하기 위한 조건은 '한 쌍의 대각의 크기의 합이 180°'인 것이다.
2) ∠A+∠C=100°+80°=180°이고, ∠B+∠D=95°+85°=180°이므로 두 쌍의 대각의 합이 모두 180°이다.
3) 따라서 이 사각형은 원에 내접할 수 있으며, 그 이유는 대각의 합이 각각 180°이기 때문이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] '원에 내접하는 사각형은 한 쌍의 대각의 합이 180°이다'라는 성질의 역, 즉 '대각의 합이 180°이면 그 사각형은 원에 내접한다'도 성립한다.
[핵심 2] 네 내각의 합이 360°인 것은 모든 사각형에서 항상 성립하는 자명한 사실이므로, 내접 여부를 판단하는 근거로는 부적절하다.
[핵심 3] 한 쌍의 대각의 합만 180°임을 확인하면 나머지 한 쌍도 자동으로 180°가 됨을 알 수 있다(전체 합이 360°이므로).

[자주 하는 실수]
'네 각의 합이 360°'라는 항상 성립하는 사실을 내접 조건으로 착각하거나, 이웃한 두 각의 합을 대각의 합으로 잘못 계산하는 실수가 있다.

[검산]
100+80=180, 95+85=180으로 두 쌍의 대각의 합이 모두 정확히 180°이므로 내접 조건을 만족한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) OA, OB는 모두 반지름이므로 삼각형 OAB는 OA=OB인 이등변삼각형이다.
2) 원주각은 같은 호에 대한 중심각의 절반이므로 ∠ACB=∠AOB÷2이다.
3) 따라서 ∠ACB=100°÷2=50°이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 삼각형 OAB가 이등변삼각형이라는 사실은 원주각을 구하는 데 직접 필요하지는 않지만, 반지름의 성질을 확인하는 배경 지식으로 함께 다뤄진다.
[핵심 2] 원주각=중심각÷2 공식은 중심각의 크기와 관계없이(우각이 아닌 경우) 항상 성립하는 기본 공식이다.
[핵심 3] 중심각이 100°처럼 90°를 넘는 경우에도 원주각 공식은 동일하게 적용된다는 것을 확인할 수 있는 문제이다.

[자주 하는 실수]
중심각을 그대로 원주각으로 착각하거나, 이등변삼각형의 밑각을 구하는 문제와 혼동하여 (180-100)÷2=40°를 답으로 고르는 실수가 있다.

[검산]
원주각 50°의 2배는 100°로 주어진 중심각과 정확히 일치하므로 계산이 타당하다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 호 AB의 길이가 트랙 전체 둘레의 1/6이므로, 호 AB에 대한 중심각도 원 전체(360°)의 1/6이다.
2) 중심각=360×(1/6)=60(°)이다.
3) 원주각은 중심각의 절반이므로, ∠ACB=60÷2=30(°)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 원에서 호의 길이는 그 호에 대한 중심각의 크기에 정비례하므로, 호의 길이의 비율(분수)을 알면 그대로 360°에 곱해 중심각을 구할 수 있다.
[핵심 2] 중심각을 구한 뒤 원주각으로 변환하는 마지막 단계(÷2)를 잊지 않아야 완전한 풀이가 되며, 이 두 단계(호의 비율→중심각→원주각)를 순서대로 밟는 것이 이 유형의 표준적인 접근이다.

[자주 하는 실수]
호의 길이의 비율을 중심각이 아니라 곧바로 원주각의 비율로 착각해 360×(1/6)÷2 대신 360×(1/6)만 계산하고 2로 나누지 않는 실수, 또는 반대로 1/6을 두 번 나누는 실수를 한다.

[검산]
중심각 60°의 6배는 360°로 원 전체와 일치하며, 원주각 30°는 중심각 60°의 정확히 절반이므로 계산이 올바르다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 삼각형의 세 내각의 합은 180°이므로 ∠ACB=180°-50°-60°=70°이다.
2) ∠ACD는 ∠ACB의 외각이므로 ∠ACD=180°-∠ACB=180°-70°=110°이다.
3) 이는 삼각형의 외각의 성질(외각=두 내대각의 합)로도 확인할 수 있다: ∠ACD=∠BAC+∠ABC=50°+60°=110°이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 삼각형의 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각(내대각)의 크기의 합과 같다는 성질이 핵심이다.
[핵심 2] 이 문제는 원에 내접한다는 조건이 직접 사용되지는 않지만, 원에 내접하는 다각형 문제에서 삼각형의 외각 성질이 자주 결합되어 출제된다.
[핵심 3] 외각을 구하는 두 가지 방법(180°에서 이웃한 내각을 빼는 방법, 두 내대각을 더하는 방법)을 모두 활용할 수 있어야 한다.

[자주 하는 실수]
외각과 내각을 혼동하여 ∠ACB의 값을 그대로 답으로 쓰거나, 두 내대각을 더하지 않고 하나만 사용하는 실수가 있다.

[검산]
180°-70°=110°와 50°+60°=110°의 두 계산 결과가 일치하므로 답이 정확함을 확인할 수 있다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) BD가 지름이므로 반원에 대한 원주각 ∠BAD=90°이며, 삼각형 ABD는 직각삼각형이다.
2) 이 직각삼각형에서 ∠ABD=30°이고 빗변 BD=10cm이므로, AD는 30°각의 대변이다.
3) sin30°=AD/BD이므로 AD=BD×sin30°=10×(1/2)=5(cm)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 지름과 원 위의 한 점이 만드는 삼각형은 항상 직각삼각형(반원에 대한 원주각=90°)이 되므로, 원주각의 값이 주어지면 삼각비를 이용해 나머지 변의 길이를 바로 구할 수 있다.
[핵심 2] 이 유형은 원의 성질(반원의 원주각)과 삼각비 단원을 연결하는 문제로, 피타고라스의 수를 이용하는 기존 문제와 달리 특수각의 삼각비 값을 직접 활용해야 한다.

[자주 하는 실수]
sin30° 대신 cos30°를 사용해 AD=10×(√3/2)=5√3으로 잘못 계산하거나, 어느 각의 대변이 AD인지 파악하지 못하고 BD 자체를 답으로 착각하는 실수를 한다.

[검산]
AD=5cm이면 직각삼각형 ABD에서 AB=√(BD²-AD²)=√(100-25)=√75=5√3이며, sin(∠ABD)=AD/BD=5/10=1/2=sin30°로 조건과 정확히 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) '한 호에 대한 원주각은 모두 같다'는 원주각의 성질을 이용한다.
2) 원 위의 어느 점에서 같은 호 AB를 바라보더라도, 그 원주각은 항상 같은 중심각의 절반이라는 동일한 값을 갖는다.
3) 따라서 원 위의 다른 점에서 측정해도 원주각의 크기는 여전히 42°로 동일하다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이 문제는 계산이 필요 없는 '개념 확인형' 문제로, '같은 호 → 같은 원주각'이라는 성질을 정확히 이해하고 있는지가 핵심이다.
[핵심 2] 점의 위치가 바뀌어도 값이 변하지 않는다는 것은, 이 성질이 도형의 대칭성이 아니라 '모두 같은 중심각의 절반'이라는 공통 근거에서 나온다는 점을 이해하면 자연스럽다.
[핵심 3] 실전 문제에서는 이 성질을 이용해 서로 다른 삼각형의 각을 서로 바꿔치기해서 답을 구하는 경우가 많으므로 확실히 익혀두어야 한다.

[자주 하는 실수]
점의 위치가 다르면 각도도 달라질 것이라 착각해 21°(절반)나 84°(2배)로 잘못 계산하는 실수가 있다.

[검산]
두 원주각 모두 동일한 중심각(호 AB에 대한 중심각)의 절반이라는 같은 근거를 가지므로 값이 같아야 함이 논리적으로 확인된다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 삼각형 ABC가 원에 내접하므로, 꼭짓점 B는 원 위의 점이고 ∠ABC는 호 AC(B를 포함하지 않는 호)에 대한 원주각이다.
2) 원주각의 정리에 의해, 이 호에 대한 중심각의 크기는 원주각의 2배이다.
3) 따라서 중심각 = 40°×2 = 80°이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 내접삼각형 문제에서는 삼각형의 한 내각이 곧 마주 보는 호에 대한 원주각이라는 것을 인식하는 것이 첫 단계이다.
[핵심 2] 꼭짓점의 이름(A, B, C)이 바뀌어도 원리는 동일하며, 항상 '어느 각이 어느 호를 마주 보는지'를 정확히 파악해야 한다.
[핵심 3] 이렇게 구한 중심각은 이후 부채꼴의 넓이나 호의 길이를 구하는 문제로 확장해서 활용할 수 있다.

[자주 하는 실수]
∠ABC를 호 AC가 아닌 다른 호(호 AB나 호 BC)에 대한 원주각으로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
중심각 80°의 절반은 40°로 원주각(∠ABC)과 정확히 일치한다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 원주각은 중심각의 절반이므로, 중심각은 원주각의 2배로 구한다.
2) 중심각=2×25°이다.
3) 2×25°=50°이므로 이 현에 대한 중심각은 50°이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 공연장, 경기장처럼 원형 또는 부채꼴 형태로 설계된 실생활 구조물에서도 무대(또는 특정 지점)를 바라보는 각도는 원주각의 성질을 그대로 적용해 분석할 수 있다.
[핵심 2] 원주각의 2배가 중심각이라는 관계는 관찰 위치가 원 위 어디에 있든(같은 쪽 호 위라면) 항상 성립한다.

[자주 하는 실수]
원주각과 중심각의 값을 서로 바꾸어 생각해서 중심각을 12.5°로 계산하거나, 2를 곱하는 대신 더하여 27°로 잘못 계산한다.

[검산]
중심각이 50°이면 원주각은 그 절반인 25°이므로 문제에서 주어진 값과 정확히 일치한다.

정답: 1