중3 수학 이차방정식의 활용 예상문제

[풀이 과정]
1) 부채꼴의 넓이는 (1/2)×(반지름)×(호의 길이)이므로, 넓이=(1/2)×x×(x+2)이다.
2) (1/2)x(x+2)=24이므로 양변에 2를 곱하면 x(x+2)=48, 즉 x²+2x-48=0이다.
3) 이를 인수분해하면 (x+8)(x-6)=0이므로 x=-8 또는 x=6이며, x>0이므로 x=6이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 부채꼴의 넓이는 중심각을 몰라도 반지름과 호의 길이만 알면 (1/2)×반지름×호의 길이 공식으로 바로 구할 수 있으며, 이는 원의 넓이를 (1/2)×반지름×둘레로 구하는 것과 같은 원리이다.
[핵심 2] 이 공식에 문자식으로 표현된 반지름과 호의 길이를 대입하면 이차방정식이 만들어지므로, 인수분해나 근의 공식으로 반지름을 구할 수 있다.

[자주 하는 실수]
부채꼴의 넓이 공식에서 (1/2)을 빠뜨려 x(x+2)=24로 방정식을 잘못 세우거나, 이차방정식의 두 해 중 음수(-8)를 반지름으로 착각해 답으로 선택한다.

[검산]
x=6일 때 호의 길이는 8이며, 넓이는 (1/2)×6×8=24cm²로 주어진 조건과 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 2년 복리 원리합계는 원금×(1+r)²이므로, 원금의 1.21배라는 조건에서 (1+r)²=1.21이라는 방정식을 세울 수 있다.
2) 양변에 제곱근을 취하면 1+r=±1.1이며, r>0이라는 조건에서 1+r=1.1을 선택한다.
3) 따라서 r=1.1-1=0.1이며, 이는 백분율로 10%이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 복리 이자 문제에서 n년 후의 원리합계는 원금×(1+이율)ⁿ으로 계산되며, 2년 복리인 경우 (1+r)²과 같은 이차식이 등장해 이차방정식으로 이어진다.
[핵심 2] (1+r)²=(양수) 꼴의 방정식은 1+r=±√(양수)의 두 해를 가지지만, 이율 r은 0보다 커야 하므로(문제 조건) 양의 제곱근을 선택하는 것이 원칙이다.

[자주 하는 실수]
(1+r)²=1.21에서 양변을 그대로 전개해 1+2r+r²=1.21로 복잡하게 풀려다 계산 실수를 하거나, 1+r=-1.1이라는 조건에 맞지 않는 해를 선택하는 실수를 한다.

[검산]
r=10%(=0.1)이면 (1+0.1)²=1.21로 원금의 1.21배가 되어 조건과 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 1시간 후 동쪽으로 이동한 거리는 x km, 북쪽으로 이동한 거리는 (x+7) km이며, 이 두 이동 경로는 직각을 이룬다.
2) 피타고라스 정리에 의해 x²+(x+7)²=13²이다.
3) 이를 전개하여 정리하면 2x²+14x+49=169, 즉 x²+7x-60=0이고, 인수분해하면 (x+12)(x-5)=0이므로 x=5(x>0)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 두 이동 경로가 서로 수직(동쪽과 북쪽)이면 출발점과 두 드론의 위치가 직각삼각형을 이루므로 피타고라스 정리를 적용해 방정식을 세울 수 있다.
[핵심 2] 실생활 문제에서 이차방정식을 풀어 두 근이 나오더라도, 속력이나 길이는 반드시 양수여야 하므로 조건에 맞지 않는 근(x=-12)은 버려야 한다.

[자주 하는 실수]
(x+7)²을 전개할 때 x²+49로 잘못 전개(가운데 항 14x를 빠뜨림)하거나, 음수인 근 x=-12를 걸러내지 않고 답으로 제시한다.

[검산]
x=5이면 동쪽 이동 거리는 5km, 북쪽 이동 거리는 12km이며, 5²+12²=25+144=169=13²으로 피타고라스 정리가 정확히 성립한다(5-12-13의 피타고라스 수).

정답: 1

[풀이 과정]
1) 가로줄의 개수와 세로줄의 개수를 곱하면 전체 색종이의 개수가 되므로, n(n+3)=154라는 방정식을 세울 수 있다.
2) 이를 전개하면 n²+3n=154, 즉 n²+3n-154=0이다.
3) 인수분해하면 (n-11)(n+14)=0이므로 n=11 또는 n=-14이다. n은 자연수(개수)이어야 하므로 n=11이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 물건을 직사각형 모양으로 배열하는 문제는 (가로 방향 개수)×(세로 방향 개수)=(전체 개수)라는 기본 관계식을 이차방정식으로 세우는 대표적인 실생활 응용 유형이다.
[핵심 2] 개수를 나타내는 미지수는 반드시 자연수이어야 하므로, 이차방정식의 두 근 중 음수인 근은 항상 조건에 맞지 않아 배제해야 한다.

[자주 하는 실수]
n(n+3)=154를 n²+3=154처럼 잘못 전개하거나(곱셈이 아니라 덧셈으로 착각), 두 근 중 음수인 -14를 배제하지 않고 그대로 답으로 제출한다.

[검산]
n=11일 때 가로는 11장, 세로는 14장이므로 전체 개수는 11×14=154로 조건과 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 어떤 자연수를 x라 하면, '제곱이 그 수의 5배보다 6만큼 크다'는 조건으로 방정식 x²=5x+6을 세운다.
2) 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리하면 x²-5x-6=0이 되고, 인수분해하면 (x-6)(x+1)=0이다.
3) x=6 또는 x=-1인데, x는 자연수여야 하므로 x=-1은 조건에 맞지 않아 버리고 x=6이 답이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] '~보다 ~만큼 크다'는 표현은 '(기준값)+(만큼)'으로 정확히 번역해서 방정식의 우변에 배치해야 한다.
[핵심 2] 자연수 조건은 음수 해뿐 아니라 0이나 분수 해가 나올 경우에도 동일하게 적용해서 걸러내야 한다.
[핵심 3] 방정식을 세울 때 '제곱'과 '5배'라는 서로 다른 연산을 정확히 구분해서 x²과 5x로 각각 표현해야 한다.

[자주 하는 실수]
x=-1이 자연수가 아님을 확인하지 않고 두 해를 모두 답하거나, 방정식을 x²=5(x+6)처럼 잘못 세우는 실수가 있다.

[검산]
x=6일 때 6²=36이고, 5×6+6=36으로 두 값이 정확히 일치한다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 전체 일의 양을 1이라 하면, A는 하루에 1/x, B는 하루에 1/(x+3)만큼 일을 한다.
2) 두 사람이 함께 하루에 하는 일의 양은 1/x+1/(x+3)이며, 함께 하면 2일이 걸리므로 하루에 하는 일의 양은 1/2이다. 즉 1/x+1/(x+3)=1/2이다.
3) 양변에 2x(x+3)을 곱해 정리하면 2(x+3)+2x=x(x+3), 즉 x²-x-6=0이 되고, 인수분해하면 (x-3)(x+2)=0이다. x>0이므로 x=3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 일에 관한 활용 문제에서는 전체 일의 양을 1로 놓고, '하루(단위 시간)당 일한 양'을 분수로 표현하는 것이 기본 전략이다.
[핵심 2] 여러 사람이 함께 일할 때 걸리는 시간은, 각자의 하루 작업량을 더한 값의 역수로 구해지므로, 분수방정식을 세운 뒤 통분하여 이차방정식으로 바꾸는 과정이 핵심이다.
[핵심 3] 이차방정식의 근 중 음수나 0은 날짜(시간)의 의미상 성립할 수 없으므로 반드시 제외해야 한다.

[자주 하는 실수]
전체 일의 양을 1로 놓지 않고 x일, (x+3)일을 바로 더하거나 곱하려 하거나, 분수방정식을 통분하는 과정에서 부호 실수를 하는 경우가 있다.

[검산]
x=3이면 A는 하루에 1/3, B는 하루에 1/6만큼 일하므로 함께 하면 1/3+1/6=1/2, 즉 하루에 전체의 절반을 하여 2일이 걸림이 확인된다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 길을 포함한 전체 정사각형의 한 변의 길이는 텃밭의 양쪽에 폭 2m씩 더해지므로 x+4이다.
2) 전체 넓이는 (x+4)², 텃밭의 넓이는 x²이므로, 두 넓이의 차는 (x+4)²-x²=96이다.
3) 이를 전개하면 x²+8x+16-x²=96, 즉 8x+16=96이므로 8x=80, x=10이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 정사각형 둘레에 일정한 폭의 길을 내면, 길을 포함한 전체 정사각형의 한 변은 원래 변에 폭의 2배(양쪽)를 더한 길이가 된다는 것을 정확히 파악해야 한다.
[핵심 2] 이 문제는 길의 폭이 이미 주어지고 텃밭의 변의 길이를 구하는 것으로, 반대로 변의 길이가 주어지고 길의 폭을 구하는 기존 유형과 미지수의 역할이 뒤바뀐 응용이다.

[자주 하는 실수]
전체 정사각형의 한 변을 x+2(폭을 한쪽에만 더함)로 잘못 세우거나, (x+4)²을 전개할 때 x²+16으로 교차항 8x를 빠뜨려 방정식을 잘못 세운다.

[검산]
x=10일 때 텃밭의 넓이는 100m², 전체 넓이는 14²=196m²이며, 두 넓이의 차는 196-100=96m²로 조건과 정확히 일치한다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 세로의 길이를 y(m)라 하면 가로의 길이는 (y-3)m이므로, 넓이는 y(y-3)=108이다.
2) 이를 전개하면 y²-3y=108, 즉 y²-3y-108=0이다.
3) 인수분해하면 (y-12)(y+9)=0이므로 y=12 또는 y=-9이며, 길이는 양수이어야 하므로 y=12(m)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 가로와 세로 중 하나가 다른 하나보다 몇 m 짧다(또는 길다)는 조건이 주어지면, 짧은 변을 긴 변에서 그 차만큼 뺀 일차식으로 나타낸 뒤 넓이 공식(가로×세로)에 대입하여 이차방정식을 세운다.
[핵심 2] 실생활 도형 문제에서는 항상 구한 두 근 중 도형의 길이라는 조건(양수)에 맞는 것만 최종 답으로 선택해야 하며, 이 확인 과정을 생략하지 않는 것이 중요하다.

[자주 하는 실수]
가로를 (y-3)이 아니라 (y+3)으로 잘못 설정하거나(가로가 세로보다 짧다는 조건을 반대로 이해), 이차방정식의 두 근 중 음수(-9)를 세로의 길이로 사용할 수 없다는 것을 놓친다.

[검산]
y=12일 때 가로는 12-3=9m이므로 넓이는 9×12=108(m²)로 조건과 정확히 일치한다.

정답: 4