중3 수학 원과 직선 예상문제

[풀이 과정]
1) 접선과 그 접점을 지나는 반지름은 서로 수직이므로, 원의 중심 O, 접점 A, 외부점 P가 이루는 삼각형 OAP는 ∠OAP=90°인 직각삼각형이다.
2) 피타고라스 정리를 이용하면 OP² = OA² + AP²이므로, AP² = OP² - OA² = 29² - 20² = 841 - 400 = 441이다.
3) 따라서 AP = √441 = 21이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 접선의 길이 문제는 항상 (중심까지 거리)² = (반지름)² + (접선의 길이)² 라는 피타고라스 정리로 귀결된다.
[핵심 2] 20-21-29는 8-15-17, 5-12-13처럼 정수 해를 가지는 피타고라스 수이므로 답이 근호 없는 깔끔한 정수로 나온다.
[핵심 3] 반지름(20)과 중심까지 거리(29) 중 어느 것이 빗변인지 반드시 확인해야 한다 — 중심까지 거리(OP)가 항상 빗변이다.

[자주 하는 실수]
OP를 빗변이 아닌 한 변으로 착각해서 20²+29²을 계산하는 실수, 또는 뺄셈 순서를 반대로 해서 음수가 나오는 실수가 있다.

[검산]
20²+21²=400+441=841=29²로 피타고라스 정리가 정확히 성립한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 접점을 A라 하면 접선과 반지름은 수직이므로 삼각형 OAP는 직각삼각형이고, OA가 반지름, AP=45가 접선의 길이, OP=53이 빗변이다.
2) 피타고라스 정리에 의해 OA²=OP²-AP²=53²-45²=2809-2025=784이다.
3) OA=√784=28(cm)이므로 지름은 28×2=56(cm)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 접선의 길이, 반지름, 중심까지의 거리 세 값 중 두 값이 주어지면 항상 직각삼각형의 피타고라스 정리로 나머지 한 값을 구할 수 있으며, 이 문제처럼 지름을 물어보면 반지름을 구한 뒤 2배 하는 것을 잊지 않아야 한다.
[핵심 2] 28-45-53은 5-12-13의 배수는 아니지만 그 자체로 성립하는 새로운 피타고라스 수(28²+45²=53²)이므로, 익숙한 3-4-5 계열 외에도 다양한 피타고라스 수가 존재함을 알아두면 여러 유형의 문제에 대응할 수 있다.

[자주 하는 실수]
마지막 단계에서 반지름을 구한 뒤 지름으로 답해야 하는 것을 잊고 반지름 28cm를 그대로 답하거나, 피타고라스 정리에서 빗변과 다른 변을 혼동해 OP²+AP²=OA²처럼 잘못 세우는 실수를 한다.

[검산]
28²+45²=784+2025=2809=53²이므로 피타고라스 정리가 정확히 성립하며, 반지름 28cm의 2배인 지름 56cm가 정확한 답이다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 원의 반지름을 r이라 하면 지름은 2r이며, 접선의 길이 PA가 지름과 같으므로 PA=2r이다.
2) 접선과 반지름은 수직이므로 직각삼각형 OAP에서 피타고라스 정리에 의해 OP²=OA²+PA²=r²+(2r)²=r²+4r²=5r²이다.
3) 따라서 OP=√(5r²)=r√5이므로, OP는 반지름의 √5배이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 원 밖의 점에서 원의 중심까지의 거리(OP), 반지름(OA), 접선의 길이(PA)는 항상 직각삼각형을 이루므로, 세 값 중 두 값을 알면 피타고라스 정리로 나머지 하나를 구할 수 있다.
[핵심 2] '접선의 길이가 지름과 같다'는 조건은 PA=2r로 식을 세우는 것이 핵심이며, 이를 반지름 r에 대한 식으로 표현한 뒤 피타고라스 정리에 대입해야 한다.

[자주 하는 실수]
지름을 반지름과 혼동하여 PA=r로 잘못 대입하거나, OP²=OA²+PA²에서 제곱을 빠뜨리고 단순히 더하여 OP=3r로 잘못 계산하는 실수를 한다.

[검산]
OP=r√5일 때 OP²=5r²이며, OA²+PA²=r²+(2r)²=r²+4r²=5r²로 피타고라스 정리가 정확히 성립한다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 사각형 OAPB는 두 개의 합동인 직각삼각형 OAP와 OBP로 나눌 수 있으며, 각 삼각형은 반지름 OA(또는 OB)=16과 접선 AP(또는 BP)=63을 두 변으로 하는 직각삼각형이다.
2) 삼각형 OAP의 넓이는 (1/2)×16×63=504(cm²)이다.
3) 사각형 OAPB의 넓이는 이러한 삼각형 두 개의 합이므로 504×2=1008(cm²)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선과 두 반지름으로 이루어진 사각형 OAPB는 대각선 OP에 의해 두 개의 합동인 직각삼각형으로 나뉘므로, 넓이는 반지름×접선의 길이(=한 삼각형 넓이의 2배)로 간단히 구할 수 있다.
[핵심 2] 이 사각형의 넓이 공식(반지름×접선의 길이)은 굳이 OP(빗변)의 길이를 구하지 않아도 반지름과 접선의 길이만 알면 바로 계산할 수 있다는 점에서 매우 효율적이다.

[자주 하는 실수]
삼각형 하나의 넓이(504cm²)를 사각형 전체의 넓이로 착각하고 2배 하는 것을 빠뜨리거나, 넓이 공식에서 (1/2)을 두 번 곱해 절반으로 줄여버리는 계산 실수를 한다.

[검산]
16×63=1008로, 반지름과 접선의 길이를 곱한 값이 삼각형 두 개 넓이의 합(504×2=1008)과 정확히 일치하여 사각형 OAPB의 넓이 공식이 성립함을 확인할 수 있다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) ①은 원의 중심에서 현에 내린 수선이 현을 수직이등분한다는 성질로, 옳은 설명이다.
2) ②는 한 원에서 현의 길이와 중심으로부터의 거리가 일대일로 대응한다는 성질로, 옳은 설명이다.
3) ③, ⑤는 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선에 대한 기본 성질(접선 2개, 길이가 같음)로 모두 옳은 설명이다.
4) ④는 틀린 설명인데, 원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름과 평행한 것이 아니라 수직(직각)을 이룬다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 원의 접선의 가장 핵심적인 성질은 접점을 지나는 반지름과 접선이 항상 수직이라는 것이며, 이 성질은 접선의 길이를 구하는 모든 문제(직각삼각형 구성)의 출발점이 된다.
[핵심 2] 여러 개의 참인 명제와 하나의 거짓 명제가 섞인 종합 판별형 문제는, 각 선택지를 원의 기본 정리(현의 수직이등분선, 접선과 반지름의 수직 관계, 접선의 길이 등)와 하나씩 대조하며 소거하는 방식으로 접근해야 한다.

[자주 하는 실수]
접선과 반지름의 관계를 평행으로 착각하는 것이 가장 흔한 실수이며, 이는 접선의 길이를 구하는 문제에서 직각삼각형을 세우지 못하게 만드는 근본적인 오개념이 된다.

[검산]
접선과 반지름이 수직이라는 성질을 이용하면 원 밖의 점, 접점, 중심을 잇는 삼각형이 항상 직각삼각형이 되어 피타고라스 정리를 적용할 수 있으므로, 이 성질이 평행이 아니라 수직임이 여러 문제에서 일관되게 확인된다.

정답: 1

[개념] 원에 외접하는 다각형에서는 원의 중심에서 각 변의 접점까지 이은 반지름이 해당 변에 수직이다. 따라서 원의 중심과 다각형의 각 꼭짓점을 이으면, 밑변은 다각형의 각 변이고 높이는 모두 원의 반지름인 여러 삼각형으로 나눌 수 있다.

[풀이] 각 삼각형의 넓이를 모두 더하면 전체 넓이는 (다각형의 둘레×내접원의 반지름)÷2가 된다. 둘레가 48cm이고 반지름이 5cm이므로 넓이는 48×5÷2=120(cm²)이다. 따라서 정답은 ⑤이다.

[핵심 정리] 외접다각형의 넓이=(둘레×내접원의 반지름)÷2. 이 식은 각 변을 밑변으로 하는 삼각형들의 넓이를 합한 결과이다.

[자주 하는 실수] 반지름을 지름으로 바꾸어 계산하거나 마지막의 ÷2를 빠뜨리지 않도록 한다.

[검산] 120×2÷48=5이므로 문제에서 준 반지름과 정확히 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 원 O가 정육각형에 외접한다는 것은 원이 정육각형의 각 변에 접한다는 뜻이므로, 원 O의 반지름은 정육각형의 중심에서 한 변까지의 거리(변심거리)와 같다.
2) 정육각형은 한 변의 길이와 같은 반지름을 갖는 6개의 정삼각형으로 나눌 수 있으며, 변심거리는 이 정삼각형의 높이와 같다.
3) 한 변이 8인 정삼각형의 높이는 (√3/2)×8=4√3이므로, 원 O의 반지름은 4√3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 정육각형은 한 변의 길이가 중심에서 꼭짓점까지의 거리(외접원의 반지름)와 같다는 특별한 성질을 가지므로, 정육각형을 6개의 정삼각형으로 분할해 문제를 해결하는 것이 효과적이다.
[핵심 2] 정다각형에 내접하는 원의 반지름(변심거리)은 그 정다각형을 이루는 이등변삼각형(또는 정삼각형)의 높이와 같다는 관계를 이용하면 다양한 정다각형에 공통으로 적용할 수 있다.

[자주 하는 실수]
정육각형의 외접원의 반지름(=한 변의 길이=8)과 내접원의 반지름(변심거리)을 혼동하여 답을 8로 잘못 쓰는 실수를 한다.

[검산]
한 변 8, 높이 4√3인 정삼각형에서 밑변의 절반(4)과 높이(4√3)로 피타고라스 정리를 확인하면 4²+(4√3)²=16+48=64=8²로 정삼각형의 변 8과 정확히 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 직사각형의 네 꼭짓점은 모두 대각선을 지름으로 하는 하나의 원 위에 있다(직사각형의 네 내각이 모두 90°이므로, 반원에 대한 원주각이 90°라는 성질의 역이 성립한다).
2) 직사각형의 대각선의 길이는 피타고라스 정리에 의해 √(6²+8²)=√(36+64)=√100=10이다.
3) 외접원의 지름이 대각선의 길이(10)와 같으므로, 반지름은 10÷2=5이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 직사각형은 네 내각이 모두 90°이므로, 대각선이 외접원의 지름이 된다는 것을 알면 별도의 복잡한 계산 없이 외접원의 반지름을 구할 수 있다.
[핵심 2] 직사각형의 외접원의 반지름을 구하는 것은 결국 대각선의 길이를 피타고라스 정리로 구한 뒤 2로 나누는 것과 같다.

[자주 하는 실수]
외접원의 반지름을 대각선의 길이 그대로(10)로 착각하여 2로 나누는 것을 빠뜨리거나, 대각선을 구할 때 가로와 세로를 더한 값(6+8=14)을 사용하는 실수를 한다.

[검산]
반지름 5인 원의 지름은 10이며, 6²+8²=100=10²으로 피타고라스 정리가 정확히 성립하여 대각선의 길이와 외접원의 지름이 일치함이 확인된다.

정답: 1