중3 수학 삼각비의 활용 예상문제

[풀이 과정]
1) 정삼각형의 높이는 한 꼭짓점에서 마주보는 변에 내린 수선으로, 이 수선은 밑변을 이등분하며 60°의 밑각을 가지는 직각삼각형을 만든다.
2) 이 직각삼각형에서 밑변(인접변)은 8÷2=4cm이고, 밑각은 60°이다.
3) 높이=4×tan60°=4×√3=4√3(cm)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 정삼각형은 모든 각이 60°이므로, 꼭짓점에서 내린 수선이 만드는 직각삼각형의 밑각은 항상 60°이며 밑변은 원래 변의 절반이 된다.
[핵심 2] 정삼각형의 높이 공식(한 변×√3/2)은 이 삼각비 계산 과정을 미리 일반화한 것으로, h=a×tan60°÷1이 아니라 h=(a/2)×tan60°=(a/2)×√3=a√3/2로 유도된다.
[핵심 3] 이 유형은 정삼각형의 넓이((1/2)×밑변×높이 또는 두 변과 끼인각 공식)를 구하는 문제로 확장될 수 있으므로, 높이를 정확히 구하는 것이 후속 문제의 기초가 된다.

[자주 하는 실수]
밑변을 반으로 나누지 않고 8×tan60°로 계산해 8√3을 답하거나, tan60° 대신 sin60°를 사용하는 실수가 있다.

[검산]
한 변이 8cm인 정삼각형의 높이 공식 h=a√3/2에 a=8을 대입하면 h=8√3/2=4√3(cm)으로 정확히 일치한다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 시소는 중심(받침점)을 기준으로 좌우 대칭이므로, 받침점에서 시소의 높은 쪽 끝까지의 길이는 전체 길이의 절반인 4÷2=2(m)이다.
2) 이 절반(빗변)과 중심을 지나는 수평선과 이루는 각(30°), 그리고 구하려는 수직 거리(대변)로 이루어진 직각삼각형에서 sin30°=(높이)/2이다.
3) 높이=2×sin30°=2×(1/2)=1(m)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 시소처럼 중심을 기준으로 대칭인 구조에서는, 전체 길이가 아니라 받침점에서 끝까지의 절반의 길이를 빗변으로 하는 직각삼각형을 생각해야 하며, 이를 빠뜨리면 실제 높이의 2배로 잘못 계산하게 된다.
[핵심 2] 경사와 지면이 이루는 각과 빗변(경사면의 길이)을 알 때 수직 높이를 구하려면, 높이는 그 각의 대변에 해당하므로 (빗변)×sin(각)의 공식을 사용해야 한다.

[자주 하는 실수]
시소의 전체 길이 4m를 그대로 빗변으로 사용하여 4×sin30°=2(m)를 답으로 잘못 계산하거나, sin 대신 cos를 사용하여 다른 값을 구하는 실수를 한다.

[검산]
받침점에서 끝까지의 거리 2m, 높이 1m일 때, 이 직각삼각형에서 sin30°=1/2이 정확히 성립하며, 이는 시소의 절반 길이 2m와 대응하는 표준적인 30° 직각삼각형 비율과 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 인접변을 y라 하면, cos30° = (인접변)/(빗변) = y/10이라는 관계식을 세운다.
2) cos30°=√3/2이므로 y/10 = √3/2가 된다.
3) 양변에 10을 곱하면 y = 10×(√3/2) = 5√3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 인접변을 구할 때는 cos을 사용한다는 것(인접변=빗변×cos각)을 앞 문제의 sin 공식과 짝지어 기억해 둔다.
[핵심 2] cos30°=√3/2 값을 정확히 곱하고, 계산 순서(10을 먼저 곱하고 2로 나누기)를 지켜 실수를 줄인다.
[핵심 3] 앞 문제에서 구한 대변 5와 이 문제의 인접변 5√3의 비가 1:√3이 되어 30°-60°-90° 삼각형의 성질과 정확히 일치함을 확인할 수 있다.

[자주 하는 실수]
cos30° 대신 sin30°의 값을 곱해 5라고 잘못 계산하는 실수, 즉 앞 문제의 답과 혼동하는 경우가 흔하다.

[검산]
피타고라스 정리로 검산: 5²+(5√3)²=25+75=100=10²으로 빗변 10과 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 평행사변형의 넓이는 이웃한 두 변과 그 끼인각을 이용한 공식 (한 변)×(이웃한 변)×sin(끼인각)으로 구할 수 있다.
2) AB=5, AD=8, ∠A=30°를 대입하면 넓이=5×8×sin30°이다.
3) sin30°=1/2이므로, 넓이=5×8×(1/2)=20(cm²)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 평행사변형의 넓이 공식 (한 변)×(이웃한 변)×sin(끼인각)은 삼각형의 넓이 공식 (1/2)×a×b×sinθ의 2배에 해당하는데, 이는 평행사변형이 합동인 두 삼각형으로 나뉘기 때문이다.
[핵심 2] 삼각형 넓이 공식에 있는 1/2이 평행사변형 공식에는 없다는 것이 두 공식의 유일한 차이이며, 이를 헷갈리지 않는 것이 중요하다.
[핵심 3] 이 유형은 사각형(평행사변형, 마름모)의 넓이를 삼각비를 이용해 구하는 문제로, 대각선을 그어 밑변과 높이를 직접 구하지 않고도 넓이를 계산할 수 있다는 효율성을 보여준다.

[자주 하는 실수]
삼각형 넓이 공식처럼 1/2을 곱해 10cm²로 잘못 계산하거나, sin30° 대신 cos30°를 사용하는 실수가 있다.

[검산]
AB=5, AD=8, 끼인각 30°인 평행사변형의 넓이는 5×8×(1/2)=20cm²이며, 이는 대각선으로 나뉜 두 삼각형(각각 넓이 10cm²)의 합으로도 검증된다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 비탈길(빗면)의 길이가 100m이고 경사각이 30°이므로, 이 상황은 빗변이 100m이고 한 예각이 30°인 직각삼각형으로 나타낼 수 있다.
2) 구하려는 수직 높이는 30°의 대변에 해당하므로, sin30°=(높이)/100의 관계를 이용한다.
3) sin30°=1/2이므로, 높이=100×sin30°=100×(1/2)=50(m)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 경사면을 따라 이동한 거리(빗변)와 경사각이 주어지면, 수직으로 상승한 높이(대변)는 sin(경사각)×이동거리로 계산할 수 있다.
[핵심 2] 이 유형은 앞서 배운 '지면에서 올려본각으로 높이 구하기'와 달리, 이동한 거리 자체가 빗변이 된다는 점이 다르므로 어떤 변이 빗변인지 정확히 파악하는 것이 중요하다.
[핵심 3] sin30°=1/2이라는 값 덕분에 이 문제는 복잡한 계산 없이 이동 거리의 절반이 상승 높이가 된다는 것을 알 수 있다.

[자주 하는 실수]
빗변(이동거리)과 대변(높이)을 혼동해 cos을 사용하거나, 100m 전체를 그대로 높이로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
경사각 30°, 빗변 100m인 직각삼각형에서 높이=100×sin30°=50m이며, 이때 수평이동거리는 100×cos30°=50√3m로 피타고라스 정리(50²+((50√3)²)=2500+7500=10000=100²)도 성립함이 확인된다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 직사각형의 대각선, 가로, 세로는 직각삼각형을 이루며, 대각선이 빗변이 된다.
2) 세로는 대각선과 가로가 이루는 각(30°)의 대변에 해당하므로, sin30°=(세로)/(대각선)이라는 관계가 성립한다.
3) 세로=10×sin30°=10×(1/2)=5(cm)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 직사각형의 대각선을 그으면 가로, 세로, 대각선이 이루는 직각삼각형이 만들어지며, 이때 대각선은 항상 빗변이 된다.
[핵심 2] 대각선과 가로가 이루는 각을 기준으로, 세로는 그 각의 대변(sin 이용), 가로는 그 각의 인접변(cos 이용)이라는 것을 정확히 구분해야 한다.
[핵심 3] 이 유형은 직사각형이라는 익숙한 도형 안에 숨어 있는 직각삼각형을 찾아내고, 삼각비를 적용하는 능력을 확인하는 문제이다.

[자주 하는 실수]
세로를 구할 때 sin이 아닌 cos을 사용해 가로의 길이를 구하거나, 각이 가로와 이루는 각인지 세로와 이루는 각인지 혼동하여 삼각비를 반대로 적용하는 실수가 있다.

[검산]
세로가 5cm이고 대각선이 10cm이면, 가로=10×cos30°=10×(√3/2)=5√3(cm)이며, 5²+(5√3)²=25+75=100=10²으로 피타고라스 정리가 정확히 성립함이 확인된다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 정육각형은 중심에서 각 꼭짓점을 연결하면 한 변의 길이가 2cm이고 끼인각이 60°인 이등변삼각형 6개로 나눌 수 있다.
2) 이등변삼각형 하나의 넓이는 (1/2)×2×2×sin60°=2×(√3/2)=√3(cm²)이다.
3) 정육각형은 이런 삼각형 6개로 이루어지므로, 전체 넓이는 6×√3=6√3(cm²)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 정다각형의 넓이는 중심에서 각 변으로 이등변삼각형을 나눈 뒤, 두 변과 끼인각을 이용한 삼각형의 넓이 공식으로 구할 수 있다.
[핵심 2] 정육각형의 경우 중심각이 360°÷6=60°로 나뉘며, 이등변삼각형의 두 변이 모두 정육각형의 한 변의 길이와 같다는 성질을 이용해야 한다.
[핵심 3] 이 유형은 삼각비를 이용한 삼각형의 넓이 공식을 정다각형이라는 새로운 도형에 응용하는 심화 문제로, 도형을 삼각형으로 분할하는 사고력을 요구한다.

[자주 하는 실수]
정육각형을 이루는 삼각형이 정삼각형이라는 것을 인지하지 못해 두 변의 길이를 다르게 설정하거나, 삼각형 6개를 곱하는 것을 잊고 삼각형 하나의 넓이만 답으로 내는 실수가 있다.

[검산]
중심각이 60°이고 두 변이 모두 2cm이므로 이 삼각형은 정삼각형이며, 정삼각형의 넓이 공식 (√3/4)×2²=√3(cm²)과 정확히 일치하고, 6배 하면 6√3(cm²)이 된다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 주어진 각(60°)에 대한 대변의 길이를 구하는 문제이므로, sinA=(대변)/(빗변) 관계식을 이용한다.
2) sin60° = (대변)/8이므로, 대변 = 8×sin60°이다.
3) sin60°=√3/2이므로, 대변 = 8×(√3/2) = 4√3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 빗변과 각이 주어지고 대변(그 각과 마주보는 변)을 구할 때는 항상 sin을 사용한다는 것이 이 유형의 핵심 공식이다.
[핵심 2] 8×(√3/2)와 같은 계산에서는 8을 2로 나눈 뒤 √3을 곱하는 순서로 계산하면 실수를 줄일 수 있다.
[핵심 3] 같은 조건(빗변8, 각60°)에서 인접변을 구할 때는 cos을 사용해야 하므로, 대변인지 인접변인지 문제를 정확히 읽는 것이 중요하다.

[자주 하는 실수]
sin 대신 cos을 사용해서 인접변(=4)을 구해버리는 실수, 또는 sin60°의 값을 √2/2로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
구한 대변 4√3과 빗변 8의 비를 확인하면 4√3/8=√3/2로 sin60°의 값과 정확히 일치한다.

정답: 2