중3 수학 다항식의 곱셈 예상문제

[풀이 과정]
1) 텃밭의 넓이는 (2x+3)(2x-3)이며, 이는 합차공식 형태이므로 전개하면 (2x)²-3²=4x²-9이다.
2) 이 식에 x=5를 대입하면 4×5²-9=4×25-9=100-9이다.
3) 따라서 넓이는 100-9=91(m²)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 합차공식 (a+b)(a-b)=a²-b² 형태의 다항식은 먼저 공식을 이용해 전개한 뒤, 마지막에 구체적인 숫자를 대입하는 것이 직접 곱하는 것보다 훨씬 계산이 간단하다.
[핵심 2] 전개한 식 4x²-9에 값을 대입할 때는 4x²을 (4x)²으로 잘못 계산하지 않도록, x를 먼저 제곱한 뒤 4를 곱하는 순서를 지켜야 한다.

[자주 하는 실수]
4x²-9에 x=5를 대입할 때 4×5²을 (4×5)²=400으로 잘못 계산하거나, -9를 더하는 것으로 착각하여 100+9=109로 계산한다.

[검산]
x=5일 때 2x+3=13, 2x-3=7이므로 직접 곱하면 13×7=91로, 공식을 이용한 결과와 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) x²+(a+b)x+ab 공식을 이용한다. 여기서 a=-3, b=8이다.
2) 일차항의 계수는 a+b=(-3)+8=5이고, 상수항은 ab=(-3)×8=-24이다.
3) 따라서 (x-3)(x+8)=x²+5x-24이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 두 일차식 중 하나라도 음수가 포함되면, 합(a+b)과 곱(ab)을 계산할 때 부호에 특히 주의해야 한다.
[핵심 2] 부호가 다른 두 수의 곱은 항상 음수가 되므로, 상수항이 음수(-24)로 나오는 것이 자연스럽다.
[핵심 3] 부호 계산은 서두르지 말고 (-3)+8, (-3)×8처럼 각각 순서대로 침착하게 처리하는 것이 실수를 줄이는 방법이다.

[자주 하는 실수]
부호를 헷갈려 합을 -11로 계산하거나(부호를 반대로 처리), 곱을 24(양수)로 계산하는 실수가 흔하다.

[검산]
직접 분배법칙으로 전개해도 x²+8x-3x-24=x²+5x-24로 동일한 결과가 나와 계산이 정확함이 확인된다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 분배법칙을 이용해 각 항을 전개한다. x×(x²-3x+4)=x³-3x²+4x이고, 2×(x²-3x+4)=2x²-6x+8이다.
2) 두 결과를 더하면 x³-3x²+4x+2x²-6x+8이다.
3) 동류항끼리 정리하면 x³+(-3+2)x²+(4-6)x+8=x³-x²-2x+8이므로, x²의 계수는 -1이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 다항식과 다항식의 곱을 전개할 때는, 분배법칙을 이용해 앞쪽 다항식의 각 항을 뒤쪽 다항식 전체에 곱한 뒤 모두 더하는 순서로 진행한다.
[핵심 2] 전개한 결과에서 특정 차수의 계수만 구하고 싶을 때도, 전체를 전개한 뒤 해당 차수의 동류항끼리 모아서 계수를 확인하는 것이 가장 확실한 방법이다.
[핵심 3] 이 유형은 (일차식)×(이차식)의 전개가 (다항식)×(다항식)의 일반적인 전개로 확장되는 것을 보여주며, 항의 개수가 늘어날수록 정리 과정에서의 정확성이 더욱 중요해진다.

[자주 하는 실수]
분배법칙을 적용할 때 일부 항을 빠뜨리거나(예: 2×4=8을 빠뜨림), 동류항을 정리하는 과정에서 부호를 실수해 -3+2를 1로 잘못 계산하는 실수가 있다.

[검산]
전체 전개 결과 x³-x²-2x+8에서 x=0을 대입하면 상수항 8이 나오고, 이는 (0+2)(0-0+4)=2×4=8과 일치하여 전개가 정확함을 부분적으로 검증할 수 있다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 합차공식 (a+b)(a-b)=a²-b²을 먼저 (x+2)(x-2)에 적용한다: (x+2)(x-2)=x²-4이다.
2) 남은 식 (x²-4)(x²+4)에 다시 합차공식을 적용한다: a=x², b=4이므로 (x²)²-4²=x⁴-16이다.
3) 따라서 전체 식을 전개하면 x⁴-16이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이 문제는 (x-1)(x+1)(x²+1) 유형과 완전히 같은 구조(합차공식의 반복 적용)로, 숫자만 다르게 바뀐 것이다.
[핵심 2] 두 인수를 먼저 곱해 x²-4를 만든 뒤, 남은 인수(x²+4)와 다시 합차공식으로 묶는 순서를 지키면 실수 없이 계산할 수 있다.
[핵심 3] 최종 결과에서 x⁴, 상수항(16) 사이의 x² 항이 없다는 것도 합차공식의 특징(교차항 소거)을 보여준다.

[자주 하는 실수]
세 인수를 한 번에 전개하려다 x² 항을 잘못 계산해 x⁴-8x²+16처럼 완전제곱식과 혼동하는 실수가 있다.

[검산]
x=1을 대입하면 원래 식은 (3)(-1)(5)=-15이고, x⁴-16=1-16=-15로 정확히 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 완전제곱식의 변형 공식 (x-y)²=(x+y)²-4xy를 이용한다.
2) (x-y)²=7²-4×10=49-40=9이다.
3) (x-y)²=9이므로 |x-y|=√9=3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] (x-y)²=(x+y)²-4xy라는 공식은, (x+y)²=x²+2xy+y²에서 4xy를 빼면 x²-2xy+y²=(x-y)²이 되는 원리에서 유도된다.
[핵심 2] x-y의 부호(양수인지 음수인지)는 x+y와 xy만으로는 알 수 없으므로, (x-y)²을 구한 뒤 제곱근을 취해 절댓값 |x-y|의 형태로 답하는 것이 정확한 접근이다.
[핵심 3] 이 유형은 두 수의 합과 곱만으로 두 수의 차와 관련된 값을 구하는 문제로, 두 수를 직접 구하지 않고도(t²-7t+10=0을 풀지 않고도) 답을 얻을 수 있다는 효율성을 보여준다.

[자주 하는 실수]
(x-y)²=(x+y)²-4xy 공식에서 4xy 대신 2xy를 빼서 29를 얻거나, (x-y)²=9에서 제곱근을 취하지 않고 9를 그대로 답으로 내는 실수가 있다.

[검산]
x+y=7, xy=10을 만족하는 두 수는 t²-7t+10=0의 해인 2, 5이며, |2-5|=3으로 계산 결과와 정확히 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 다항식의 모든 항의 계수의 합은 그 다항식에 x=1을 대입한 값과 같다.
2) x=1을 대입하면 (1+2)(1+5)(1-3)(1-6)=3×6×(-2)×(-5)이다.
3) 이를 계산하면 3×6=18, (-2)×(-5)=10이므로 18×10=180이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 다항식 f(x)의 모든 항의 계수의 합은 f(1)의 값과 같으므로, 복잡한 다항식을 직접 전개하지 않고도 x=1 대입만으로 계수의 합을 구할 수 있다.
[핵심 2] 여러 개의 일차식의 곱으로 이루어진 식은 각 일차식에 x=1을 대입한 값들의 곱으로 계수의 합을 구하는 것이 가장 효율적이다.

[자주 하는 실수]
네 개의 일차식을 실제로 전개하려다 계산 실수를 하거나, 음수끼리의 곱에서 부호를 잘못 처리하는 실수를 한다.

[검산]
3×6×(-2)×(-5)에서 음수 두 개의 곱은 양수이므로 3×6×2×5=180으로 부호까지 정확히 확인된다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 두 사람의 나이의 곱은 (2x+10)(x-2)이다.
2) 이를 전개하면 2x×x+2x×(-2)+10×x+10×(-2)=2x²-4x+10x-20이다.
3) 동류항을 정리하면 2x²+6x-20이 되므로, 일차항의 계수는 6이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 실생활 맥락(나이, 가격, 길이 등)을 문자식으로 나타낸 뒤 곱셈공식이나 분배법칙으로 전개하는 것은 다항식의 곱셈을 실제 상황에 적용하는 대표적인 유형이다.
[핵심 2] 전개 과정에서 나온 여러 항 중 특정 차수의 항의 계수만 골라내는 것은, 전체 전개 결과를 정확히 구한 뒤 해당 항을 찾아내는 꼼꼼함이 필요하다.
[핵심 3] 이런 문제는 계산 자체는 단순하더라도, 문장을 정확한 식으로 옮기는 과정(예: '아들보다 12살 많다'가 아니라 직접 식으로 주어진 경우)에서 실수가 없는지 항상 점검해야 한다.

[자주 하는 실수]
-4x와 10x를 더할 때 부호를 헷갈려 계산을 틀리거나, 이차항의 계수(2)를 일차항의 계수로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
전개 결과 2x²+6x-20에서 x=0을 대입하면 -20이고, 원래 식 (2×0+10)(0-2)=10×(-2)=-20으로 상수항이 일치하여 전개가 올바르게 되었음을 확인할 수 있다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 늘어난 부분의 넓이는 (새 시계의 넓이)-(원래 시계의 넓이)=π(x+3)²-πx²이다.
2) π(x+3)²=π(x²+6x+9)이므로 π(x²+6x+9)-πx²=6πx+9π이다.
3) 따라서 늘어난 부분의 넓이는 (6πx+9π) cm²이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 두 원의 넓이의 차를 구하는 문제는 각각의 넓이를 π×(반지름)² 공식으로 나타낸 후 다항식의 뺄셈으로 정리하면 된다.
[핵심 2] π(x+3)²을 전개할 때는 (x+3)²=x²+6x+9를 먼저 계산한 후 π를 분배해야 하며, π²으로 계산하는 실수를 하지 않도록 주의한다.

[자주 하는 실수]
π(x+3)²을 πx²+3²=πx²+9로 잘못 전개하여 가운데 항 6πx를 빠뜨린다.

[검산]
x=1일 때 원래 넓이는 π, 새 넓이는 π×4²=16π이므로 차는 15π이다. 공식 6πx+9π에 x=1을 대입해도 6π+9π=15π로 일치한다.

정답: 1