중3 수학 대푯값과 산포도 예상문제

[풀이 과정]
1) 산포도는 자료가 평균을 중심으로 얼마나 퍼져 있는지를 나타내는 값으로, 분산과 표준편차가 이를 대표한다.
2) 산포도(분산·표준편차)가 클수록 자료는 평균으로부터 멀리, 넓게 흩어져 있다는 뜻이다. 즉 산포도가 클수록 오히려 자료는 평균 주위에서 멀어진다.
3) 따라서 '산포도가 클수록 자료가 평균 주위에 모여 있다'는 설명은 산포도의 정의와 반대되므로 옳지 않다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 산포도가 크다 = 자료가 넓게 흩어져 있다(평균에서 멀다), 산포도가 작다 = 자료가 평균 주위에 모여 있다는 관계를 정확히 기억해야 한다.
[핵심 2] 표준편차는 반드시 0 이상의 값을 가지며, 표준편차가 0이면 모든 자료값이 서로 같다는 뜻이다.
[핵심 3] 이런 '옳지 않은 것 고르기' 유형은 각 선택지를 산포도의 정의와 하나씩 대조해 보는 것이 효과적이다.

[자주 하는 실수]
'클수록/작을수록' 같은 방향성 표현을 반대로 읽어 정답을 헷갈리는 실수가 매우 흔하다.

[검산]
예를 들어 자료 {5,5,5}(산포도 0, 완전히 모여 있음)와 {0,5,10}(산포도 큼, 넓게 흩어짐)을 비교하면 산포도가 작을수록 모여 있음이 확인된다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 자료의 총합은 5+5+5+7+8+9+10+11=60이고, 자료의 개수는 8개이므로 평균은 60÷8=7.5이다.
2) 자료에서 가장 많이 나온 값(최빈값)은 3번 나온 5이다.
3) 따라서 평균과 최빈값의 차는 7.5-5=2.5이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 최빈값은 자료에서 도수(빈도)가 가장 큰 값을 찾는 것이므로 계산이 필요 없지만, 평균은 반드시 모든 변량을 더한 뒤 개수로 나누는 계산 과정을 거쳐야 한다.
[핵심 2] 두 대푯값(평균, 최빈값)을 모두 구한 뒤 그 차를 묻는 복합 문제는, 두 값을 각각 독립적으로 정확히 구한 다음 마지막에 빼는 순서로 접근해야 실수를 줄일 수 있다.

[자주 하는 실수]
최빈값을 구할 때 가장 큰 값(11)이나 가장 작은 값(5)을 단순히 극값으로 착각하여 최빈값과 혼동하거나, 평균을 구할 때 개수를 8이 아닌 7로 잘못 세는 실수를 한다.

[검산]
최빈값 5가 세 번(도수 3)으로 다른 어떤 값보다도 많이 나타나므로 최빈값은 5가 맞고, 평균 7.5에서 5를 뺀 2.5가 정확한 답이다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 통계에서 자료의 흩어진 정도를 알아보기 위해서는 각 변량이 평균으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타내는 값이 필요하다.
2) 이때 (변량)-(평균)으로 계산한 값을 편차라고 한다.
3) 따라서 자료의 각 변량에서 평균을 뺀 값은 편차이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 편차는 (변량)-(평균)으로 정의되며, 변량이 평균보다 크면 양수, 작으면 음수가 된다.
[핵심 2] 모든 변량의 편차를 더하면 항상 0이 되는데, 이는 평균의 정의로부터 자연스럽게 유도되는 중요한 성질이다.
[핵심 3] 편차는 분산과 표준편차를 계산하는 데 있어 가장 기본이 되는 개념으로, 산포도를 이해하는 출발점이다.

[자주 하는 실수]
편차와 분산, 표준편차를 서로 같은 개념으로 착각하거나, 편차를 (평균)-(변량)으로 부호를 반대로 정의하는 실수가 있다.

[검산]
예를 들어 평균이 10인 자료에서 변량이 13이면 편차는 13-10=3으로, 정의에 맞게 계산된다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 분산은 편차를 제곱한 값들의 평균이므로, 변량의 단위가 cm이면 편차도 cm 단위이고 그 제곱은 cm² 단위가 된다.
2) 따라서 분산의 단위는 cm²(제곱 단위)이다.
3) 표준편차는 분산에 제곱근을 취한 값이므로, 단위도 다시 원래대로 cm(제곱근을 취해 차수가 절반이 됨)이 된다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 분산은 편차를 '제곱'하여 평균을 낸 값이므로 원래 변량의 단위가 제곱된 형태로 나타난다는 것이 핵심이다.
[핵심 2] 표준편차는 분산에 제곱근을 취해 원래 변량과 같은 단위로 되돌린 값이므로, 실제 자료를 해석할 때는 분산보다 표준편차가 더 직관적으로 쓰인다.
[핵심 3] 이 단위 관계는 넓이(cm²)와 길이(cm)의 관계와 유사하게 이해하면 기억하기 쉽다.

[자주 하는 실수]
분산과 표준편차의 단위를 반대로 기억하거나, 두 값 모두 원래 변량과 같은 단위를 갖는다고 착각하는 실수가 있다.

[검산]
예를 들어 변량이 cm 단위이고 편차가 3cm이면 그 제곱은 9cm²가 되어 분산의 단위가 cm²임이 확인되고, 분산 9cm²에 제곱근을 취하면 3cm로 원래 단위가 회복된다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 범위는 자료의 최댓값에서 최솟값을 뺀 값, 즉 (범위)=(최댓값)-(최솟값)이다.
2) 이 식을 최댓값에 대해 정리하면 (최댓값)=(범위)+(최솟값)이다.
3) 범위 18과 최솟값 12를 대입하면 최댓값=18+12=30(분)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 범위 공식 (범위)=(최댓값)-(최솟값)은 세 값 중 두 값을 알면 나머지 한 값을 항상 구할 수 있는 관계식이므로, 어떤 값이 미지수로 주어지든 식을 변형해 풀 수 있어야 한다.
[핵심 2] 역방향 문제에서는 원래 공식을 있는 그대로 적용하는 것이 아니라, 구하려는 값을 기준으로 식을 다시 정리한 뒤 값을 대입하는 절차가 필요하다.

[자주 하는 실수]
범위와 최솟값을 더하지 않고 빼서 최댓값을 18-12=6으로 잘못 계산하거나, 범위를 최댓값으로 착각해 답을 18분으로 잘못 쓰는 실수를 한다.

[검산]
최댓값 30분, 최솟값 12분일 때 범위=30-12=18로 주어진 범위와 정확히 일치한다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 원래 자료 6개의 총합은 4+6+8+10+42+50=120이므로 평균은 120÷6=20이다.
2) 42와 50을 제외한 나머지 자료 4, 6, 8, 10의 총합은 28이므로 평균은 28÷4=7이다.
3) 따라서 평균의 감소량은 20-7=13이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 극단적으로 크거나 작은 값(이상치)은 평균을 크게 왜곡시키므로, 이상치를 포함할 때와 제외할 때의 평균 차이를 직접 계산해보면 이상치가 평균에 미치는 영향을 정량적으로 확인할 수 있다.
[핵심 2] 이상치가 여러 개일 때는 하나씩 제외하는 것이 아니라, 남은 변량들의 총합과 개수를 정확히 다시 세어 평균을 새로 계산해야 한다.

[자주 하는 실수]
극단값을 제외한 후에도 원래의 변량 개수(6개)로 나누는 실수를 하거나, 두 극단값 중 하나만 제외하고 계산하는 실수를 한다.

[검산]
원래 평균 20, 새 평균 7이므로 차이는 20-7=13이며, 4+6+8+10=28, 28÷4=7로 새 평균 계산이 정확하다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 평균은 (자료의 총합)÷(자료의 개수)이므로, 평균×개수 = 총합이라는 관계를 이용한다.
2) 자료의 개수는 5개이고 평균이 7이므로, 총합 = 7×5 = 35이다.
3) 3+5+x+9+10=35에서 27+x=35이므로, x=8이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 평균이 주어지고 미지수를 구하는 문제는 항상 (평균)×(개수)=(총합)이라는 역방향 계산으로 접근해야 한다.
[핵심 2] 먼저 알고 있는 값들의 합(27)을 구한 뒤, 전체 합(35)에서 그 값을 빼면 미지수를 바로 구할 수 있다.
[핵심 3] 이렇게 구한 x를 원래 자료에 대입해 평균을 다시 계산해 보는 검산 습관이 실수를 줄여준다.

[자주 하는 실수]
평균×개수를 계산하지 않고 평균(7)을 바로 x라고 착각하거나, 개수를 4개로 잘못 세는 실수가 있다.

[검산]
3+5+8+9+10=35이고, 35÷5=7로 평균 조건이 정확히 성립한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 최빈값은 자료 중에서 가장 많이(자주) 나타나는 값이다.
2) 각 값의 등장 횟수를 세어보면 2는 1번, 3은 3번, 5는 1번, 7은 2번 나타난다.
3) 가장 많이 나타난 값은 3(3번)이므로 최빈값은 3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 최빈값은 도수(빈도)가 가장 큰 값을 찾는 대푯값으로, 계산이 아니라 '개수 세기'로 구한다.
[핵심 2] 자료의 종류가 숫자가 아닌 경우(예: 좋아하는 색깔)에도 최빈값은 정의될 수 있다는 것이 평균·중앙값과 다른 특징이다.
[핵심 3] 최빈값은 자료에 따라 없을 수도 있고(모든 값의 빈도가 같을 때), 두 개 이상 존재할 수도 있다.

[자주 하는 실수]
가장 큰 값(7)이나 가장 작은 값을 최빈값으로 착각하는 실수가 있다 — 최빈값은 크기가 아니라 빈도 기준이다.

[검산]
3이 3번, 7이 2번 등장하므로 3의 등장 횟수가 가장 많음이 다시 확인된다.

정답: 5