중3 수학 이차방정식의 풀이 예상문제

[풀이 과정]
1) 방정식의 양변에 10을 곱하여 소수를 정수로 바꾼다: 0.1x²-0.3x-1=0의 양변에 10을 곱하면 x²-3x-10=0이다.
2) x²-3x-10을 인수분해하면 곱이 -10, 합이 -3인 두 수(-5, 2)를 찾아 (x-5)(x+2)이다.
3) 따라서 (x-5)(x+2)=0이므로 x=5 또는 x=-2이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 계수에 소수가 있는 방정식은 양변에 10, 100 등을 곱해 모든 계수를 정수로 바꾼 뒤 풀면 계산 실수를 크게 줄일 수 있다.
[핵심 2] 양변에 같은 수를 곱해도 방정식의 해는 변하지 않으므로, 이 과정은 방정식을 더 다루기 쉬운 형태로 바꾸는 것일 뿐이다.
[핵심 3] 이 유형은 분수계수 방정식(양변에 분모의 최소공배수를 곱하는 것)과 같은 원리로, 계수를 정수화하는 것이 첫 단계라는 공통점이 있다.

[자주 하는 실수]
10을 곱할 때 상수항(-1)에는 곱하지 않고 계수에만 곱하는 실수, 또는 인수분해에서 부호를 잘못 정해 (x-2)(x+5)로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
x=5를 대입하면 0.1(25)-0.3(5)-1=2.5-1.5-1=0이고, x=-2를 대입하면 0.1(4)-0.3(-2)-1=0.4+0.6-1=0으로 모두 성립한다.

정답: 3

[개념] 제곱이 일정한 값과 같을 때에는 제곱근의 양수와 음수 두 경우를 모두 고려한다.

[풀이] (x-9)²=2²이므로 x-9=2 또는 x-9=-2이다. 따라서 두 해 중 큰 값은 11이다.

[핵심 정리] 이차방정식은 인수분해, 완전제곱식, 제곱근의 성질, 해의 정의에 따른 직접 대입 등 중학교 과정의 방법으로 해결할 수 있다. 식을 변형한 뒤에는 얻은 값을 원래 식에 다시 대입해 등식이 성립하는지 확인한다.

[자주 하는 실수] 곱이 0일 때 한 인수만 확인하거나, 제곱식에서 음수인 경우를 빠뜨리거나, 부호를 옮길 때 실수하지 않도록 주의한다.

[검산] 선택한 값 11을 원래 방정식에 대입하면 좌변과 우변이 같아진다.

정답: 1

[개념] 어떤 수가 방정식의 해라는 말은 그 수를 x에 대입했을 때 등식이 성립한다는 뜻이다.

[풀이] x=4를 x²+kx+20=0에 대입하면 4²+4k+20=0이다. 양변을 4로 나누어 정리하면 k=-9이다.

[핵심 정리] 이차방정식은 인수분해, 완전제곱식, 제곱근의 성질, 해의 정의에 따른 직접 대입 등 중학교 과정의 방법으로 해결할 수 있다. 식을 변형한 뒤에는 얻은 값을 원래 식에 다시 대입해 등식이 성립하는지 확인한다.

[자주 하는 실수] 곱이 0일 때 한 인수만 확인하거나, 제곱식에서 음수인 경우를 빠뜨리거나, 부호를 옮길 때 실수하지 않도록 주의한다.

[검산] 선택한 값 -9을 원래 방정식에 대입하면 좌변과 우변이 같아진다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 계수가 모두 유리수인 이차방정식이 무리수인 근을 가지면, 그 무리수 근의 켤레(부호만 반대인 무리수 부분)도 반드시 근이 된다는 성질이 있다.
2) 이는 근의 공식 x=(-b±√D)/2a에서 ± 부호로 인해 두 근이 항상 짝을 이루어 나타나기 때문이다.
3) 따라서 한 근이 2+√3이면, 다른 한 근은 무리수 부분의 부호만 반대인 2-√3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 유리수 계수 이차방정식의 무리수근은 반드시 p+√q, p-√q(p, q는 유리수)의 켤레 쌍으로 나타난다는 것이 이 성질의 핵심이다.
[핵심 2] 이 성질이 성립하는 이유는 근의 공식 (-b±√D)/2a에서 -b/2a(유리수 부분)는 두 근에서 같고, ±√D/2a(무리수 부분)만 부호가 반대이기 때문이다.
[핵심 3] 이 성질을 이용하면 한 근만 알아도 다른 근을 계산 없이 즉시 알 수 있으며, 두 근의 합(2p, 여기서는 4)과 곱((p²-q), 여기서는 1)도 바로 구할 수 있다.

[자주 하는 실수]
유리수 부분(2)의 부호를 반대로 바꾸거나(−2+√3), 무리수 부분(√3)의 부호를 바꾸지 않고 그대로(2+√3) 답하는 실수가 흔하다.

[검산]
두 근 2+√3, 2-√3의 합은 4(유리수), 곱은 (2+√3)(2-√3)=4-3=1(유리수)로, 이 두 근으로 이루어진 이차방정식 x²-4x+1=0의 계수가 모두 유리수임이 확인된다.

정답: 5

[개념] 양변을 한쪽으로 모은 뒤 인수분해하면 이차방정식을 두 일차방정식으로 나누어 풀 수 있다.

[풀이] x(x+4)=60를 정리하면 x²+4x-60=0이고, 이는 (x-6)(x+10)=0으로 인수분해된다. 양의 해는 6이다.

[핵심 정리] 이차방정식은 인수분해, 완전제곱식, 제곱근의 성질, 해의 정의에 따른 직접 대입 등 중학교 과정의 방법으로 해결할 수 있다. 식을 변형한 뒤에는 얻은 값을 원래 식에 다시 대입해 등식이 성립하는지 확인한다.

[자주 하는 실수] 곱이 0일 때 한 인수만 확인하거나, 제곱식에서 음수인 경우를 빠뜨리거나, 부호를 옮길 때 실수하지 않도록 주의한다.

[검산] 선택한 값 6을 원래 방정식에 대입하면 좌변과 우변이 같아진다.

정답: 3

[개념] x²-Sx+P 꼴에서 두 정수의 합이 S이고 곱이 P이면 (x-a)(x-b) 꼴로 인수분해할 수 있다.

[풀이] 3와 6의 합은 9이고 곱은 18이므로 주어진 식은 (x-3)(x-6)=0으로 인수분해된다. 따라서 큰 해는 6이다.

[핵심 정리] 이차방정식은 인수분해, 완전제곱식, 제곱근의 성질, 해의 정의에 따른 직접 대입 등 중학교 과정의 방법으로 해결할 수 있다. 식을 변형한 뒤에는 얻은 값을 원래 식에 다시 대입해 등식이 성립하는지 확인한다.

[자주 하는 실수] 곱이 0일 때 한 인수만 확인하거나, 제곱식에서 음수인 경우를 빠뜨리거나, 부호를 옮길 때 실수하지 않도록 주의한다.

[검산] 선택한 값 6을 원래 방정식에 대입하면 좌변과 우변이 같아진다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 좌변을 인수분해한다: 교차법으로 시도하면 (2x-3)(x+1)이 된다. 직접 전개해 확인하면 2x²+2x-3x-3=2x²-x-3으로 일치한다.
2) 따라서 방정식은 (2x-3)(x+1)=0이 된다.
3) AB=0의 성질에 의해 2x-3=0 또는 x+1=0이므로, x=3/2 또는 x=-1이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이차항의 계수가 1이 아닌 방정식은 인수분해할 때 교차법으로 여러 조합을 시도해 정확한 것을 찾아야 한다.
[핵심 2] 2x-3=0을 풀 때는 2x=3, x=3/2로 양변을 계수로 나누는 과정을 정확히 거쳐야 한다(분수 형태의 해도 정상적인 답이다).
[핵심 3] 인수분해가 맞는지 반드시 전개해서 원래 식과 비교하는 검산 과정을 거쳐야 실수를 방지할 수 있다.

[자주 하는 실수]
2x-3=0을 풀 때 x=3으로 계수 2를 나누지 않고 잘못 계산하는 실수, 또는 분수 해를 정수로 반올림하려는 실수가 있다.

[검산]
x=3/2를 원래 식에 대입하면 2×(3/2)²-(3/2)-3=2×2.25-1.5-3=4.5-1.5-3=0으로 성립함이 확인된다.

정답: 3

[개념] 양변을 한쪽으로 모은 뒤 인수분해하면 이차방정식을 두 일차방정식으로 나누어 풀 수 있다.

[풀이] x(x+4)=45를 정리하면 x²+4x-45=0이고, 이는 (x-5)(x+9)=0으로 인수분해된다. 양의 해는 5이다.

[핵심 정리] 이차방정식은 인수분해, 완전제곱식, 제곱근의 성질, 해의 정의에 따른 직접 대입 등 중학교 과정의 방법으로 해결할 수 있다. 식을 변형한 뒤에는 얻은 값을 원래 식에 다시 대입해 등식이 성립하는지 확인한다.

[자주 하는 실수] 곱이 0일 때 한 인수만 확인하거나, 제곱식에서 음수인 경우를 빠뜨리거나, 부호를 옮길 때 실수하지 않도록 주의한다.

[검산] 선택한 값 5을 원래 방정식에 대입하면 좌변과 우변이 같아진다.

정답: 5