중3 수학 다항식의 인수분해 예상문제

[풀이 과정]
1) 연속하는 세 자연수를 n, n+1, n+2라 하면, 가장 작은 수와 가장 큰 수의 곱은 n(n+2)이다.
2) 여기에 1을 더한 식을 전개하면 n(n+2)+1=n²+2n+1이다.
3) n²+2n+1은 완전제곱식으로 인수분해되어 (n+1)²이 되며, 이는 정확히 가운데 수(n+1)의 제곱이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이 문제는 구체적인 숫자가 아닌 문자 n을 이용해 '연속하는 세 자연수'라는 일반적인 상황을 증명하는 유형으로, 인수분해가 단순 계산을 넘어 수학적 성질을 증명하는 도구로 쓰일 수 있음을 보여준다.
[핵심 2] n²+2n+1=(n+1)²이라는 완전제곱식 공식이, 이 문제에서는 '가운데 수의 제곱'이라는 구체적인 의미로 자연스럽게 해석된다는 것이 핵심이다.
[핵심 3] 이런 증명형 문제는 특정 숫자 몇 개로 검산해서 맞다고 확신하기보다는, 문자를 이용한 일반적인 증명 과정 자체를 이해하는 것이 중요하다.

[자주 하는 실수]
가운데 수를 n+1이 아닌 n+2로 착각하거나, n(n+2)+1을 전개하는 과정에서 계산 실수를 하는 경우가 있다.

[검산]
예를 들어 n=5이면 세 자연수는 5, 6, 7이고 5×7+1=36=6²으로, 가운데 수 6의 제곱과 정확히 일치하여 일반적인 증명이 구체적인 예에서도 성립함을 확인할 수 있다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 각 항의 계수(4, 8)의 최대공약수는 4이고, 각 항에 공통으로 들어있는 문자는 x와 y이므로, 공통인수는 4xy이다.
2) 4x²y÷4xy=x이고, 8xy²÷4xy=2y이므로, 공통인수 4xy를 묶어내면 4xy(x-2y)이다.
3) 따라서 4x²y-8xy² = 4xy(x-2y)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 공통인수를 찾을 때는 계수의 최대공약수와, 모든 항에 공통으로 들어있는 문자를 각각 따로 구한 뒤 곱해야 한다.
[핵심 2] 문자가 두 개 이상 곱해진 항(x²y, xy²)에서는 각 문자의 최소 지수(x는 1, y는 1)만큼만 공통인수로 뽑아낼 수 있다.
[핵심 3] 공통인수를 뽑아낸 뒤 괄호 안의 식이 더 이상 인수분해되지 않는지(계수의 공약수가 없고, 공통 문자가 없는지) 반드시 확인해야 한다.

[자주 하는 실수]
계수의 최대공약수를 8로 잘못 구하거나, y의 지수를 잘못 처리해 4xy(x-8y)처럼 계산하는 실수가 있다.

[검산]
x=2, y=1을 대입하면 4(4)(1)-8(2)(1)=16-16=0이며, 4(2)(1)(2-2)=0으로 정확히 일치한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 먼저 모든 항의 공통인수 2를 밖으로 묶어낸다: 2x²-18=2(x²-9)이다.
2) 괄호 안의 x²-9는 x²-3²의 형태이므로 합차공식으로 인수분해할 수 있다: x²-9=(x+3)(x-3)이다.
3) 따라서 2x²-18=2(x+3)(x-3)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 인수분해는 항상 공통인수를 먼저 찾아 밖으로 꺼내는 것이 첫 번째 단계이며, 이를 빠뜨리면 답이 불완전해진다.
[핵심 2] 공통인수를 꺼낸 뒤 남은 식이 합차공식(x²-a²)이나 완전제곱식 형태인지 확인하는 것이 다음 단계이다.
[핵심 3] 최종 인수분해 결과는 공통인수와 나머지 인수분해 결과를 모두 곱한 형태로 표현해야 완전한 답이 된다.

[자주 하는 실수]
공통인수 2를 꺼내지 않고 x²-9만 (x+3)(x-3)으로 인수분해해서 앞의 2를 빠뜨리는 실수가 매우 흔하다.

[검산]
2(x+3)(x-3)을 전개하면 2(x²-9)=2x²-18로 원래 식과 정확히 일치한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) x²-2x-15를 인수분해하면 (x-5)(x+3)이다.
2) x는 자연수이므로 (x+3)은 항상 양수이다. 따라서 식 전체가 양수가 되려면 (x-5)도 양수여야 하므로 x-5>0, 즉 x>5이어야 한다.
3) x>5를 만족하는 가장 작은 자연수는 x=6이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이차식이 양수(또는 음수)가 되는 조건을 찾을 때는 먼저 인수분해하여 두 일차식의 곱으로 나타낸 뒤, 각 인수의 부호를 따져보는 것이 직접 대입해보는 것보다 체계적이다.
[핵심 2] 이 문제처럼 한 인수(x+3)가 자연수 범위에서 항상 양수로 고정되는 경우, 전체 부호는 나머지 한 인수(x-5)의 부호만으로 결정된다는 점을 이용하면 풀이가 간단해진다.

[자주 하는 실수]
x=5를 대입하면 (x-5)(x+3)=0으로 양수가 아님을 확인하지 않고 x=5를 최솟값으로 착각하거나, x-5>0에서 등호가 포함되지 않는다는 것을 놓쳐 x≥5로 잘못 판단한다.

[검산]
x=5일 때 (0)(8)=0으로 양수가 아니고, x=6일 때 (1)(9)=9>0으로 처음으로 양수가 되므로, 자연수 중 최솟값이 6임이 정확히 확인된다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 분자 x²-16을 합차공식으로 인수분해하면 (x-4)(x+4)이다.
2) 분수식은 (x-4)(x+4)/(x+4)이며, (x+4)를 약분하면 x-4가 된다.
3) x=10.5를 대입하면 10.5-4=6.5=13/2이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 분수식에 큰 소수나 복잡한 수를 직접 대입하기 전에, 먼저 분자를 인수분해하여 분모와 약분할 수 있는지 확인하면 계산이 훨씬 간단해진다.
[핵심 2] 이 유형은 x=10.5와 같이 계산이 번거로운 값이 주어졌을 때, 먼저 식을 최대한 간단히 정리한 뒤 마지막에 대입하는 순서가 중요하다는 것을 보여준다.

[자주 하는 실수]
약분하지 않고 x=10.5를 원래의 분수식에 그대로 대입해 복잡한 계산을 하다가 실수하거나, 약분 후 x-4가 아니라 x+4를 남기는 실수를 한다.

[검산]
x=10.5를 원래 식에 대입하면 (110.25-16)/(14.5)=94.25/14.5=6.5로, 약분한 식 x-4=6.5와 정확히 일치한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 각 식이 완전제곱식이 되려면, 상수항이 어떤 수의 제곱이고 일차항의 계수가 그 수의 2배(또는 -2배)여야 한다.
2) x²+8x+16: 16=4², 8=2×4이므로 (x+4)²으로 완전제곱식이다. x²-10x+25: 25=5², 10=2×5이므로 (x-5)²으로 완전제곱식이다. 4x²+12x+9: (2x+3)²=4x²+12x+9로 완전제곱식이다. x²+6x+9: 9=3², 6=2×3이므로 (x+3)²으로 완전제곱식이다.
3) 그러나 x²+8x+15는 상수항 15가 어떤 수의 제곱이 아니며, 실제로 곱해서 15, 더해서 8이 되는 3과 5를 이용해 (x+3)(x+5)로 인수분해되어 완전제곱식이 아니다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 완전제곱식 판별의 표준 절차는 상수항이 완전제곱수인지 먼저 확인하고, 그 다음 일차항의 계수가 그 제곱근의 2배와 일치하는지 확인하는 것이다.
[핵심 2] 이 문제처럼 여러 후보 중 완전제곱식이 '아닌' 것을 찾는 반례형 문제는, 각 후보를 하나씩 검증하는 꼼꼼함과 함께 빠르게 패턴(예: 상수항이 제곱수가 아님)을 알아채는 능력이 필요하다.
[핵심 3] x²+8x+15는 완전제곱식은 아니지만 여전히 x²+(a+b)x+ab 형태로 인수분해는 가능하다는 것도 함께 알아두어야 하며, '인수분해가 안 된다'는 것과 '완전제곱식이 아니다'는 것은 다른 의미이다.

[자주 하는 실수]
상수항이 제곱수인지 확인하지 않고 일차항의 계수만 보고 판단하거나, x²+8x+15도 (x+4)² 형태와 비슷해 보인다는 이유로 완전제곱식으로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
x²+8x+15=(x+3)(x+5)로 서로 다른 두 인수로 인수분해되어 (x+k)² 형태가 될 수 없으므로, 완전제곱식이 아니라는 결론이 정확하다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 앞의 세 항 x²+6x+9는 완전제곱식이므로 (x+3)²으로 정리할 수 있다.
2) 따라서 전체 식은 (x+3)²-y²이 되며, 이는 합차공식 A²-B²=(A+B)(A-B) 형태이다(A=x+3, B=y).
3) 합차공식을 적용하면 (x+3)²-y²=(x+3+y)(x+3-y)=(x+y+3)(x-y+3)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 네 개 이상의 항으로 이루어진 식을 인수분해할 때는, 먼저 완전제곱식이 되는 부분(x²+6x+9)을 찾아 하나의 문자처럼 묶은 뒤, 남은 부분과 합차공식을 적용하는 2단계 전략을 사용한다.
[핵심 2] 이 유형은 "제곱 - 제곱" 형태를 만들기 위해 먼저 세 개의 항을 완전제곱식으로 변형하는 것이 핵심이며, 변형 후에는 일반적인 합차공식 인수분해와 동일한 방법으로 마무리한다.

[자주 하는 실수]
x²+6x+9를 완전제곱식으로 묶지 않고 네 항을 무작위로 두 개씩 묶어 인수분해를 시도하다가 실패하거나, 합차공식을 적용할 때 (x+3+y)와 (x+3-y)의 부호를 헷갈려 (x+y-3)과 같이 잘못된 인수를 얻는다.

[검산]
x=1, y=2를 대입하면 원래 식은 1+6+9-4=12이고, 인수분해된 식은 (1-2+3)(1+2+3)=2×6=12로 정확히 일치한다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) x²-5x+6을 인수분해하면 곱이 6, 합이 -5인 두 수(-2, -3)를 찾아 (x-2)(x-3)이다.
2) x²-4를 합차공식으로 인수분해하면 (x+2)(x-2)이다.
3) 두 인수분해 결과 (x-2)(x-3)과 (x+2)(x-2)를 비교하면, 공통으로 들어있는 인수는 (x-2)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 두 다항식의 공통인수를 구하는 문제는 각 다항식을 먼저 완전히 인수분해한 뒤, 두 결과에 공통으로 나타나는 인수를 찾는 방식으로 풀어야 한다.
[핵심 2] 이 유형은 마치 두 자연수의 최대공약수를 구하는 것과 비슷한 원리로, 다항식 버전의 최대공약수를 찾는 문제로 이해할 수 있다.
[핵심 3] 인수분해를 하지 않고 두 다항식을 그대로 비교하면 공통인수를 찾을 수 없으므로, 반드시 인수분해가 선행되어야 한다.

[자주 하는 실수]
인수분해를 하지 않고 두 식을 직접 비교하려 하거나, x²-4의 인수 중 (x+2)를 공통인수로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
x=2를 대입하면 x²-5x+6=4-10+6=0이고 x²-4=4-4=0으로, 두 식 모두 x=2에서 0이 되어 (x-2)가 공통인수임이 확인된다.

정답: 5