중3 수학 산점도와 상관관계 예상문제

[풀이 과정]
1) 산점도의 한 점 (x, y)는 특정 대상의 두 변량 값을 동시에 나타내는 것으로, 원점도 예외가 아니라 (0, 0)이라는 값을 가진 하나의 점일 뿐이다.
2) 따라서 원점에 위치한 점은 x=0(결석 일수 0일)이고 동시에 y=0(봉사활동 시간 0시간)인 학생이 실제로 존재한다는 것을 의미한다.
3) 이는 자료가 없다는 뜻이 아니라, 두 변량의 값이 모두 정확히 0이라는 유효한 자료값을 나타내는 것이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 산점도에서 원점은 다른 위치의 점들과 마찬가지로 실제 자료값 (0, 0)을 나타내는 유효한 점이며, '자료 없음'을 의미하지 않는다.
[핵심 2] 두 변량이 모두 0인 경우가 자료에 포함될 수 있다는 것을 이해하면, 산점도를 읽을 때 원점 근처의 점들도 놓치지 않고 정확히 해석할 수 있다.
[핵심 3] 이 유형은 좌표평면에서 원점이 가지는 일반적인 의미(두 좌표가 모두 0)를 산점도라는 통계적 맥락에 정확히 적용하는 능력을 확인한다.

[자주 하는 실수]
원점에 점이 있으면 그 자료가 '없다' 또는 '무효하다'고 착각하거나, 원점을 항상 그래프의 기준점으로만 여기고 실제 자료값으로 해석하지 못하는 실수가 있다.

[검산]
원점 (0,0)은 좌표평면의 다른 점들과 동일한 방식으로 해석되므로, x=0, y=0이라는 두 변량의 실제 값을 나타내는 것이 정확한 해석이다.

정답: 1

[핵심개념] 예치 기간이 길수록 이자 총액도 대체로 증가하는 경향이므로 두 변량은 양의 상관관계이다. 문제에서 제시한 증가 방향만 확인하면 된다. 정답: 4

[학습 포인트]
산점도와 상관관계 단원의 산점도와 상관관계을 적용하는 문항이다. 식이나 수치를 한 단계씩 정리하고, 문제에서 요구한 값과 실제로 계산한 값이 같은 대상인지 확인한다. 대수 문항은 원래 식에 다시 대입하고, 도형 문항은 길이·각·넓이의 조건을 되짚으며, 통계 문항은 자료 전체와 계산 결과가 일관되는지 검산한다.
[정답 확인]
정답은 4번이며, 해당 선지는 「양의 상관관계」이다. 다른 선지는 계산 과정의 부호·단위·조건 또는 적용한 성질이 문제의 조건과 일치하는지 비교하여 소거한다.

[풀이 과정]
1) 신발 사이즈는 주로 키나 발의 크기 등 신체적 요인에 의해 결정되며, 시험 점수는 주로 학습량이나 이해도 등 학업적 요인에 의해 결정된다.
2) 이 두 변량은 서로 논리적으로 연관될 이유가 없으므로, 신발 사이즈가 크다고 시험 점수가 높거나 낮아지는 일정한 경향이 나타나지 않는다.
3) 따라서 이 두 변량을 산점도로 나타내면 점들이 특별한 방향 없이 무작위로 흩어지는, 상관관계가 없는(무상관) 모습을 보이는 경우가 많다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 상관관계가 없다고 판단하려면, 두 변량이 서로 논리적·물리적으로 직접 연관될 이유가 없는지를 먼저 생각해보는 것이 도움이 된다.
[핵심 2] 두 변량이 모두 다른 제3의 요인(예: 나이)과는 관련이 있을 수 있지만, 그 자체로 서로 직접적인 상관관계를 갖지는 않을 수 있다는 점도 함께 이해하면 좋다.
[핵심 3] 이런 무상관의 예시(신발 사이즈-시험 점수)를 양의 상관관계, 음의 상관관계의 예시들과 비교하며 함께 정리해두면 상관관계 판별 문제에 자신감을 가질 수 있다.

[자주 하는 실수]
두 변량 사이에 억지로 어떤 관계를 찾으려 하거나, 신발 사이즈가 큰 학생(대체로 나이가 많거나 키가 큰 경우)과 시험 점수를 무리하게 연결지어 판단하는 실수가 있다.

[검산]
실제로 같은 신발 사이즈를 가진 학생들의 시험 점수를 조사하면 매우 높은 점수부터 매우 낮은 점수까지 고르게 분포하여, 일정한 경향이 없음이 확인된다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 가로축의 단위를 시간에서 분으로 바꾸는 것은 각 x값에 60을 곱하는 것과 같으며, 이는 그래프를 가로 방향으로 확대하는 것에 불과하다.
2) 세로축의 단위를 점수에서 등급으로 바꾸는 것도 마찬가지로 y값에 일정한 변환을 적용하는 것이며, 점들 사이의 상대적인 증가·감소 경향 자체는 바뀌지 않는다.
3) 따라서 축의 단위(척도)를 바꾸어도 자료들이 보이는 전반적인 상관관계의 방향과 대략적인 세기는 그대로 유지된다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 상관관계는 두 변량이 함께 증가하는지, 함께 감소하는지, 아니면 무관한지를 나타내는 '경향성'에 대한 개념이므로, 측정 단위를 바꾸는 것과 같은 일차적인 척도 변환에는 영향을 받지 않는다.
[핵심 2] 이는 앞서 다룬 표준편차의 성질(상수배 시 값이 비례해서 변함)과 마찬가지로, 그래프의 모양(점들 사이의 상대적 위치 관계)은 단위 변환 전후에 본질적으로 같다는 것을 보여준다.

[자주 하는 실수]
단위를 바꾸면 그래프의 겉모습(축의 눈금 간격)이 달라 보인다는 이유로 상관관계 자체가 달라진다고 착각하는 실수를 한다.

[검산]
공부 시간이 늘어날수록 성적이 오르는 경향은, 시간을 분으로 바꾸어도(같은 값에 60을 곱한 것뿐이므로) 여전히 값이 클수록 성적이 오르는 관계이므로 양의 상관관계가 그대로 유지된다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 각 점의 원점으로부터의 거리는 √(x²+y²)으로 구한다.
2) (3,4)→√(9+16)=√25=5, (6,8)→√(36+64)=√100=10, (5,12)→√(25+144)=√169=13, (9,12)→√(81+144)=√225=15로 모두 정수이다.
3) (1,2)→√(1+4)=√5(정수 아님), (7,7)→√(49+49)=√98(정수 아님)이다.
4) 따라서 원점으로부터의 거리가 정수인 점은 (3,4), (6,8), (5,12), (9,12)로 총 4개이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 산점도 위의 점을 좌표평면 위의 점으로 보면, 원점으로부터의 거리는 피타고라스 정리(거리 공식)로 구할 수 있으며, 이는 통계(산점도)와 기하(피타고라스 정리)가 결합된 교과통합형 문제이다.
[핵심 2] 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15와 같은 피타고라스 수를 알고 있으면, 제곱근을 직접 계산하지 않고도 거리가 정수인지 빠르게 판별할 수 있다.

[자주 하는 실수]
제곱근을 끝까지 계산하지 않고 어림짐작으로 정수 여부를 판단하거나, √98을 √(49×2)=7√2로 정리하지 않아 정수가 아님을 놓치고 정수라고 착각한다.

[검산]
4개의 점 (3,4), (6,8), (5,12), (9,12)은 각각 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15의 정수 피타고라스 수를 이루므로 거리가 정확히 5, 10, 13, 15로 모두 정수임이 확인된다.

정답: 2

[핵심개념] 한 변량이 변할 때 다른 변량이 일정하게 증가하거나 감소하는 경향이 보이지 않으면 상관관계가 없다고 판단한다. 따라서 정답은 ⑤이다. 정답: 5

[학습 포인트]
산점도와 상관관계 단원의 산점도와 상관관계을 적용하는 문항이다. 식이나 수치를 한 단계씩 정리하고, 문제에서 요구한 값과 실제로 계산한 값이 같은 대상인지 확인한다. 대수 문항은 원래 식에 다시 대입하고, 도형 문항은 길이·각·넓이의 조건을 되짚으며, 통계 문항은 자료 전체와 계산 결과가 일관되는지 검산한다.
[정답 확인]
정답은 5번이며, 해당 선지는 「상관관계가 없다」이다. 다른 선지는 계산 과정의 부호·단위·조건 또는 적용한 성질이 문제의 조건과 일치하는지 비교하여 소거한다.

[풀이 과정]
1) 각 선택지의 두 변량이 논리적·경험적으로 서로 영향을 주고받을 만한 관계인지 생각해 본다.
2) '신발 크기와 국어 점수', '태어난 요일과 수학 점수', '학생 번호와 키', '동전 던진 횟수와 날씨'는 서로 인과적·경향적으로 연관될 이유가 없는 조합들이다.
3) 반면 '운동 시간이 많을수록 소모 칼로리도 늘어난다'는 것은 실제로 명확한 경향(양의 상관관계)이 있는 조합이므로, 상관관계가 있을 가능성이 가장 크다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 상관관계가 있을 법한 조합을 판단할 때는 두 변량 사이에 실제로 영향을 주고받을 만한 논리적 근거가 있는지를 먼저 따져본다.
[핵심 2] 학생 번호처럼 임의로 부여된 값이나, 날씨·요일처럼 무작위성이 큰 값은 다른 변량과 상관관계가 없는 경우가 대부분이다.
[핵심 3] 이런 유형의 문제는 산점도를 직접 그리지 않고도 변량 사이의 실생활 맥락을 통해 상관관계 유무를 추론하는 능력을 평가한다.

[자주 하는 실수]
숫자로 표현될 수 있는 값이면 무조건 상관관계가 있을 것이라 착각하는 실수가 있다 — 숫자라 해도 논리적 연관성이 없으면 상관관계가 없다.

[검산]
운동 시간과 소모 칼로리는 운동 생리학적으로도 명확한 비례 관계가 있다고 알려져 있어, 다른 선택지들과 달리 상관관계가 있다고 보는 것이 타당하다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 산점도의 한 점은 순서쌍 (x, y)로 표현되며, 여기서 x는 가로축(공부 시간), y는 세로축(수학 점수)에 해당하는 값이다.
2) 점 (5, 80)은 x=5, y=80을 의미하므로, 이는 어떤 한 학생의 공부 시간이 5시간이고, 그 학생의 수학 점수가 80점이라는 뜻이다.
3) 즉, 산점도 위의 각 점은 한 사람(또는 한 대상)의 두 변량 값을 동시에 나타낸다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 산점도의 한 점 (x, y)는 하나의 조사 대상(예: 한 학생)이 가진 두 변량의 값을 동시에 나타내는 것으로, 좌표평면의 점과 같은 방식으로 해석한다.
[핵심 2] 가로축과 세로축에 무엇을 나타내는지 정확히 파악하는 것이 산점도를 올바르게 읽는 첫걸음이다.
[핵심 3] 이 유형은 산점도가 단순히 경향을 보여주는 그림이 아니라, 각 점 하나하나가 실제 자료값을 담고 있다는 것을 이해하는지 확인한다.

[자주 하는 실수]
x축과 y축이 나타내는 변량을 서로 바꾸어 해석하거나, 좌표를 순서쌍이 아닌 다른 의미(등수, 합 등)로 잘못 해석하는 실수가 있다.

[검산]
가로축이 공부 시간, 세로축이 수학 점수이므로 점 (5, 80)은 정확히 '공부 시간 5시간, 수학 점수 80점'을 나타낸다.

정답: 3