중3 수학 근호를 포함한 식의 계산 예상문제

[풀이 과정]
1) 식 x²-2x+1은 완전제곱식 (x-1)²으로 인수분해된다는 것을 먼저 알아챈다.
2) 따라서 값을 구할 식은 (x-1)²이며, 여기에 x=√3+1을 대입하면 (√3+1-1)²=(√3)²이 된다.
3) (√3)²=3이므로, x²-2x+1의 값은 3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 복잡해 보이는 식이라도 먼저 인수분해나 공식화가 가능한지 확인하면 대입 계산이 훨씬 간단해진다.
[핵심 2] x=√3+1을 식에 직접 대입해서 전개하는 방법도 가능하지만, (x-1)² 형태로 바꾸면 -1과 +1이 상쇄되어 계산이 크게 줄어든다.
[핵심 3] 이처럼 '먼저 식을 정리한 뒤 대입'하는 전략은 근호가 포함된 값 구하기 문제에서 매우 유용하다.

[자주 하는 실수]
x²-2x+1을 인수분해하지 않고 x=√3+1을 직접 대입해 (√3+1)²-2(√3+1)+1을 처음부터 전개하다가 계산 실수를 하는 경우가 흔하다.

[검산]
직접 대입해서 검산하면 (√3+1)²-2(√3+1)+1=(3+2√3+1)-(2√3+2)+1=4+2√3-2√3-2+1=3으로 동일한 결과가 나온다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 근호의 나눗셈 공식 √a÷√b=√(a÷b)(a,b>0)를 이용해 두 근호를 하나로 합친다.
2) √50÷√2=√(50÷2)=√25가 된다.
3) 25는 5²이므로 완전제곱수이며, √25=5이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이 문제도 앞선 √24÷√6 문제와 완전히 같은 원리(√a÷√b=√(a÷b))로 풀 수 있는 대표적인 유형이다.
[핵심 2] 나눗셈을 먼저 근호 안에서 계산하고, 그 결과가 완전제곱수인지 확인하는 순서가 핵심이다.
[핵심 3] 50÷2처럼 나눗셈이 깔끔하게 떨어지는 문제는 대부분 결과가 완전제곱수가 되도록 출제되는 경우가 많다.

[자주 하는 실수]
50과 2를 각각 √50=5√2, √2=√2로 따로 정리한 뒤 나누는 복잡한 방법을 시도하다가 계산 실수를 하는 경우가 있다(가능한 방법이지만 비효율적).

[검산]
5²=25이므로 √25=5가 정확하며, 2×25=50이므로 나눗셈 계산도 올바르다는 것이 재확인된다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 근호끼리의 곱셈과 나눗셈은 근호 안의 수끼리 곱하고 나누어 하나의 근호로 정리할 수 있다.
2) √2×√6÷√3=√(2×6÷3)=√4이다.
3) 따라서 √4=2이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 여러 개의 근호가 곱셈과 나눗셈으로 연결된 식은, 근호 안의 수끼리 한꺼번에 계산하여 하나의 근호로 통합한 뒤 마지막에 간단히 하는 것이 효율적이다.
[핵심 2] 곱셈과 나눗셈이 섞여 있을 때는 앞에서부터 순서대로 계산하되, 근호 안에서는 분수처럼 통합해서 정리할 수 있다는 것을 기억해야 한다.
[핵심 3] 결과가 완전제곱수(4)가 되어 근호가 완전히 사라지는 경우도 있으므로, 항상 마지막에 간단히 할 수 있는지 확인하는 습관이 필요하다.

[자주 하는 실수]
나눗셈을 곱셈보다 먼저 처리하지 않고 순서를 바꾸거나, 2×6÷3을 잘못 계산하여 근호 안의 값을 틀리는 실수가 있다.

[검산]
2×6÷3=4이고 √4=2로, 직접 근호 안을 정리한 결과와 일치한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) a-b의 부호를 판단하려면 a와 b 중 어느 것이 더 큰지 비교해야 한다. b=3을 근호가 있는 형태로 바꾸면 b=√9이다.
2) √7과 √9를 비교하면, 근호 안의 수가 7<9이므로 √7<√9, 즉 a<b이다.
3) a<b이므로 a-b<0이며, 따라서 a-b의 부호는 음수이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 근호가 있는 수와 정수의 대소를 비교할 때는, 정수를 근호가 있는 형태(제곱하여 근호 안에 넣은 형태)로 바꾸어 근호 안의 수끼리 비교하는 것이 가장 확실한 방법이다.
[핵심 2] 두 수의 차의 부호를 알아내는 것은 두 수의 대소를 비교하는 것과 동일하며, 큰 수에서 작은 수를 뺀 것이 아니라면 그 차는 음수가 된다는 것을 기억해야 한다.
[핵심 3] 이 유형은 제곱근의 대소 비교 원리를 '차의 부호 판별'이라는 형태로 응용한 문제로, 실제 계산 없이도 논리적으로 부호를 판단할 수 있는 능력을 확인한다.

[자주 하는 실수]
√7의 값을 3에 가깝다고 어림잡아 대소 관계를 명확히 판단하지 않거나, a와 b의 순서를 바꾸어 b-a의 부호로 착각해 답하는 실수가 있다.

[검산]
√7≈2.646이고 b=3이므로 a-b≈2.646-3=-0.354로 음수임이 근삿값 계산으로도 정확히 확인된다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) 원뿔의 옆넓이 공식은 π×(밑면의 반지름)×(모선의 길이)이다.
2) 반지름과 모선의 길이의 곱을 먼저 계산하면 √3×√12=√(3×12)=√36=6이다.
3) 따라서 옆넓이는 π×6=6π이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 입체도형의 겉넓이나 옆넓이를 구하는 공식에 근호로 표현된 길이가 대입될 때는, 공식의 각 부분을 곱하기 전에 근호끼리 먼저 곱해 간단히 정리하는 것이 효율적이다.
[핵심 2] 두 근호의 곱 √a×√b=√(ab)를 이용하면, 서로 다른 두 무리수의 곱이 완전제곱수가 되어 유리수(여기서는 정수)로 간단해지는 경우를 쉽게 찾아낼 수 있다.

[자주 하는 실수]
반지름과 모선의 길이를 곱하지 않고 각각 π를 따로 곱하여 3π×12π처럼 잘못된 식을 세우거나, √3×√12를 계산할 때 3×12=36의 제곱근을 구하지 않고 36을 그대로 답에 사용한다.

[검산]
√3×√12=√36=6이고 이는 유리수이므로, 옆넓이 π×6=6π로 근호가 없는 깔끔한 형태의 답이 나오는 것이 자연스럽다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 직사각형의 둘레는 2×(가로+세로)로 구할 수 있다. 먼저 각 변의 길이를 가장 간단한 근호의 형태로 정리한다.
2) √12=√(4×3)=2√3이고, √27=√(9×3)=3√3이다.
3) 가로와 세로의 합은 2√3+3√3=5√3이므로, 둘레는 2×5√3=10√3(cm)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 근호가 포함된 변의 길이를 다루는 도형 문제에서는, 먼저 각 변의 길이를 가장 간단한 근호의 형태로 만든 뒤 계산을 진행하는 것이 실수를 줄이는 핵심 전략이다.
[핵심 2] √12와 √27은 겉보기에는 다른 수처럼 보이지만, 간단히 하면 모두 √3의 배수(2√3, 3√3)로 표현되어 동류항처럼 더할 수 있다는 것을 발견하는 것이 이 문제의 핵심이다.
[핵심 3] 도형의 둘레나 넓이를 구하는 공식(2×(가로+세로) 등)은 근호가 포함된 경우에도 동일하게 적용되며, 다만 마지막 계산 과정에서 근호의 성질을 정확히 다루어야 한다.

[자주 하는 실수]
√12와 √27을 간단히 하지 않고 서로 다른 무리수로 취급해 더할 수 없다고 착각하거나, 둘레 공식에서 2를 곱하는 것을 빠뜨려 5√3을 답으로 잘못 내는 실수가 있다.

[검산]
√12≈3.46, √27≈5.20이므로 둘레는 약 2×(3.46+5.20)=2×8.66≈17.32이며, 10√3≈10×1.732=17.32로 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 시간=거리÷속력의 관계를 이용하면, 걸린 시간=√45÷√5이다.
2) 근호의 나눗셈 성질에 의해 √45÷√5=√(45÷5)=√9이다.
3) √9=3이므로 걸린 시간은 3시간이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 거리와 속력이 모두 근호로 주어진 문제에서 시간을 구할 때는 (거리)÷(속력)의 관계식에 직접 근호의 나눗셈 성질 √a÷√b=√(a/b)를 적용하면 간단히 정리된다.
[핵심 2] 이 유형은 근호를 포함한 속력과 시간의 곱으로 이동 거리를 구하는 기존 유형과 반대 방향(나눗셈으로 시간을 구하는 방향)의 문제이다.

[자주 하는 실수]
√45와 √5를 각각 따로 소수로 어림하여 나누려다 계산이 복잡해지거나, √45÷√5를 √45/5가 아니라 √(45-5)처럼 잘못된 연산으로 처리한다.

[검산]
√45=3√5이므로 3√5÷√5=3으로 근호의 나눗셈 성질을 이용한 계산과 정확히 일치한다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 세 수가 모두 양수이므로 각각을 제곱하여 크기를 비교한다.
2) (2√6)²=4×6=24, (3√3)²=9×3=27, (4√2)²=16×2=32이다.
3) 24<27<32이므로 2√6<3√3<4√2이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 근호 앞에 서로 다른 계수가 붙은 여러 개의 무리수를 비교할 때는 근호 안으로 계수를 넣어 하나의 근호로 통일하거나(예: 2√6=√24), 각 수를 제곱하여 근호 안의 수끼리 비교하는 방법이 모두 유효하다.
[핵심 2] 제곱해서 비교하는 방법은 계수와 근호 안의 수가 모두 다른 세 개 이상의 무리수를 비교할 때 특히 실수를 줄여주는 체계적인 방법이다.

[자주 하는 실수]
근호 안의 수(6, 3, 2)만 보고 6이 가장 크므로 2√6이 가장 클 것이라고 착각해 계수(2, 3, 4)를 함께 고려하지 않거나, 제곱하는 과정에서 계수와 근호 안의 수를 따로 제곱하지 않고 전체를 한 번에 잘못 계산한다.

[검산]
2√6≈4.90, 3√3≈5.20, 4√2≈5.66으로 근사값을 직접 계산해도 2√6<3√3<4√2의 순서가 제곱을 이용한 비교 결과와 정확히 일치한다.

정답: 1