중3 수학 삼각비 예상문제

[풀이 과정]
1) ∠A의 대변은 BC=6, 인접변은 AC=8, 빗변은 AB=10이므로 sinA=6/10=3/5, cosA=8/10=4/5, tanA=6/8=3/4이다.
2) cosA×tanA=(4/5)×(3/4)=3/5이다.
3) 이 값은 sinA=3/5와 정확히 같다.

[핵심 정리]
[핵심 1] cosA×tanA=cosA×(sinA/cosA)=sinA이므로, 이 식은 항상 sinA와 같은 값을 갖는다는 항등식을 실제 수치로 확인하는 문제이다.
[핵심 2] 삼각비의 상호관계(tanA=sinA/cosA)를 알면 cosA×tanA를 굳이 직접 곱셈으로 계산하지 않아도 바로 sinA임을 알 수 있어 계산을 단축할 수 있다.

[자주 하는 실수]
cosA×tanA를 직접 곱셈으로만 계산하고 그 결과가 sinA와 같다는 것을 눈치채지 못하거나, 변의 비를 잘못 대입해 tanA=8/6으로 착각하는 실수를 한다.

[검산]
cosA×tanA=(4/5)×(3/4)=12/20=3/5이며, sinA=6/10=3/5로 두 값이 정확히 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) tanA=3/4이므로 A의 대변과 인접변의 비는 3:4이고, 빗변은 5의 비율에 해당하는 3-4-5 직각삼각형 구조를 갖는다.
2) 빗변이 10이므로 비례식 5k=10에서 k=2이고, 대변=3×2=6, 인접변=4×2=8이다.
3) sinA=6/10=3/5, cosA=8/10=4/5이므로 sinA+cosA=3/5+4/5=7/5이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] tanA의 값이 기약분수 m/n으로 주어지면, 대변:인접변:빗변=m:n:√(m²+n²)의 비율을 이용해 실제 변의 길이를 구할 수 있다.
[핵심 2] 3-4-5는 가장 대표적인 피타고라스 수이며, tanA=3/4이면 언제나 이 비율의 직각삼각형이 된다.

[자주 하는 실수]
빗변 10을 3-4-5 비율의 '5'에 해당하는 값으로 바로 사용하지 않고 잘못된 비례식을 세우거나, 대변과 인접변을 반대로 설정하여 sinA와 cosA의 값을 바꿔 계산한다.

[검산]
대변 6, 인접변 8, 빗변 10인 직각삼각형은 6²+8²=36+64=100=10²으로 피타고라스 정리를 만족하며, sinA+cosA=6/10+8/10=14/10=7/5로 정확하다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 삼각비의 상호관계 sin²A+cos²A=1을 이용한다.
2) cos²A = 1-sin²A = 1-(5/13)² = 1-25/169 = 144/169이다.
3) cosA는 예각(양수)이므로, cosA = √(144/169) = 12/13이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 5-12-13은 대표적인 피타고라스 수(5²+12²=13²)이므로, sinA=5/13이면 cosA=12/13이 나온다는 것을 직각삼각형의 변의 비로도 바로 확인할 수 있다.
[핵심 2] ∠A가 예각이라는 조건이 있으면 cosA는 항상 양수이므로 제곱근을 취할 때 음의 값은 고려하지 않아도 된다.
[핵심 3] 이 유형은 직각삼각형을 직접 그려서 대변=5, 빗변=13인 삼각형의 나머지 변(인접변)을 피타고라스 정리로 구해도 같은 결과를 얻을 수 있다.

[자주 하는 실수]
sin²A와 cos²A를 계산할 때 분수의 제곱(25/169)을 계수만 제곱(5/169)하는 실수, 또는 최종 제곱근을 취하지 않고 144/169를 답으로 잘못 내는 실수가 있다.

[검산]
직각삼각형의 세 변을 5, 12, 13이라 하면 5²+12²=25+144=169=13²로 성립하며, cosA=인접변/빗변=12/13과 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) tanA=3/4이므로, 대변이 3, 인접변이 4인 직각삼각형을 생각할 수 있다.
2) 피타고라스 정리에 의해 빗변은 √(3²+4²)=√25=5이므로, sinA=3/5, cosA=4/5이다.
3) sinA-cosA=3/5-4/5=-1/5이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] tanA의 값이 분수로 주어지면, 분자를 대변, 분모를 인접변으로 하는 직각삼각형을 그려서 빗변을 피타고라스 정리로 구하는 것이 표준적인 접근법이다.
[핵심 2] 이렇게 구한 대변, 인접변, 빗변을 이용하면 sinA, cosA를 모두 구할 수 있으며, 이를 이용해 다양한 조합식(합, 차, 곱 등)의 값을 계산할 수 있다.
[핵심 3] sinA-cosA는 sinA+cosA와 달리 부호에 유의해야 하며, A가 45°보다 작은 예각일 때는 일반적으로 sinA<cosA이므로 그 값이 음수가 될 수 있다는 것을 기억해야 한다.

[자주 하는 실수]
tanA=3/4에서 3을 인접변, 4를 대변으로 반대로 설정하거나, sinA-cosA를 계산할 때 부호를 놓쳐 절댓값인 1/5을 답으로 잘못 고르는 실수가 있다.

[검산]
sinA=3/5, cosA=4/5이면 tanA=sinA/cosA=(3/5)/(4/5)=3/4로 처음 조건과 정확히 일치하며, sinA-cosA=-1/5도 올바르게 계산되었음이 확인된다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 변 3이 각 A의 대변이고 빗변이 5이므로 sinA=3/5, 변 4가 각 A의 밑변(인접변)이므로 cosA=4/5이다.
2) 3sinA+4cosA=3×(3/5)+4×(4/5)=9/5+16/5이다.
3) 9/5+16/5=25/5=5이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 삼각형의 세 변의 길이를 각 삼각비의 계수로 사용하는 문제는, 대변/인접변/빗변을 정확히 구분한 뒤 sinA=대변/빗변, cosA=인접변/빗변을 대입하면 분모가 항상 소거되는 경우가 많다.
[핵심 2] 3sinA+4cosA=3×(3/5)+4×(4/5)의 계산 결과가 정확히 5(빗변의 길이)가 되는 것은 우연이 아니라, 대변과 인접변 각각의 제곱합이 빗변의 제곱과 같다는 피타고라스 정리의 구조에서 비롯된다.

[자주 하는 실수]
sinA와 cosA를 구할 때 대변과 인접변을 반대로 사용하여 sinA=4/5, cosA=3/5로 잘못 대입하거나, 분수의 덧셈에서 통분을 잘못하여 25/10과 같이 틀린 값을 얻는다.

[검산]
sinA=3/5, cosA=4/5를 각각 대입하면 3×0.6+4×0.8=1.8+3.2=5.0으로 소수 계산으로도 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) tanA는 sinA/cosA로 정의된다.
2) sinA:cosA=3:4라는 것은 sinA=3k, cosA=4k(k는 양수인 비례상수)로 나타낼 수 있음을 의미한다.
3) 따라서 tanA=sinA/cosA=3k/4k=3/4이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] tanA=sinA/cosA로 정의되므로, sinA와 cosA의 비가 주어지면 비례상수(k)를 따로 구하지 않고도 비의 값을 그대로 tanA로 사용할 수 있다.
[핵심 2] 삼각비의 정의를 정확히 알고 있으면, 굳이 sin²A+cos²A=1을 이용해 각 값을 개별적으로 구하는 복잡한 과정 없이도 빠르게 답을 얻을 수 있다.

[자주 하는 실수]
tanA를 cosA/sinA로 반대로 기억해 답을 4/3으로 잘못 구하거나, 비 3:4를 굳이 sin²A+cos²A=1에 대입해 k를 구하는 불필요하게 복잡한 풀이를 시도하는 실수를 한다.

[검산]
sinA=3k, cosA=4k라 하면 sin²A+cos²A=9k²+16k²=25k²=1에서 k=1/5이므로 sinA=3/5, cosA=4/5이며, tanA=(3/5)/(4/5)=3/4로 정확히 일치한다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 여각 관계에 의해 sinA=cos(90°-A)가 항상 성립한다.
2) sin40°=cos(90°-40°)=cos50°이므로, sin40°=cos50°이다.
3) 따라서 cos(x)°=cos50°이므로 x=50이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 여각 관계 sinA=cos(90°-A)는 어떤 예각 A에 대해서도 성립하는 항등식이며, 이를 이용하면 사인 값을 코사인 값으로(또는 그 반대로) 바꾸어 표현할 수 있다.
[핵심 2] 이 문제처럼 여각 관계를 "각을 구하는 방향"으로 거꾸로 활용하면, sinA=cosB 꼴의 식이 주어졌을 때 A+B=90°라는 관계를 이용해 미지의 각을 빠르게 구할 수 있다.

[자주 하는 실수]
여각 관계를 적용하지 않고 sin40°와 cos40°가 같다고 착각하여 x=40으로 잘못 답하거나, 90°-40°을 계산할 때 40°를 그대로 x로 쓰는 실수를 한다.

[검산]
sin40°≈0.643이고 cos50°≈0.643으로 두 값이 실제로 일치하며, 40+50=90이므로 여각 관계가 성립함이 확인된다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) A=45°일 때 sin45°=√2/2, cos45°=√2/2이다.
2) sinA+cosA = √2/2 + √2/2이다.
3) 두 항의 분모가 같으므로 그대로 더하면 2×(√2/2) = √2이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] A=45°에서는 sin45°=cos45°이므로(직각이등변삼각형의 대칭성), 두 값을 더하면 항상 원래 값의 2배가 된다는 것을 기억하면 빠르게 계산할 수 있다.
[핵심 2] √2/2 + √2/2를 계산할 때는 분모가 같은 동류항을 더하듯이 계수(1+1=2)만 더하면 된다.
[핵심 3] 이 값(√2≈1.414)은 sinA, cosA 각각의 값(약 0.707)보다 크지만, 둘의 최댓값의 합인 2보다는 작다는 것도 직관적으로 확인할 수 있다.

[자주 하는 실수]
√2/2+√2/2을 계산할 때 분모까지 더해 √2/4로 잘못 계산하거나, 단순히 2√2로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
소수로 계산하면 sin45°+cos45°≈0.707+0.707=1.414이며, √2≈1.414로 정확히 일치한다.

정답: 5