보기를 눌러 바로 채점하고 해설을 확인하세요. 대표 문제 8개 · 슬탐생 문제은행 91문항
1.난이도 보통
이차함수 y=ax²의 그래프는 항상 어떤 점을 지나는가?
①지나는 공통점이 없다
②(0,1)
③(1,1)
④(1,0)
⑤원점 (0,0)
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정답: ⑤번
[풀이 과정] 1) y=ax²에 x=0을 대입하면 a값에 관계없이 항상 y=a×0²=0이 된다. 2) 즉 a가 어떤 값이든 x=0일 때 y=0이라는 결과는 변하지 않는다. 3) 따라서 y=ax² 꼴의 모든 이차함수 그래프는 반드시 원점 (0,0)을 지난다.
[핵심 정리] [핵심 1] y=a(x-p)²+q처럼 평행이동이 있는 경우와 달리, y=ax²(평행이동이 없는 기본형)은 항상 원점을 지난다는 것을 명확히 구분해야 한다. [핵심 2] a의 값이 무엇이든 이 성질은 변하지 않으므로, 그래프의 폭이나 방향과 무관하게 항상 성립하는 성질이다. [핵심 3] 이후 배우는 평행이동된 그래프의 꼭짓점을 구할 때 이 원점 성질이 기준점이 된다.
[자주 하는 실수] 특정 a값(예: a=2)일 때만 원점을 지난다고 오해하는 경우가 있는데, 모든 a값에서 항상 성립하는 성질이다.
[검산] a=1,2,-3 등 어떤 값을 대입해도 x=0에서 y=a×0=0이 되므로 원점을 지남이 항상 확인된다.
정답: 5
2.난이도 보통
이차함수 y=ax²의 그래프가 원점이 아닌 점에서 직선 y=4x와 만난다. 그 교점의 x좌표가 2일 때, a의 값은?
①2
②4
③1
④8
⑤0.5
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정답: ①번
[풀이 과정] 1) 교점의 x좌표가 2이므로, 직선 y=4x 위의 이 점의 y좌표는 4×2=8이다. 2) 이 점은 이차함수 y=ax² 위에도 있으므로 8=a×2²=4a이다. 3) 4a=8이므로 a=2이다.
[핵심 정리] [핵심 1] 두 그래프의 교점은 두 식을 모두 만족하는 점이므로, 한 식(직선)으로 좌표를 먼저 구한 후 다른 식(이차함수)에 대입해 미지수를 구할 수 있다. [핵심 2] y=ax²와 원점을 지나는 직선은 항상 원점에서 만나므로, 원점이 아닌 교점의 x좌표가 주어지면 그 값을 이용해 a를 구할 수 있다.
[자주 하는 실수] 교점의 y좌표를 직선의 식이 아닌 이차함수의 식에서 먼저 구하려다가 미지수 a가 있어 계산이 꼬이거나, 4×2를 계산할 때 실수한다.
[검산] a=2이면 y=2x²과 y=4x를 연립할 때 2x²=4x, 즉 2x(x-2)=0에서 x=0 또는 x=2이므로 원점이 아닌 교점의 x좌표가 2임이 정확히 확인된다.
정답: 1
3.난이도 보통
이차함수 y=-3x²의 그래프는 어느 방향으로 볼록한가?
①왼쪽으로 볼록
②볼록하지 않다
③오른쪽으로 볼록
④아래로 볼록
⑤위로 볼록
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정답: ⑤번
[풀이 과정] 1) y=ax²의 그래프 모양은 계수 a의 부호로 결정된다. 2) 주어진 식에서 a=-3으로 음수이다. 3) a<0이면 그래프는 위로 볼록한 포물선이 된다(마치 뒤집힌 우산 모양).
[핵심 정리] [핵심 1] a>0이면 아래로 볼록(컵 모양), a<0이면 위로 볼록(우산 모양)임을 정확히 암기해야 한다. [핵심 2] 부호만 보고 곧바로 판단하되, 계수의 크기(절댓값)는 볼록한 방향과 무관하고 폭에만 영향을 준다는 것도 함께 기억한다. [핵심 3] y=ax²과 y=-ax²의 그래프는 항상 x축에 대칭이라는 성질도 같이 알아두면 유용하다.
[자주 하는 실수] 부호와 방향을 반대로 외워 a<0인데 '아래로 볼록'이라고 답하는 실수가 흔하다.
[검산] a=-3<0이므로 위로 볼록이 맞다. 실제로 x=1일 때 y=-3, x=2일 때 y=-12로 x가 0에서 멀어질수록 y값이 점점 작아지는(아래로 내려가는) 모양이므로 위로 볼록함이 확인된다.
정답: 5
4.난이도 보통
이차함수 y=ax²의 그래프가 아래로 볼록할 때, a의 값의 범위는?
①a<0
②a≥0
③a≤0
④a>0
⑤a=0
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정답: ④번
[풀이 과정] 1) 이차함수 y=ax²의 그래프는 a의 부호에 따라 모양이 결정된다: a>0이면 아래로 볼록(∪ 모양), a<0이면 위로 볼록(∩ 모양)이다. 2) '아래로 볼록하다'는 것은 그래프가 ∪ 모양으로, 꼭짓점(원점)에서 최솟값을 가진다는 뜻이다. 3) 따라서 아래로 볼록하려면 a>0이어야 한다.
[핵심 정리] [핵심 1] a의 부호와 그래프의 볼록 방향은 이차함수 그래프의 가장 기본적인 성질이므로 반드시 암기해야 한다. [핵심 2] a=0인 경우는 이차함수의 정의(a≠0)에서 애초에 제외되므로, a≥0이나 a≤0처럼 등호를 포함시키는 것은 옳지 않다. [핵심 3] 아래로 볼록한 그래프는 y=x²을 대표적인 예로 떠올리면 쉽게 기억할 수 있다.
[자주 하는 실수] 위로 볼록(a<0)과 아래로 볼록(a>0)의 조건을 반대로 착각하거나, a=0을 포함시켜 a≥0으로 잘못 답하는 실수가 있다.
[검산] a=1(양수)일 때 y=x²의 그래프는 원점에서 최솟값 0을 가지는 전형적인 아래로 볼록한 그래프임이 확인된다.
정답: 4
5.난이도 보통
다음 중 이차함수 y=ax²(a≠0)의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?
①그래프는 항상 x축에 대하여 대칭이다
②a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭은 넓어진다
③그래프는 항상 두 개의 x절편을 갖는다
④a>0이면 그래프는 아래로 볼록하고 원점에서 최솟값을 갖는다
⑤a의 값이 다르면 그래프는 서로 다른 점에서만 만난다
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정답: ④번
[풀이 과정] 1) y=ax²의 그래프는 y축에 대하여 대칭이므로 x축에 대한 대칭이라는 설명은 옳지 않다. 2) a의 절댓값이 클수록 그래프의 폭은 오히려 좁아지므로 이 설명도 옳지 않으며, 그래프는 항상 원점 한 점만을 지나므로(x절편이 1개, 즉 원점 하나) 두 개의 x절편을 갖는다는 설명도 틀렸다. 3) a의 값이 달라도 모든 y=ax² 그래프는 원점을 공통으로 지나므로 서로 다른 점에서만 만난다는 설명도 옳지 않다. 반면 a>0이면 그래프가 아래로 볼록하며 꼭짓점인 원점에서 최솟값 0을 가지므로 이 설명이 옳다.
[핵심 정리] [핵심 1] y=ax²의 그래프는 항상 원점을 지나고 y축에 대해 대칭이며, a>0이면 아래로 볼록(최솟값 존재), a<0이면 위로 볼록(최댓값 존재)하다는 기본 성질을 정확히 기억해야 한다. [핵심 2] 여러 설명 중 옳은 것을 고르는 문제는 각 설명을 그래프의 기본 성질과 하나씩 대조하며 소거하는 방식으로 접근하는 것이 효율적이다.
[자주 하는 실수] 그래프의 대칭축을 x축으로 착각하거나, |a|가 클수록 폭이 넓어진다고 반대로 기억하는 실수를 한다.
[검산] a=1로 y=x²을 예로 들면 그래프는 원점을 지나고 아래로 볼록하며 원점(0,0)에서 최솟값 0을 가지므로, 옳은 설명과 정확히 일치한다.
정답: 4
6.난이도 보통
이차함수 y=2x²의 그래프 위의 두 점 A(1,2), B(4,32)를 지나는 직선의 기울기는?
[핵심 정리] [핵심 1] 이차함수 그래프 위의 두 점을 지나는 직선의 기울기는 일반적인 직선의 기울기 공식 (y₂-y₁)/(x₂-x₁)을 그대로 적용해 구할 수 있다. [핵심 2] 이차함수 y=ax²에서 x=t와 x=t+d인 두 점을 지나는 직선의 기울기는 a(2t+d)로 일반화할 수 있으며, 이 문제에서는 a=2, t=1, d=3이므로 2×(2×1+3)=10으로도 검산할 수 있다.
[자주 하는 실수] 두 점의 좌표를 구할 때 y=ax²에 x값을 대입하는 과정에서 제곱을 빠뜨려 y값을 잘못 계산하거나, 기울기 공식에서 분자와 분모를 반대로 놓는다.
[검산] a(2t+d)=2×(2×1+3)=2×5=10으로 직접 대입한 결과와 정확히 일치한다.
정답: 3
7.난이도 보통
이차함수 y=3x²의 그래프와 직선 y=12가 만나는 두 점의 x좌표의 곱은?
①4
②-4
③2
④-2
⑤8
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정답: ②번
[풀이 과정] 1) 두 그래프가 만나는 점의 x좌표는 3x²=12를 만족해야 한다. 2) 정리하면 x²=4이므로 x=2 또는 x=-2이다. 3) 두 x좌표의 곱은 2×(-2)=-4이다.
[핵심 정리] [핵심 1] 이차함수 y=ax²와 수평선 y=k(k>0인 경우)의 교점은 항상 원점을 기준으로 대칭인 두 점이 되므로, 두 x좌표는 부호만 반대인 값이다. [핵심 2] 부호만 반대인 두 수의 곱은 항상 음수(또는 0)가 되므로, 계산 전에 답의 부호를 미리 예측할 수 있다.
[자주 하는 실수] x²=4를 풀 때 양수 해 x=2만 구하고 음수 해를 놓쳐 곱을 계산하지 못하거나, 곱을 4로 잘못 계산하는 실수를 한다.
[검산] x=2, x=-2를 각각 y=3x²에 대입하면 3×4=12로 모두 y=12를 만족하므로 두 점 모두 조건에 맞는 교점이다.
정답: 2
8.난이도 보통
이차함수 y=ax²와 y=bx²의 그래프가 있다. 두 그래프의 x=3에서의 함숫값의 비가 2:5일 때, a:b는?
[핵심 정리] [핵심 1] 같은 x값에서 두 이차함수 y=ax², y=bx²의 함숫값의 비는 ax²:bx²=a:b로, x²이 공통 인수로 소거되어 항상 계수의 비와 같아진다. [핵심 2] 이는 하나의 함수 위의 두 점(서로 다른 x)의 y좌표의 비를 구하는 문제와는 다른 상황이므로, 무엇이 고정되고 무엇이 변하는지 구분해야 한다.
[자주 하는 실수] 9a:9b를 계산할 때 9를 약분하지 않고 그대로 81a:81b처럼 잘못 계산하거나, a:b와 b:a를 혼동해 비의 순서를 반대로 답하는 실수를 한다.
[검산] a=2, b=5로 예를 들면 x=3에서 함숫값은 각각 18, 45이고, 그 비는 18:45=2:5로 조건과 정확히 일치한다.