중3 수학 제곱근과 실수 예상문제

[풀이 과정]
1) ①, ②, ③, ⑤는 모두 제곱근의 정의와 성질에 대한 옳은 설명이다.
2) ④는 틀린 설명인데, a²의 제곱근은 항상 a가 아니라 항상 |a|이다. a가 음수이면 √(a²)=-a(양수)가 되어 a와 다른 값이 되기 때문이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] √(a²)=|a|라는 성질은 a의 부호에 관계없이 항상 성립하는 매우 중요한 공식이며, a가 양수일 때만 √(a²)=a가 성립하고 a가 음수일 때는 √(a²)=-a가 된다.
[핵심 2] 제곱근이 자기 자신인 수(√x=x)는 방정식 x²=x, 즉 x(x-1)=0을 풀어 x=0 또는 x=1로 정확히 두 개뿐임을 확인할 수 있다.

[자주 하는 실수]
√(a²)=a라는 성질이 a가 음수일 때는 성립하지 않는다는 것을 놓치고, a의 부호와 관계없이 항상 성립한다고 착각해 ④를 옳은 설명으로 잘못 판단하는 실수를 한다.

[검산]
예를 들어 a=-3이면 a²=9이고 √9=3인데 이는 a(-3)가 아니라 -a(3)이므로, ④의 "항상 a이다"라는 설명은 a가 음수일 때 명백히 틀렸음이 구체적인 예로 확인된다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 어떤 자연수의 제곱근이 자연수가 되려면, 그 수 자체가 완전제곱수(어떤 자연수의 제곱)여야 한다.
2) 1부터 50까지의 완전제곱수를 순서대로 나열하면 1²=1, 2²=4, 3²=9, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49이며, 8²=64는 50을 넘으므로 제외한다.
3) 따라서 1부터 50까지의 자연수 중 완전제곱수는 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49의 7개이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 어떤 범위 안의 완전제곱수의 개수를 셀 때는, 1²부터 순서대로 제곱해 나가며 범위를 넘지 않는 마지막 수까지 세는 것이 가장 확실한 방법이다.
[핵심 2] 7²=49는 50 이하이지만 8²=64는 50을 초과하므로, 범위의 경계값을 정확히 확인하는 것이 실수를 줄이는 핵심이다.
[핵심 3] 이 개념은 이후 "√(45x)가 자연수가 되는 조건" 같은 문제에서 완전제곱수를 만드는 원리와 직접 연결된다.

[자주 하는 실수]
8²=64도 50 이하라고 착각해서 8개로 잘못 세거나, 1²=1을 완전제곱수에서 빠뜨리는 실수가 있다.

[검산]
7²=49≤50이고 8²=64>50이므로, 1²부터 7²까지 총 7개가 정확한 개수이다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 자연수 n에 대해 n²<n²+1<(n+1)²=n²+2n+1이 항상 성립한다(n≥1이므로 2n+1>1).
2) 즉 n²+1은 연속한 두 완전제곱수 n²과 (n+1)² 사이에 있으므로, n²+1 자신은 완전제곱수가 될 수 없다.
3) 따라서 √(n²+1)은 1부터 10까지의 모든 n에 대해 항상 무리수이므로, 조건을 만족하는 n의 개수는 10개(전부)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 어떤 자연수가 연속한 두 완전제곱수 사이(즉, n²과 (n+1)² 사이, 양 끝 제외)에 있으면 그 수는 완전제곱수가 아니므로 그 제곱근은 항상 무리수이다.
[핵심 2] n²+1은 n²보다 1만 크고, (n+1)²과의 차이는 2n으로 n이 커질수록 벌어지므로, 모든 자연수 n에 대해 예외 없이 n²과 (n+1)² 사이에 낀다는 것이 이 문제의 핵심 통찰이다.

[자주 하는 실수]
몇 개의 n값(예: n=1, n=2)만 직접 대입해 무리수임을 확인한 뒤 전체 규칙이라고 성급히 일반화하지 않고, 반대로 특정 n에서 예외가 있을 것이라고 의심해 일일이 10개를 전부 계산하려다 시간을 낭비한다.

[검산]
n=3일 때 3²+1=10이며, 3²=9<10<16=4²이므로 10은 완전제곱수가 아니어서 √10은 무리수이다. n=10일 때도 10²+1=101이며 100<101<121이므로 마찬가지로 무리수임이 확인된다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 정사각형의 넓이는 (한 변의 길이)²이므로, 한 변의 길이를 x라 하면 x²=45이다.
2) x>0이므로 x=√45이다.
3) √45=√(9×5)=√9×√5=3√5이므로, 한 변의 길이는 3√5cm이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 넓이가 주어진 정사각형의 한 변의 길이를 구할 때는, 넓이의 제곱근을 구한 뒤 반드시 근호 안의 수를 완전제곱수와 나머지로 분해하여 가장 간단한 형태로 정리해야 한다.
[핵심 2] √45처럼 근호 안에 45=9×5의 형태로 완전제곱수(9)가 포함되어 있으면, 이를 근호 밖으로 꺼내 3√5와 같이 더 간단한 형태로 나타낼 수 있다.
[핵심 3] 답을 √45의 형태로 그대로 두면 틀린 것은 아니지만, 관례적으로 근호 안의 수를 가장 작게 만든 3√5 형태로 답하는 것이 표준적인 방식이다.

[자주 하는 실수]
√45를 3√5로 간단히 하지 않고 그대로 답하거나, 넓이 45를 반으로 나누어 한 변의 길이를 22.5로 잘못 계산하는 실수가 있다.

[검산]
(3√5)²=9×5=45로, 이 값의 제곱이 정확히 원래 넓이 45와 일치함이 확인된다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) 선분 AB의 길이는 피타고라스 정리에 의해 √(a²+4²)=√(a²+16)이다.
2) 이 값이 자연수가 되려면 a²+16이 완전제곱수여야 한다.
3) a=1,2일 때 각각 17, 20으로 완전제곱수가 아니며, a=3일 때 9+16=25=5²로 완전제곱수가 되므로 조건을 만족하는 가장 작은 자연수는 a=3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 좌표평면 위 두 점 사이의 거리가 자연수가 되려면, 피타고라스 정리로 얻어지는 식(a²+16)이 완전제곱수가 되어야 한다는 조건으로 바꾸어 생각해야 한다.
[핵심 2] 이 문제는 3-4-5 피타고라스 수(3²+4²=5²)를 활용하는 전형적인 예로, 한 변이 4로 고정되어 있으므로 나머지 변이 3일 때 빗변이 5가 되는 관계를 이용한다.

[자주 하는 실수]
a의 작은 값부터 하나씩 대입해 보지 않고 무작정 3-4-5를 떠올려 답만 3이라고 추측하거나, a²+16이 완전제곱수인지 실제로 확인하지 않고 넘어간다.

[검산]
a=3일 때 AB=√(9+16)=√25=5로 자연수이며, a=1(√17), a=2(√20)은 모두 무리수이므로 a=3이 조건을 만족하는 가장 작은 자연수임이 확인된다.

정답: 1

[풀이 과정]
1) √10의 값을 어림하기 위해, 3²=9와 4²=16을 비교하면 9<10<16이므로 3<√10<4이다.
2) 즉, √10은 약 3.16 정도의 값을 가지며, 2보다는 크고 4보다는 작다.
3) 따라서 2와 √10(≈3.16) 사이에 있는 자연수는 3이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 무리수의 대략적인 크기를 파악할 때는 근접한 두 완전제곱수 사이에 있음을 이용해 범위를 좁히는 것이 가장 기본적인 방법이다.
[핵심 2] 2 자체는 "2와 √10 사이"라는 조건에서 경계값이므로 포함되지 않으며, √10(약 3.16)도 자연수가 아니므로 포함되지 않는다는 것에 유의해야 한다.
[핵심 3] 이런 문제는 제곱근의 어림(√200, √50 등 가장 가까운 정수 찾기)과 같은 원리를 사용하지만, 범위 안의 자연수를 찾는다는 점에서 응용된 형태이다.

[자주 하는 실수]
√10을 정확히 계산하려 하거나, 3²=9<10이라는 비교 없이 감으로 어림하다가 틀린 자연수를 답하는 실수가 있다.

[검산]
3²=9<10이고 4²=16>10이므로 3<√10<4가 성립하며, 이 범위 안에서 2보다 큰 자연수는 3뿐이다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) √n의 정수 부분이 5라는 것은 5≤√n<6을 의미한다.
2) 이 부등식의 각 변을 제곱하면 25≤n<36이 된다.
3) 이를 만족하는 자연수 n은 25, 26, 27, …, 35로 모두 11개이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 제곱근의 정수 부분이 어떤 값 k가 된다는 조건은 k≤√n<k+1이라는 부등식으로 정확히 바꾸어 표현할 수 있으며, 이 부등식의 양 끝을 제곱하면 n의 범위를 구할 수 있다.
[핵심 2] 부등식으로 표현된 자연수의 개수를 셀 때는 양 끝값의 포함 여부(이상/미만)를 정확히 지켜야 하며, 이 문제에서는 25는 포함되지만 36은 포함되지 않는다는 점에 유의해야 한다.

[자주 하는 실수]
부등식을 5<√n<6(등호 없이)으로 잘못 세워 25를 제외하거나, 36을 포함시켜 25부터 36까지 12개로 잘못 세는 실수를 한다.

[검산]
n=25일 때 √25=5로 정수 부분이 정확히 5이고, n=35일 때 √35≈5.9로 정수 부분이 5이며, n=36일 때 √36=6으로 정수 부분이 6이 되어 범위에서 제외되므로, 25부터 35까지의 11개가 정확하다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) 180을 소인수분해하면 180=2²×3²×5이다.
2) √(180n)이 자연수가 되려면 180n이 완전제곱수여야 하는데, 180=2²×3²×5에서 지수가 홀수인 소인수는 5뿐이다.
3) 따라서 n은 최소한 5를 인수로 가져야 하며, n=5일 때 180×5=900=30²으로 완전제곱수가 되므로 최솟값은 5이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] √(N×n)이 자연수가 되도록 하는 자연수 n의 최솟값을 구할 때는, N을 소인수분해하여 지수가 홀수인 소인수들을 찾아 그 곱을 n의 최솟값으로 정하는 것이 표준적인 방법이다.
[핵심 2] 이는 완전제곱수가 되려면 모든 소인수의 지수가 짝수여야 한다는 성질을 활용한 것이다.
[핵심 3] 180=2²×3²×5에서 2와 3은 이미 지수가 짝수(2)이므로 n에 포함될 필요가 없고, 5만 지수가 1(홀수)이므로 n의 최솟값에 반영된다.

[자주 하는 실수]
180의 소인수분해를 잘못하거나, 이미 지수가 짝수인 소인수(2, 3)까지 n에 포함시켜 더 큰 값을 답으로 고르는 실수가 있다.

[검산]
180×5=900이고 √900=30으로 자연수가 되므로 n=5가 조건을 만족하는 최솟값임이 확인된다.

정답: 2