중3 수학 y=a(x-p)²+q의 그래프 예상문제

[풀이 과정]
1) 주어진 식은 y=a(x-p)²+q 꼴의 이차함수이며, a=-1/40<0이므로 이 그래프는 위로 볼록(최댓값을 가짐)하다.
2) 꼭짓점의 좌표는 (p, q)=(20, 10)이다.
3) 위로 볼록한 그래프의 꼭짓점의 y좌표가 최댓값이므로, 다리의 최고 높이는 10m이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] y=a(x-p)²+q 꼴로 표현된 실생활 상황(다리, 분수, 포물선 모양의 구조물 등)에서 최고 높이나 최저 지점은 항상 꼭짓점의 y좌표(q)와 직접 연결되므로, 식의 형태만 보고도 그래프를 그리지 않고 바로 답을 구할 수 있다.
[핵심 2] a의 부호가 음수이면 위로 볼록(최댓값 존재), 양수이면 아래로 볼록(최솟값 존재)하다는 것을 실생활 상황(다리의 아치, 그릇의 단면 등)에 적용해 그 상황에 맞는 그래프 모양을 먼저 판단하는 것이 중요하다.

[자주 하는 실수]
꼭짓점의 y좌표 q=10을 최고 높이로 바로 연결짓지 못하고 x=20에서의 함숫값을 처음부터 다시 계산하려다 혼동하거나, a의 부호를 보지 않고 q값이 항상 최댓값이라고 잘못 일반화하는 실수를 한다.

[검산]
x=20일 때 y=-1/40×0+10=10으로 최고 높이가 10m임이 직접 계산으로도 확인되며, x=20에서 멀어질수록 (x-20)²이 커져 y값이 10보다 작아지므로 10이 최댓값임을 알 수 있다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 원래 그래프 y=2(x-1)²+3의 꼭짓점은 (1, 3)이다.
2) x축에 대하여 대칭이동하면 y좌표의 부호만 바뀌므로(x는 그대로, y는 -y), 대칭이동한 그래프의 식은 -y=2(x-1)²+3, 즉 y=-2(x-1)²-3이다.
3) 따라서 대칭이동한 그래프의 꼭짓점은 (1, -3)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] x축 대칭이동은 y를 -y로 바꾸는 것이므로, 원래 그래프의 꼭짓점 (p, q)는 대칭이동 후 (p, -q)가 되며, 이차항의 계수 a도 부호가 반대(-a)로 바뀐다.
[핵심 2] 이는 y축 대칭이동(x를 -x로 바꿔 꼭짓점이 (-p, q)가 됨)이나 원점 대칭이동(x, y 모두 부호가 바뀌어 꼭짓점이 (-p, -q)가 됨)과는 다른 변환이므로, 세 가지 대칭이동을 정확히 구분해야 한다.

[자주 하는 실수]
x축 대칭이동을 y축 대칭이동과 혼동해 꼭짓점의 x좌표를 -1로 잘못 바꾸거나, 이차항의 계수 a의 부호를 바꾸는 것을 놓쳐 그래프의 볼록한 방향을 잘못 판단하는 실수를 한다.

[검산]
원래 그래프에서 x=1일 때 y=3(꼭짓점)이며, x축 대칭이동한 그래프에서 x=1일 때 y=-2(0)²-3=-3으로, 이는 원래 y값(3)의 부호만 반대가 되어 대칭 관계가 확인된다.

정답: 3

[풀이 과정]
1) 이 함수의 꼭짓점은 (3, -2)이며, 꼭짓점의 y좌표가 -2로 음수이다.
2) 그래프가 x축과 전혀 만나지 않으려면, 꼭짓점이 그래프 전체에서 가장 높은 점(최댓값)이어야 하며 그 최댓값이 음수여야 한다.
3) 꼭짓점이 최댓값이 되려면 그래프가 위로 볼록해야 하므로 a<0이어야 한다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 꼭짓점의 y좌표가 음수(-2)일 때, 그래프가 x축과 만나지 않으려면 그래프 전체가 x축 아래에 있어야 하며, 이는 꼭짓점이 최댓값(위로 볼록, a<0)일 때만 가능하다.
[핵심 2] 반대로 a>0(아래로 볼록)이면 꼭짓점이 최솟값이 되어, 그래프가 아래에서 위로 뻗어나가면서 반드시 x축과 두 점에서 만나게 된다.
[핵심 3] 이런 유형은 꼭짓점의 y좌표 부호와 그래프의 볼록한 방향(a의 부호)을 함께 고려해야 정확히 판단할 수 있다는 것이 핵심이다.

[자주 하는 실수]
꼭짓점의 y좌표가 음수라는 것만 보고 a의 부호를 고려하지 않거나, a>0과 a<0의 그래프 모양을 반대로 착각하는 실수가 있다.

[검산]
a=-1일 때 y=-(x-3)²-2는 최댓값 -2를 가지므로 그래프 전체가 x축 아래에 있어 x축과 만나지 않으며, a=1일 때는 최솟값 -2에서 위로 뻗어나가 x축과 두 점에서 만난다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) 이차함수 y=(x-4)²-9의 꼭짓점은 (4, -9)이다.
2) 이 점을 x축 방향으로 -1, y축 방향으로 2만큼 평행이동하면, x좌표는 4+(-1)=3, y좌표는 -9+2=-7이 된다.
3) 따라서 이동한 그래프의 꼭짓점의 좌표는 (3, -7)이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 점의 평행이동은 이차함수 그래프뿐 아니라 좌표평면 위의 모든 점에 공통으로 적용되는 기본 원리(x좌표에 이동량 더하기, y좌표에 이동량 더하기)이다.
[핵심 2] 원래 함수식(x-4)²-9)에서 꼭짓점을 먼저 정확히 읽어내는 것이 이 문제의 첫 단계이며, 이를 틀리면 이후 계산이 모두 어긋난다.
[핵심 3] 이동량이 음수(-1)인 경우에도 단순히 원래 좌표에 그대로 더하면 되므로, 부호에 유의해서 덧셈을 정확히 수행해야 한다.

[자주 하는 실수]
원래 꼭짓점을 (4,-9)가 아니라 (-4,-9)나 (4,9)처럼 부호를 잘못 읽거나, 이동량을 빼야 한다고 착각해 4-(-1)=5로 잘못 계산하는 실수가 있다.

[검산]
4+(-1)=3, -9+2=-7로 정확히 계산되어 이동한 꼭짓점은 (3,-7)이다.

정답: 4

[풀이 과정]
1) y=3(x+1)²-2의 꼭짓점은 (-1, -2)이고, y=3(x-2)²+5의 꼭짓점은 (2, 5)이다.
2) x축 방향의 이동량은 두 꼭짓점의 x좌표의 차이이므로 2-(-1)=3이다.
3) y축 방향의 이동량은 두 꼭짓점의 y좌표의 차이이므로 5-(-2)=7이다. 따라서 x축 방향으로 3, y축 방향으로 7만큼 평행이동한 것이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 두 이차함수의 이차항 계수(a=3)가 서로 같을 때만 순수한 평행이동 관계가 성립하며, 계수가 다르면 평행이동만으로는 겹칠 수 없다.
[핵심 2] 평행이동량은 각 그래프의 꼭짓점 좌표를 비교하여, (나중 꼭짓점)-(처음 꼭짓점)으로 x축, y축 방향을 각각 계산하면 구할 수 있다.
[핵심 3] 이 유형은 두 그래프가 주어졌을 때 이동량을 역으로 추적하는 문제로, 각 그래프의 꼭짓점을 정확히 읽어내는 것이 첫 단계이다.

[자주 하는 실수]
이동 방향을 반대로(처음-나중) 계산하거나, x좌표와 y좌표의 이동량을 서로 바꿔서 답하는 실수가 있다.

[검산]
꼭짓점 (-1,-2)를 x축으로 3, y축으로 7만큼 이동하면 (-1+3, -2+7)=(2, 5)로, 목표 그래프의 꼭짓점과 정확히 일치한다.

정답: 5

[풀이 과정]
1) x=5, y=15를 대입하면 15=a×(5-2)²-3이다.
2) 15=a×9-3이므로 9a=18이다.
3) a=2이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이차함수 y=a(x-p)²+q의 꼭짓점이 (p,q)로 이미 주어져 있을 때, 그래프가 지나는 다른 한 점의 좌표를 대입하면 계수 a를 바로 구할 수 있다.
[핵심 2] 대입 후 얻은 일차방정식을 풀 때는 상수항 q를 먼저 이항한 후 계수 a에 대해 정리하는 순서로 계산하면 실수를 줄일 수 있다.

[자주 하는 실수]
(5-2)²을 5²-2²으로 잘못 전개(완전제곱식 전개 공식을 무시)하거나, -3을 이항할 때 부호를 잘못 처리한다.

[검산]
a=2이면 y=2(5-2)²-3=2×9-3=18-3=15로 점 (5,15)를 정확히 지난다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) y=3(x-2)²+1의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동하면 x 대신 -x를 대입한 y=3(-x-2)²+1=3(x+2)²+1이 된다.
2) 두 그래프가 만나는 점에서는 3(x-2)²+1=3(x+2)²+1이 성립하며, 양변에서 1을 빼고 3으로 나누면 (x-2)²=(x+2)²이다.
3) 전개하면 x²-4x+4=x²+4x+4에서 -8x=0이므로 x=0이며, 이때 y=3(0-2)²+1=3×4+1=13이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 어떤 그래프와 그것을 y축에 대하여 대칭이동한 그래프는 항상 y축(x=0) 위에서 만나거나 만나지 않는데, a의 값이 같은 두 포물선의 경우 반드시 x=0에서 만난다는 것을 대수적으로 확인할 수 있다.
[핵심 2] y축에 대한 대칭이동은 원래 함수의 x에 -x를 대입하는 것과 같으며, 이렇게 만든 두 식을 연립하여 같다고 놓으면 교점의 x좌표를 구할 수 있고, 이는 실제로 원래 그래프에서 x=0일 때의 함숫값과 같다는 것도 알 수 있다.

[자주 하는 실수]
y축 대칭이동을 할 때 x 대신 -x를 대입하지 않고 y 부호를 바꾸는 것으로 착각(이는 x축 대칭)하여 잘못된 식을 세우거나, 두 식을 연립하는 과정에서 (x-2)²=(x+2)²을 풀 때 양변을 그대로 같다고 놓고 x-2=x+2로 잘못 단순화하는 실수를 한다.

[검산]
x=0일 때 원래 그래프는 y=3(0-2)²+1=13이고, 대칭이동한 그래프도 y=3(0+2)²+1=13으로 두 값이 정확히 일치하여 (0,13)에서 만남이 확인된다.

정답: 2

[풀이 과정]
1) x절편을 구하려면 (x-1)²-4=0을 풀면 되므로, (x-1)²=4에서 x=1±2, 즉 x=-1 또는 x=3이다.
2) 두 x절편 사이의 거리(밑변)는 3-(-1)=4이다.
3) 꼭짓점은 (1,-4)이므로 x축까지의 거리(높이)는 |-4|=4이다. 따라서 삼각형의 넓이는 (1/2)×4×4=8이다.

[핵심 정리]
[핵심 1] 이차함수의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분을 근사적으로 다루는 문제에서, 두 x절편과 꼭짓점을 세 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는 (1/2)×(두 x절편 사이의 거리)×(꼭짓점의 y좌표의 절댓값)으로 계산할 수 있다.
[핵심 2] 이 삼각형은 실제 포물선 아래의 넓이(곡선으로 둘러싸인 부분)와는 다른, 세 점을 직선으로 연결한 삼각형의 넓이임에 유의해야 한다.

[자주 하는 실수]
(x-1)²=4를 풀 때 x-1=2만 고려하고 x-1=-2인 경우를 놓쳐 x절편을 하나만 구하거나, 높이를 구할 때 꼭짓점의 y좌표 부호(-4)를 무시하지 않고 그대로 음수 넓이를 계산한다.

[검산]
두 x절편 -1과 3의 중점은 1로 꼭짓점의 x좌표와 일치하며, 이는 포물선이 축(x=1)에 대해 대칭이라는 성질과 일치하여 계산의 신뢰성을 뒷받침한다.

정답: 2