보기를 눌러 바로 채점하고 해설을 확인하세요. 대표 문제 8개 · 슬탐생 문제은행 90문항
1.난이도 보통
이차함수 y=x²-2x+-1의 그래프의 축의 방정식은 x=k이다. k의 값은?
①1
②-1
③0
④2
⑤3
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정답: ①번
[개념] 이차함수의 일반형은 완전제곱식으로 고치면 축과 꼭짓점을 정확히 읽을 수 있다. y=x²-2px+(p²+q)는 (x-p)²+q이고, y=-x²+2px+(q-p²)는 -(x-p)²+q이다.
[풀이] 문제의 식을 위 원리에 따라 정리하거나 필요한 x값을 직접 대입하면 요구한 값은 1이다. 축과 극값은 꼭짓점에서, y절편은 x=0에서 확인한다.
[주의] x의 계수 부호를 보고 축의 부호를 반대로 쓰는 실수를 피해야 한다. 완전제곱식으로 한 번 확인하면 부호 오류를 줄일 수 있다.
[검산] 구한 값을 원래 식에 대입해 같은 결과가 나오는지 확인한다.
정답: 1
[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 직접 대입과 역연산으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 자료 전체와 계산 결과의 일관성으로 확인한다. 마지막에는 부호와 단위, 문제에서 요구한 조건을 하나씩 다시 대조한다. 정답: 1
2.난이도 보통
이차함수 y=x²-4x+7의 그래프 위의 두 점 P(1, f(1)), Q(3, f(3))에 대하여, f(1)=f(3)이 성립함을 확인하고 그 공통값을 구하면?
①3
②7
③1
④4
⑤10
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정답: ④번
[풀이 과정] 1) 이 함수의 축은 x=-(-4)/(2×1)=2이며, x=1과 x=3은 모두 축(x=2)으로부터 1만큼 떨어져 있으므로 대칭인 위치이다. 2) f(1)=1²-4×1+7=1-4+7=4이다. 3) f(3)=3²-4×3+7=9-12+7=4이다. 따라서 f(1)=f(3)=4로 두 함숫값이 실제로 같음이 확인된다.
[핵심 정리] [핵심 1] 축에 대해 대칭인 두 x값에서는 이차함수의 함숫값이 항상 같다는 성질은, 포물선이 축을 기준으로 좌우대칭이라는 그래프의 기본 성질에서 직접 나온다. [핵심 2] 이 문제는 공식을 암기하기보다 직접 두 함숫값을 계산하여 대칭성을 눈으로 확인하는 기초 확인 문제로, 이후 더 복잡한 대칭 활용 문제의 바탕이 된다.
[자주 하는 실수] 함숫값을 계산할 때 부호를 놓쳐 f(1)=1-4+7을 1+4+7과 같이 잘못 계산하거나, 축이 x=2라는 것을 확인하지 않고 임의로 두 점이 대칭이라고 가정한다.
[검산] 꼭짓점 형태로 바꾸면 y=(x-2)²+3이며, x=1일 때 (1-2)²+3=1+3=4, x=3일 때 (3-2)²+3=1+3=4로 계산 결과가 다시 한 번 정확히 확인된다.
정답: 4
3.난이도 보통
이차함수 y=-x²+4x+k의 최댓값이 7일 때, k의 값은?
①7
②-3
③3
④11
⑤4
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정답: ③번
[풀이 과정] 1) 최댓값을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형한다: y=-x²+4x+k=-(x²-4x)+k=-(x-2)²+4+k이다. 2) 이 함수의 최댓값은 꼭짓점의 y좌표인 4+k이다. 3) 최댓값이 7이므로 4+k=7이며, 따라서 k=3이다.
[핵심 정리] [핵심 1] y=ax²+bx+c 형태에서 최댓값이나 최솟값을 구할 때는 먼저 완전제곱식 y=a(x-p)²+q 형태로 변형하여 꼭짓점의 y좌표를 찾아야 한다. [핵심 2] 미지수 k가 상수항에 있을 때, 완전제곱식으로 변형한 뒤 최댓값 식(4+k)을 세우고 주어진 최댓값(7)과 같다고 놓아 방정식을 풀면 k를 구할 수 있다. [핵심 3] 이 유형은 이차함수의 표준형 변형과 방정식 풀이가 결합된 문제로, 변형 과정에서 상수항의 처리가 정확해야 올바른 k값을 구할 수 있다.
[자주 하는 실수] 완전제곱식으로 변형할 때 상수항 k를 빠뜨리거나, -(x-2)²+4+k에서 +4를 놓치고 k=7로 잘못 계산하는 실수가 있다.
[검산] k=3일 때 함수는 y=-x²+4x+3=-(x-2)²+7이며, x=2에서 최댓값 7을 가지므로 조건이 정확히 성립한다.
정답: 3
4.난이도 보통
이차함수 y=x²-4x+3의 꼭짓점의 좌표는?
①(2, -1)
②(-2, -1)
③(-2, 1)
④(2, 1)
⑤(4, 3)
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정답: ①번
[풀이 과정] 1) 앞서 완전제곱식으로 변형하면 y=x²-4x+3=(x-2)²-1이 된다. 2) y=a(x-p)²+q 꼴에서 꼭짓점은 (p,q)이므로 p=2, q=-1이다. 3) 따라서 꼭짓점의 좌표는 (2,-1)이다.
[핵심 정리] [핵심 1] 일반형에서 바로 꼭짓점을 찾으려 하지 말고, 반드시 완전제곱식으로 변형하는 중간 단계를 거쳐야 실수가 줄어든다. [핵심 2] 공식 x=-b/2a를 알고 있다면 x=-(-4)/(2×1)=2로 더 빠르게 x좌표를 구할 수도 있다(검산용으로 활용 가능). [핵심 3] y좌표는 구한 x좌표를 원래 식에 다시 대입해서 구해도 된다: x=2일 때 y=4-8+3=-1.
[자주 하는 실수] 완전제곱식 변형 과정에서 부호 실수를 하면 꼭짓점도 함께 틀리게 되므로, 이전 단계의 계산을 다시 한 번 검산하는 것이 중요하다.
[검산] 공식으로 검산: x=-b/2a=-(-4)/2=2, y=f(2)=4-8+3=-1이므로 꼭짓점 (2,-1)과 정확히 일치한다.
정답: 1
5.난이도 보통
이차함수 y=2x²-8x+9의 최솟값은?
①9
②2
③1
④8
⑤-1
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정답: ③번
[풀이 과정] 1) 앞서 완전제곱식으로 변형하면 y=2(x-2)²+1이다. 2) a=2>0이므로 그래프는 아래로 볼록하고 꼭짓점에서 최솟값을 갖는다. 3) 꼭짓점의 y좌표가 1이므로 최솟값은 1이다(x=2일 때).
[핵심 정리] [핵심 1] 상수항 9를 그대로 최솟값이라 답하지 않도록 주의한다 — 반드시 완전제곱식 변형 후의 q값을 확인해야 한다. [핵심 2] 계수 a=2가 1이 아니어도 '최솟값=q'라는 규칙은 그대로 적용된다는 것을 기억한다. [핵심 3] x=2를 원래 식에 대입해 결과가 같은지 검산하는 습관을 들인다.
[자주 하는 실수] 상수항 9를 최솟값으로 착각하는 실수가 흔하다.
[검산] x=2일 때 y=2×4-16+9=8-16+9=1로, 완전제곱식으로 구한 최솟값과 정확히 일치한다.
정답: 3
6.난이도 보통
이차함수 y=x²-4x+3의 최솟값은?
①-3
②-2
③0
④-1
⑤1
정답·해설 보기
정답: ④번
[개념] 이차함수의 일반형은 완전제곱식으로 고치면 축과 꼭짓점을 정확히 읽을 수 있다. y=x²-2px+(p²+q)는 (x-p)²+q이고, y=-x²+2px+(q-p²)는 -(x-p)²+q이다.
[풀이] 문제의 식을 위 원리에 따라 정리하거나 필요한 x값을 직접 대입하면 요구한 값은 -1이다. 축과 극값은 꼭짓점에서, y절편은 x=0에서 확인한다.
[주의] x의 계수 부호를 보고 축의 부호를 반대로 쓰는 실수를 피해야 한다. 완전제곱식으로 한 번 확인하면 부호 오류를 줄일 수 있다.
[검산] 구한 값을 원래 식에 대입해 같은 결과가 나오는지 확인한다.
정답: 4
[검산 확장] 사용한 성질의 적용 조건을 다시 확인한 뒤, 구한 값을 원래 문제에 대입해 검산한다. 수식은 직접 대입과 역연산으로, 도형은 각과 길이의 관계로, 통계는 자료 전체와 계산 결과의 일관성으로 확인한다. 마지막에는 부호와 단위, 문제에서 요구한 조건을 하나씩 다시 대조한다. 정답: 4
[풀이 과정] 1) x절편이 1과 4이므로 그래프의 식은 y=-2(x-1)(x-4)로 나타낼 수 있다. 2) 이를 전개하면 y=-2(x²-5x+4)=-2x²+10x-8이다. 3) y절편은 x=0을 대입한 값이므로 y=-8이다.
[핵심 정리] [핵심 1] 두 x절편 p, q와 이차항의 계수 a가 주어지면, 그래프의 식을 y=a(x-p)(x-q)의 인수분해된 형태로 바로 나타낼 수 있다. [핵심 2] y절편을 구할 때는 인수분해된 식 y=a(x-p)(x-q)에 굳이 전개하지 않고 x=0을 바로 대입해 y=a×(-p)×(-q)=apq로 빠르게 계산할 수도 있다(이 문제에서는 -2×(-1)×(-4)=-8).
[자주 하는 실수] 인수분해된 식을 세울 때 부호를 잘못 처리해 y=-2(x+1)(x+4)로 잘못 세우거나, 전개 과정에서 계수 계산 실수를 한다.
이차함수 y=ax²+bx+c의 그래프가 x축과 두 점 (1,0), (-3,0)에서 만나고 a=-1일 때, 이 그래프의 최댓값은?
①1
②3
③4
④5
⑤9
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정답: ③번
[풀이 과정] 1) 두 x절편이 1과 -3이므로, 그래프의 식은 y=-1×(x-1)(x+3)으로 나타낼 수 있다. 2) 이를 전개하면 y=-(x²+2x-3)=-x²-2x+3이다. 3) 완전제곱식으로 변형하면 y=-(x+1)²+4이므로, 최댓값은 4이다.
[핵심 정리] [핵심 1] 두 x절편과 이차항의 계수(a)가 주어지면, 그래프의 식을 y=a(x-x절편1)(x-x절편2) 형태로 바로 세울 수 있으며 이를 전개하고 완전제곱식으로 변형하면 꼭짓점(최댓값 또는 최솟값)을 구할 수 있다. [핵심 2] a<0이면 그래프는 위로 볼록하므로 꼭짓점에서 최댓값을 가지며, 이 최댓값은 두 x절편의 중점을 축으로 하는 완전제곱식 변형을 통해 구할 수 있다.
[자주 하는 실수] 인수분해된 식을 세울 때 x절편의 부호를 반대로 사용하여 y=-(x+1)(x-3)과 같이 잘못 세우거나, 완전제곱식으로 변형하는 과정에서 부호 실수로 최댓값을 다른 값으로 계산한다.
[검산] x=1과 x=-3을 각각 대입하면 -x²-2x+3에 대해 -1-2+3=0, -9+6+3=0으로 모두 성립하며, 꼭짓점 x=-1에서의 값은 -1+2+3=4로 최댓값과 일치한다.