고등 수학 접선과 법선의 방정식 예상문제

🔴 정답 ① $-994$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=6x^2-4x$이므로 $x=-2$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(-2)=32$이다.
❷ 접점의 좌표는 $(-2,-31)$이다.
❸ 법선의 기울기는 $-\frac{1}{32}$이므로 법선의 방정식은 $y-(-31)=-\frac{1}{32}(x-(-2))$이고, $y=0$을 대입해 정리하면 $x=-994$이다.

[핵심 개념] 법선의 방정식(접선에 수직인 직선)과 x절편

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $-994$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $1893$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-3$이므로 $x=3$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(3)=42$이다.
❷ 접점의 좌표는 $(3,45)$이다.
❸ 법선의 기울기는 $-\frac{1}{42}$이므로 법선의 방정식은 $y-(45)=-\frac{1}{42}(x-(3))$이고, $y=0$을 대입해 정리하면 $x=1893$이다.

[핵심 개념] 법선의 방정식(접선에 수직인 직선)과 x절편

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $1893$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $23$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=6x^2+10x+1$이므로 $x=-2$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(-2)=5$이다.
❷ 접점의 좌표는 $(-2,5)$이다.
❸ 법선의 기울기는 $-\frac{1}{5}$이므로 법선의 방정식은 $y-(5)=-\frac{1}{5}(x-(-2))$이고, $y=0$을 대입해 정리하면 $x=23$이다.

[핵심 개념] 법선의 방정식(접선에 수직인 직선)과 x절편

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $23$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

[STEP 1] 접점 확인
$f(2)=8-6+1=3$ ✓ → 점 $(2,3)$은 곡선 위의 점이다.

[STEP 2] 미분계수 (기울기)
$$f^{\prime }(x)=3x^2-3$$
$$f^{\prime }(2)=12-3=9$$

[STEP 3] 접선의 방정식
점 $(2,3)$, 기울기 $9$:
$$y-3=9(x-2)$$
$$y=9x-15$$

[STEP 4] $y$축과의 교점 ($x=0$ 대입)
$$y=9(0)-15=-15$$

[핵심 통찰]
▸ "곡선 위의 점에서의 접선" → 접점이 주어진 것이므로 바로 $f^{\prime }(접점)$ 계산
▸ "곡선 밖의 점에서의 접선" → 접점을 미지수로 놓고 방정식을 세워야 함 (더 어려움)
▸ 이 구분을 혼동하면 풀이 방향 자체가 달라지므로 주의

🔴 정답 ③ $9103$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=9x^2+2x+4$이므로 $x=3$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(3)=91$이다.
❷ 접점의 좌표는 $(3,100)$이다.
❸ 법선의 기울기는 $-\frac{1}{91}$이므로 법선의 방정식은 $y-(100)=-\frac{1}{91}(x-(3))$이고, $y=0$을 대입해 정리하면 $x=9103$이다.

[핵심 개념] 법선의 방정식(접선에 수직인 직선)과 x절편

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $9103$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ④ $135$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=9x^2+6x-3$이므로 $x=-3$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(-3)=60$이다.
❷ 접점의 좌표는 $(-3,-45)$이다.
❸ 접선의 방정식은 $y-(-45)=60(x-(-3))$이므로 $x=0$을 대입하면 $y=135$이다.

[핵심 개념] 접선의 방정식과 y절편

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $135$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ① $2$

📌 초정밀 풀이
❶ $f^{\prime }(x)=3x^2+6x-3$이므로 $x=-1$에서의 접선의 기울기는 $f^{\prime }(-1)=-6$이다.
❷ 접점의 좌표는 $(-1,8)$이다.
❸ 접선의 방정식은 $y-(8)=-6(x-(-1))$이므로 $x=0$을 대입하면 $y=2$이다.

[핵심 개념] 접선의 방정식과 y절편

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $2$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 접선의 기울기는 $f^{\prime }(x)$ 의 값이다. $f(x)=x^3-4x+5$ 를 미분하면 $f^{\prime }(x)=3x^2-4$.
❷ 접점의 $x$ 좌표가 $1$ 이므로 기울기는 $f^{\prime }(1)=3(1{)}^2-4=3-4=-1$.
❸ 따라서 점 $(1,2)$ 에서의 접선의 기울기는 $-1$ 이다. (참고: $f(1)=1-4+5=2$ 이므로 점이 곡선 위에 있음을 확인.)

[오답 확인]
① $-3$: $3x^2$ 항을 무시하고 $-4$ 근처 값을 임의로 조합한 오답.
③ $1$: 부호를 반대로 계산한 오답.
④ $3$: $3x^2$ 의 계수만 답으로 착각한 오답.
⑤ $-4$: 상수항 $-4$ 를 그대로 기울기로 착각한 오답.

[핵심 개념]
다항함수의 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수와 같다.

[검증]
직접 계산으로 $f^{\prime }(x)=3x^2-4$ 를 구하고 $x=1$ 대입 시 $-1$ 이 나옴을 확인하였다.