고등 수학 이항정리와 확률의 기본 성질 예상문제

🔴 정답 ④ $128$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $(1+x{)}^7$의 전개식에서 모든 항의 계수의 합.
❷ 개념: 전개식의 모든 계수의 합은 $x=1$을 대입한 값과 같다.
❸ 계산: $(1+1{)}^7=2^7=128$.
❹ 해석: 따라서 모든 항의 계수의 합은 $128$이다.

[오답 확인]
① $14$: 지수 $7$과 밑 $2$를 곱한 경우($2\times 7$)
② $49$: $7^2$으로 계산한 경우
③ $64$: $2^6$으로 지수를 하나 적게 계산한 경우
⑤ $256$: $2^8$으로 지수를 하나 많이 계산한 경우

[핵심 개념] 이항정리에서 $x=1$ 대입을 이용한 계수의 합

🔴 정답 ④ $\frac{13}{20}$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 여사건 $A^c$의 확률 $P(A^c)$.
❷ 개념: 확률의 기본 성질에 의해 $P(A^c)=1-P(A)$.
❸ 계산: $P(A^c)=1-\frac{7}{20}=\frac{13}{20}$.
❹ 해석: 따라서 $P(A^c)=\frac{13}{20}$이다.

[오답 확인]
① $-\frac{7}{20}$: 확률은 음수가 될 수 없음을 무시하고 부호만 바꾼 경우
② $\frac{7}{20}$: 여사건을 구하지 않고 $P(A)$를 그대로 쓴 경우
③ $\frac{1}{2}$: 암산 과정에서 계산 실수를 한 경우
⑤ $\frac{27}{20}$: $1-P(A)$가 아닌 $1+P(A)$로 잘못 계산한 경우

[핵심 개념] 확률의 기본 성질(여사건의 확률 $P(A^c)=1-P(A)$)

🔴 정답 ④ $\frac{3}{4}$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 배반사건 $A$, $B$에 대한 $P(A\cup B)$.
❷ 개념: 두 사건이 배반사건이면 $P(A\cap B)=0$이므로 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
❸ 계산: $$P(A\cup B)=\frac{3}{10}+\frac{9}{20}=\frac{6}{20}+\frac{9}{20}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$$.
❹ 해석: 따라서 $P(A\cup B)=\frac{3}{4}$이다.

[오답 확인]
① $\frac{27}{200}$: 두 확률을 곱한 경우
② $\frac{3}{20}$: 두 확률의 차를 구한 경우
③ $\frac{3}{10}$: $P(A)$만 답으로 쓴 경우
⑤ $\frac{7}{4}$: 통분 과정에서 분자를 잘못 더해 값이 커진 경우

[핵심 개념] 확률의 기본 성질(배반사건의 덧셈정리)

🔴 정답 ③ $40$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $(x+2{)}^5$의 전개식에서 $x^3$항의 계수.
❷ 개념: 이항정리에 의해 일반항은 ${}_5{C}_k{x}^{5-k}{2}^k$ (단, $k=0,1,\dots ,5$).
❸ 계산: $x^3$항이 되려면 $5-k=3$, 즉 $k=2$. 계수는 ${}_5{C}_2\times 2^2=10\times 4=40$.
❹ 해석: 따라서 $x^3$의 계수는 $40$이다.

[오답 확인]
① $10$: ${}_5{C}_2$만 계산하고 $2^2$을 곱하지 않은 경우
② $20$: $2^2$ 대신 $2^1$을 곱한 경우
④ $80$: $k=2$가 아닌 $k=3$일 때의 계수($x^2$의 계수)를 구한 경우
⑤ $160$: $2^2$ 대신 $2^4$을 곱한 경우

[핵심 개념] 이항정리의 일반항 ${}_n{C}_k{a}^{n-k}{b}^k$

🔴 정답 ① $-\frac{1}{5}$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $P(A)$의 값으로 가능하지 않은 것.
❷ 개념: 확률의 기본 성질에 의해 임의의 사건 $A$에 대해 $0\le P(A)\le 1$이다.
❸ 계산: $-\frac{1}{5}<0$이므로 확률의 범위 $0\le P(A)\le 1$을 벗어난다.
❹ 해석: 따라서 $P(A)$의 값으로 가능하지 않은 것은 $-\frac{1}{5}$이다.

[오답 확인]
② $0$: 공사건 $\varnothing$의 확률로 가능한 값이다.
③ $\frac{1}{2}$: $0\le P(A)\le 1$을 만족하는 일반적인 사건의 확률로 가능하다.
④ $\frac{3}{4}$: 마찬가지로 $0\le P(A)\le 1$ 범위 안의 값이므로 가능하다.
⑤ $1$: 전사건 $S$의 확률로 가능한 값이다.

[핵심 개념] 확률의 기본 성질($0\le P(A)\le 1$, $P(\varnothing )=0$, $P(S)=1$)

🔴 정답 ④ $\frac{47}{50}$

📌 초정밀 풀이
❶ 다음 개념을 이용한다: 확률의 덧셈정리 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
❷ $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}-\frac{3}{50}=\frac{47}{50}$$이다.

[핵심 개념] 확률의 덧셈정리 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{47}{50}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ② $-160$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: ${\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^6$의 전개식에서 상수항.
❷ 개념: 일반항은 $${}_6{C}_k(2x{)}^{6-k}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^k={}_6{C}_k{2}^{6-k}(-1{)}^k{x}^{6-2k}$$.
❸ 계산: 상수항은 $6-2k=0$, 즉 $k=3$일 때이므로 ${}_6{C}_3\times 2^3\times (-1{)}^3=20\times 8\times (-1)=-160$.
❹ 해석: 따라서 상수항은 $-160$이다.

[오답 확인]
① $-192$: $k=1$일 때의 항($x^4$의 계수)을 상수항으로 착각한 경우
③ $60$: $k=4$일 때의 항($x^{-2}$의 계수)을 상수항으로 착각한 경우
④ $160$: 부호 $(-1{)}^3$을 빠뜨린 경우
⑤ $240$: $k=2$일 때의 항($x^2$의 계수)을 상수항으로 착각한 경우

[핵심 개념] 이항정리(일반항, 상수항 조건)

🔴 정답 ③ $56$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $(a+b{)}^8$의 전개식에서 $a^5{b}^3$의 계수.
❷ 개념: 일반항은 ${}_8{C}_k{a}^{8-k}{b}^k$.
❸ 계산: $a^5{b}^3$항이 되려면 $8-k=5$, 즉 $k=3$이므로 계수는 ${}_8{C}_3=56$.
❹ 해석: 따라서 $a^5{b}^3$의 계수는 $56$이다.

[오답 확인]
① $8$: 지수 $8$을 그대로 계수로 착각한 경우
② $28$: ${}_8{C}_2=28$로 $k$를 잘못 설정한 경우
④ $70$: ${}_8{C}_4=70$으로 중앙값과 혼동한 경우
⑤ $512$: $8^3=512$로 조합수 대신 거듭제곱을 계산한 경우

[핵심 개념] 이항정리(일반항, 두 문자의 거듭제곱)