고등 수학 이항분포의 평균과 분산 예상문제

🔴 정답: 2번

📌 초정밀 풀이
❶ 확률변수 $X$가 이항분포 $B(n,p)$를 따르면 $E(X)=np$이다.
❷ 여기서 $n=16$, $p=\frac{1}{4}$이므로 $E(X)=16\times \frac{1}{4}=4$이다.

[오답 확인]
① 3: $16\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}$을 잘못 어림해 계산한 경우 나올 수 있는 값이다.
③ 6: $n$과 $p$의 분모·분자를 혼동하여 $16\times \frac{3}{8}$처럼 잘못 계산한 경우이다.
④ 8: $E(X)$ 대신 $n\times \frac{1}{2}$처럼 $p$를 $\frac{1}{2}$로 착각한 경우이다.
⑤ 12: $p$ 대신 $1-p=\frac{3}{4}$를 사용하여 $16\times \frac{3}{4}=12$로 계산한 경우이다(사건 정의를 반대로 해석한 실수).

[핵심 개념]
이항분포 $B(n,p)$를 따르는 확률변수 $X$의 평균은 $E(X)=np$이다. 이는 각 시행에서 성공 확률이 $p$인 독립시행을 $n$번 반복할 때 성공 횟수의 기댓값을 의미한다.

[검증]
직접 계산으로 $n\cdot p=16\cdot \frac{1}{4}=4$임을 직접 계산하여 확인하였다. 다른 보기 값들은 $p$ 또는 $1-p$를 잘못 대입하거나 분산 공식과 혼동했을 때 나오는 값들로, 정답은 4(2번)이다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $X\sim B(n,p)$이면 $V(X)=np(1-p)$이다.
❷ $n=9$, $p=\frac{1}{3}$이므로 $1-p=\frac{2}{3}$이다.
❸ $$V(X)=9\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=3\times \frac{2}{3}=2$$이다.

[오답 확인]
① 1: 계산 중간에 $9\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}$처럼 $p$를 두 번 곱한 경우 나올 수 있는 값 근처의 오답이다.
② $\frac{4}{3}$: $n$을 빠뜨리고 $p(1-p)$만 계산하다가 잘못 어림한 값이다.
④ $\frac{8}{3}$: $9\times \frac{1}{3}$을 다시 $\frac{2}{3}$이 아닌 다른 값과 곱해 생기는 계산 실수이다.
⑤ 3: $E(X)=9\times \frac{1}{3}=3$을 $V(X)$로 착각한 경우이다(평균과 분산 공식의 혼동).

[핵심 개념]
이항분포의 분산은 $V(X)=np(1-p)$이며, 평균 $E(X)=np$와 혼동하지 않도록 주의해야 한다.

[검증]
직접 계산으로 $9\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=2$를 계산하여 확인하였으며, 동시에 $E(X)=3$도 함께 계산해 오답 ⑤가 평균값임을 확인하였다.

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $X\sim B(n,p)$이면 $E(X)=np$이다.
❷ $p=\frac{2}{5}$이므로 $E(X)=n\times \frac{2}{5}=16$이다.
❸ 양변에 $\frac{5}{2}$를 곱하면 $n=16\times \frac{5}{2}=40$이다.

[오답 확인]
① 32: $16\times 2=32$처럼 $\frac{5}{2}$ 대신 $2$만 곱한 경우이다.
② 36: 계산 과정에서 나눗셈을 잘못하여 생기는 근접 오답이다.
④ 44, ⑤ 48: $p=\frac{2}{5}$ 대신 $1-p=\frac{3}{5}$ 등을 혼동하여 어림한 값들이다.

[핵심 개념]
$E(X)=np$ 공식을 거꾸로 이용하여 $n=\frac{E(X)}{p}$로 미지수 $n$을 구하는 문제이다.

[검증]
직접 계산으로 $16÷\frac{2}{5}=40$임을 확인하였고, $n=40,p=\frac{2}{5}$일 때 $np=40\times \frac{2}{5}=16$이 성립함을 재확인하였다.

🔴 정답 ④ $153$

📌 초정밀 풀이
❶ 이항분포 $B(n,p)$를 따르는 확률변수의 평균은 $np$, 분산은 $np(1-p)$이다.
❷ $E(X)=np=51$이고, 기댓값의 성질에 의해 $E(3X)=3\times 51=153$이다.

[핵심 개념] 이항분포의 평균 $E(X)=np$와 분산 $V(X)=np(1-p)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $153$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ⑤ $64$

📌 초정밀 풀이
❶ 이항분포 $B(n,p)$를 따르는 확률변수의 평균은 $np$, 분산은 $np(1-p)$이다.
❷ $E(X)=np=128\times \frac{1}{2}=64$이다.

[핵심 개념] 이항분포의 평균 $E(X)=np$와 분산 $V(X)=np(1-p)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $64$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답 ③ $\frac{40}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 이항분포 $B(n,p)$를 따르는 확률변수의 평균은 $np$, 분산은 $np(1-p)$이다.
❷ $$V(X)=np(1-p)=60\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{40}{3}$$이다.

[핵심 개념] 이항분포의 평균 $E(X)=np$와 분산 $V(X)=np(1-p)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{40}{3}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.

🔴 정답: 25

📌 초정밀 풀이
❶ 공을 꺼내어 다시 넣으므로 매회 흰 공이 나올 확률은 일정하며, 그 값은 $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$이다.
❷ 45회의 독립시행이므로 $X\sim B\left(45,\frac{1}{3}\right)$이다.
❸ $E(X)=np=45\times \frac{1}{3}=15$이다.
❹ $V(X)=np(1-p)=45\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=10$이다.
❺ 따라서 $E(X)+V(X)=15+10=25$이다.

[오답 확인]
$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$을 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$(흰 공과 검은 공의 개수 비로 착각)로 잘못 구하면 $E(X)=22.5$, $V(X)=11.25$가 되어 답이 달라진다. 복원추출(다시 넣는 시행)이므로 각 시행이 독립이고 확률이 일정하다는 점, 그리고 확률은 (흰 공 수)/(전체 공 수)로 계산해야 한다는 점에 유의해야 한다.

[핵심 개념]
동일한 조건에서 독립적으로 반복되는 시행(복원추출)에서 특정 사건이 일어나는 횟수는 이항분포를 따르며, $E(X)=np$, $V(X)=np(1-p)$이다.

[검증]
직접 계산으로 $p=2/6=1/3$, $E(X)=45\times \frac{1}{3}=15$, $V(X)=45\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=10$을 계산하여 합이 $25$임을 확인하였다.

[오답 해설]
- 1번(15): V(X)를 구하는 것을 빠뜨리고 E(X)=15만 답으로 하면 15가 나온다.
- 2번(10): E(X)를 구하는 것을 빠뜨리고 V(X)=10만 답으로 하면 10이 나온다.
- 4번(40): 흰 공과 검은 공의 비율을 바꿔 p=4/6=2/3으로 계산하면 E(X)+V(X)=30+10=40이 나온다.
- 5번(150): E(X)와 V(X)를 더하지 않고 곱하면 15×10=150이 나온다.

🔴 정답 ② $40$

📌 초정밀 풀이
❶ 이항분포 $B(n,p)$를 따르는 확률변수의 평균은 $np$, 분산은 $np(1-p)$이다.
❷ $E(X)=np=50\times \frac{4}{5}=40$이다.

[핵심 개념] 이항분포의 평균 $E(X)=np$와 분산 $V(X)=np(1-p)$

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $40$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.