고등 수학 정규분포와 표본평균의 분포(통계적 추정) 예상문제

🔴 정답 ① $0.0228$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $P(X\ge 50)$, $X\sim N(40,5^2)$이므로 $\sigma =5$.
❷ 표준화: $Z=\frac{X-40}{5}$, $X=50\Rightarrow Z=2$.
❸ 계산: $P(X\ge 50)=P(Z\ge 2)=0.5-P(0\le Z\le 2)=0.5-0.4772=0.0228$.
❹ 해석: 평균보다 큰 쪽 꼬리 확률이므로 $0.5$에서 표를 뺀다.

[오답 확인]
② $0.4772$: $0.5$에서 빼는 과정을 빠뜨리고 표의 값을 그대로 답한 경우.
③ $0.9772$: $P(X\le 50)$을 구한 경우(여사건과 혼동).
④ $0.1587$: $Z=2$ 대신 $Z=1$로 잘못 계산한 경우($0.5-0.3413$).
⑤ $0.5228$: $1-0.4772$로 잘못 계산한 경우.

[핵심 개념] 정규분포의 표준화와 여사건 확률

🔴 정답 ② $0.0668$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 표본평균 $\bar{X}$가 $83$ 이상일 확률.
❷ 표본평균의 분포: $$\bar{X}\sim N\left(80,{\left(\frac{6}{\sqrt{9}}\right)}^2\right)=N(80,2^2)$$.
❸ 표준화: $Z=\frac{\bar{X}-80}{2}$, $\bar{X}=83\Rightarrow Z=1.5$.
❹ 계산: $P(\bar{X}\ge 83)=P(Z\ge 1.5)=0.5-0.4332=0.0668$.

[오답 확인]
① $0.4332$: $0.5$에서 빼는 과정을 빠뜨린 경우.
③ $0.9332$: $P(\bar{X}\le 83)$을 구해 여사건과 혼동한 경우.
④ $0.3085$: 표본평균의 표준편차를 구하지 않고 원래 $\sigma =6$을 그대로 사용해 $Z=0.5$로 계산한 경우.
⑤ $0.1915$: $Z=0.5$의 표값을 그대로 답한 경우(④의 실수에 이어진 오류).

[핵심 개념] 표본평균의 분포와 확률 계산

🔴 정답 ③ $0.5328$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: $P(55\le X\le 70)$, $X\sim N(60,10^2)$이므로 $\sigma =10$.
❷ 표준화: $Z=\frac{X-60}{10}$을 이용하면 $X=55\Rightarrow Z=-0.5$, $X=70\Rightarrow Z=1$.
❸ 계산: $$P(55\le X\le 70)=P(-0.5\le Z\le 1)=P(0\le Z\le 0.5)+P(0\le Z\le 1)=0.1915+0.3413=0.5328$$.
❹ 해석: 두 구간이 평균 $60$을 기준으로 서로 반대쪽에 있으므로 각 구간의 확률을 더한다.

[오답 확인]
① $0.1915$: $Z=-0.5$ 쪽만 계산하고 나머지를 빠뜨린 경우.
② $0.3413$: $Z=1$ 쪽만 계산하고 나머지를 빠뜨린 경우.
④ $0.6826$: 양쪽 모두 $Z=1$로 잘못 대칭시켜 $2\times 0.3413$으로 계산한 경우.
⑤ $0.1498$: 더해야 할 두 확률을 실수로 뺀 경우($0.3413-0.1915$).

[핵심 개념] 정규분포의 표준화와 표준정규분포표 활용

🔴 정답 ④ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 표본평균 $\bar{X}$의 표준편차.
❷ 공식: 모집단이 $N(m,{\sigma }^2)$이고 표본크기가 $n$이면 $\bar{X}\sim N\left(m,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$이므로 표준편차는 $\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$.
❸ 계산: $\sigma =12,n=9$이므로 $\frac{12}{\sqrt{9}}=\frac{12}{3}=4$.
❹ 해석: 표본평균의 표준편차는 모표준편차를 표본크기의 제곱근으로 나눈 값이다.

[오답 확인]
① $36$: $\sigma \times \sqrt{n}=12\times 3$으로 나눗셈 대신 곱셈을 한 경우.
② $\frac{4}{3}$: $\sigma ÷n=12÷9$로 제곱근을 취하지 않고 그냥 $n$으로 나눈 경우.
③ $16$: ${\sigma }^2/n=144/9$로 분산 공식과 표준편차 공식을 혼동한 경우.
⑤ $\frac{2\sqrt{3}}{3}$: $\sqrt{\sigma /n}=\sqrt{12/9}$로 잘못된 공식을 적용한 경우.

[핵심 개념] 표본평균의 분포(평균과 표준편차)

🔴 정답 ⑤ $48.04$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 신뢰도 $95\%$ 신뢰구간의 하한 $a$.
❷ 공식: $$\bar{x}-1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\le m\le \bar{x}+1.96\frac{\sigma }{\sqrt{n}}$$.
❸ 계산: $\bar{x}=50,\sigma =8,n=64$이므로 오차한계 $=1.96\times \frac{8}{\sqrt{64}}=1.96\times 1=1.96$.
❹ 해석: 하한 $a=50-1.96=48.04$.

[오답 확인]
① $51.96$: 빼야 할 오차한계를 더한 경우(상한을 하한으로 착각).
② $34.32$: $\sqrt{n}$으로 나누지 않고 $\sigma$를 그대로 사용해 $50-1.96\times 8$로 계산한 경우.
③ $48.36$: $95\%$ 대신 $90\%$의 $z=1.645$를 사용한 경우.
④ $49.76$: $\sqrt{n}$이 아닌 $n$으로 나눈 경우($1.96\times 8/64$).

[핵심 개념] 모평균의 신뢰구간 추정

🔴 정답 ① $0.8185$

📌 초정밀 풀이
❶ 표본평균의 분포: $$\bar{X}\sim N\left(100,{\left(\frac{15}{\sqrt{25}}\right)}^2\right)=N(100,3^2)$$.
❷ 표준화: $Z=\frac{\bar{X}-100}{3}$, $\bar{X}=97\Rightarrow Z=-1$, $\bar{X}=106\Rightarrow Z=2$.
❸ 계산: $$P(97\le \bar{X}\le 106)=P(-1\le Z\le 2)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 2)=0.3413+0.4772=0.8185$$.

[오답 확인]
② $0.3413$: $Z=-1$ 쪽 구간만 계산한 경우.
③ $0.4772$: $Z=2$ 쪽 구간만 계산한 경우.
④ $0.1359$: 더해야 할 두 값을 뺀 경우($0.4772-0.3413$).
⑤ $0.9544$: 양쪽 모두 $Z=2$로 착각해 $2\times 0.4772$로 계산한 경우.

[핵심 개념] 표본평균의 분포와 확률 계산

🔴 정답 ⑤ $0.7745$

📌 초정밀 풀이
❶ 표준화: $Z=\frac{X-500}{20}$, $X=480\Rightarrow Z=-1$, $X=530\Rightarrow Z=1.5$.
❷ 계산: $$P(480\le X\le 530)=P(-1\le Z\le 1.5)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 1.5)=0.3413+0.4332=0.7745$$.

[오답 확인]
① $0.3413$: $Z=-1$ 쪽 구간만 계산한 경우.
② $0.4332$: $Z=1.5$ 쪽 구간만 계산한 경우.
③ $0.0919$: 더해야 할 두 값을 뺀 경우($0.4332-0.3413$).
④ $0.8664$: 양쪽 모두 $Z=1.5$로 착각해 $2\times 0.4332$로 계산한 경우.

[핵심 개념] 정규분포의 표준화와 확률 계산

🔴 정답 ④ $97$

📌 초정밀 풀이
❶ 구하는 것: 오차한계 $1.96\times \frac{15}{\sqrt{n}}\le 3$을 만족하는 자연수 $n$의 최솟값.
❷ 부등식 정리: $\sqrt{n}\ge \frac{1.96\times 15}{3}=9.8$.
❸ 계산: $n\ge 9.8^2=96.04$이므로 이를 만족하는 자연수 중 최솟값은 $n=97$.

[오답 확인]
① $96$: $96.04$를 올림하지 않고 그대로 내림한 경우.
② $68$: $z=1.96$ 대신 $90\%$의 $z=1.645$를 사용해 계산한 경우.
③ $10$: $9.8$을 제곱하는 과정을 빠뜨리고 반올림만 한 경우.
⑤ $100$: 정확한 계산 없이 어림수로 반올림한 경우.

[핵심 개념] 신뢰구간의 오차한계와 표본크기 결정