고등 수학 정규분포의 표준화와 활용 예상문제

🔴 정답: 3번

📌 초정밀 풀이
❶ $X\sim N(30,5^2)$이므로 $Z=\frac{X-30}{5}\sim N(0,1)$이다.
❷ $X=25$일 때 $Z=\frac{25-30}{5}=-1$, $X=35$일 때 $Z=\frac{35-30}{5}=1$이다.
❸ $$P(25\le X\le 35)=P(-1\le Z\le 1)=2\times P(0\le Z\le 1)=2\times 0.3413=0.6826$$

[오답 확인]
① 0.1587: $P(Z\ge 1)$을 구한 값으로 질문과 다른 확률이다.
② 0.3413: 한쪽 구간만 계산하고 대칭인 반대쪽을 더하지 않은 값이다.
④ 0.8185: $P(0\le Z\le 2)=0.4772$를 잘못 더하여 나온 값(다른 문제의 값과 혼동)이다.
⑤ 0.9544: $z=2$인 경우의 답($2\times 0.4772$)과 혼동한 값이다.

[핵심 개념]
좌우 대칭인 구간 $P(-a\le Z\le a)=2P(0\le Z\le a)$를 이용한 표준화 확률 계산.

[검증] $2\times 0.3413=0.6826$으로 산술 검증 완료.

[STEP 1] 표준화
$X\sim N(50,5^2)$이므로 $Z=\frac{X-50}{5}\sim N(0,1)$

$$P(40\le X\le 60)=P\left(\frac{40-50}{5}\le Z\le \frac{60-50}{5}\right)=P(-2\le Z\le 2)$$

[STEP 2] 대칭성 이용
정규분포의 대칭성에 의하여:
$$P(-2\le Z\le 2)=2\cdot P(0\le Z\le 2)$$

[STEP 3] 표에서 값 읽기
$P(0\le Z\le 2)=0.4772$

$$P(-2\le Z\le 2)=2\times 0.4772=0.9544$$

[핵심 통찰]
▸ 표준화 공식: $Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$
▸ 정규분포는 $\mu$에 대해 좌우 대칭: $P(-a\le Z\le a)=2P(0\le Z\le a)$
▸ 참고: $P(-1\le Z\le 1)\approx 0.68$, $P(-2\le Z\le 2)\approx 0.95$, $P(-3\le Z\le 3)\approx 0.997$ (68-95-99.7 법칙)

🔴 정답: 1번

📌 초정밀 풀이
❶ $X\sim N(20,4^2)$이므로 $Z=\frac{X-20}{4}\sim N(0,1)$이다.
❷ $X=28$일 때 $Z=\frac{28-20}{4}=2$
❸ $P(X\ge 28)=P(Z\ge 2)=0.5-P(0\le Z\le 2)=0.5-0.4772=0.0228$

[오답 확인]
② 0.4772: $P(0\le Z\le 2)$ 값 자체를 답으로 착각한 경우이다.
③ 0.9772: $0.5+0.4772$를 계산하여 $P(Z\ge -2)$ 등 반대쪽을 구한 오류이다.
④ 0.1587: $\sigma$를 8로 잘못 나누어 $z=1$로 계산($0.5-0.3413$)한 오류이다.
⑤ 0.0456: $0.0228$을 두 배로 잘못 계산한 값이다.

[핵심 개념]
표준화를 통해 임의의 정규분포 문제를 표준정규분포표로 환산하여 꼬리확률 $P(Z\ge z)=0.5-P(0\le Z\le z)$를 구한다.

🔴 정답: 70

📌 초정밀 풀이
❶ $X\sim N(m,6^2)$이므로 $Z=\frac{X-m}{6}\sim N(0,1)$이다.
❷ $P(X\le 79)=0.9332=0.5+0.4332=0.5+P(0\le Z\le 1.5)$이므로 $P(0\le Z\le 1.5)=0.4332$에 대응하는 $z=1.5$가 성립해야 한다.
❸ 즉 $\frac{79-m}{6}=1.5$이므로 $79-m=9$, 따라서 $m=70$이다.

[오답 확인]
표준정규분포표에서 $0.9332$를 $0.5+P(0\le Z\le z)$ 꼴로 분해하지 않고 $79$를 그대로 $m$으로 착각하거나, $z=1$ 또는 $z=2$로 잘못 대응시키면 각각 $m=73,m=67$ 등 오답이 나온다.

[핵심 개념]
$P(X\le k)=0.5+P(0\le Z\le z)$ 꼴로 주어지면 $z>0$이고, 표에서 주어진 확률값과 정확히 일치하는 $z$를 찾아 표준화식 $\frac{k-m}{\sigma }=z$를 세운다.

[오답 해설]
2) 79: $P(X\le 79)=0.9332$의 79를 표준화 과정 없이 그대로 $m$으로 착각한 값이다.
3) 73: $z=1.5$가 아니라 $z=1$에 대응한다고 착각하여 $79-6\times 1=73$으로 계산한 값이다.
4) 67: $z=1.5$가 아니라 $z=2$에 대응한다고 착각하여 $79-6\times 2=67$로 계산한 값이다.
5) 88: 표준화식의 부호를 반대로 세워 $\frac{79-m}{6}=-1.5$로 놓아 $m=79+9=88$이 된 값이다($P(X\le 79)>0.5$이므로 $z>0$이어야 함을 놓친 오류).

🔴 정답: 4번

📌 초정밀 풀이
❶ $X\sim N(50,6^2)$이므로 $Z=\frac{X-50}{6}$은 표준정규분포 $N(0,1)$을 따른다.
❷ $X=44$일 때 $Z=\frac{44-50}{6}=-1$, $X=62$일 때 $Z=\frac{62-50}{6}=2$이다.
❸ 따라서 $$P(44\le X\le 62)=P(-1\le Z\le 2)=P(-1\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 2)=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 2)=0.3413+0.4772=0.8185$$

[오답 확인]
① 0.3413: $P(0\le Z\le 1)$만 계산하고 나머지 구간을 빠뜨린 값이다.
② 0.4772: $P(0\le Z\le 2)$만 계산하고 나머지 구간을 빠뜨린 값이다.
③ 0.1359: 두 구간을 더하지 않고 뺀($0.4772-0.3413$) 값으로, 구간을 잘못 이해한 오류이다.
⑤ 0.6826: $z=1$을 양쪽에 잘못 적용하여 $2\times 0.3413$을 계산한 값이다.

[핵심 개념]
정규분포의 표준화: $X\sim N(m,{\sigma }^2)$일 때 $Z=\frac{X-m}{\sigma }\sim N(0,1)$이며, 표준정규분포표의 대칭성을 이용해 구간 확률을 좌우로 분리하여 더한다.

[출제 의도 및 실전 개념]
정규분포의 대칭성을 통해 평균을 구하고, 분산의 성질($V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$)을 적용하는 문항입니다.

[완벽 풀이]
1단계: 평균 $m$ 구하기
조건 (가)에서 $P(X\le 10)=P(X\ge 22)$ 이므로 평균은 두 값의 중앙값입니다.
$m=\frac{10+22}{2}=16$ 입니다.

2단계: 분산 및 표준편차 계산
$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=260-16^2=260-256=4$ 입니다.
따라서 표준편차 $\sigma =\sqrt{4}=2$ 입니다. 정답은 ①번입니다.

표준화: $Z=\frac{X-50}{10}$

$X=40$ -> $Z=-1$
$X=70$ -> $Z=2$

$$P(40\le X\le 70)=P(-1\le Z\le 2)$$
$$=P(-1\le Z\le 0)+P(0\le Z\le 2)$$
$$=P(0\le Z\le 1)+P(0\le Z\le 2)$$
$$=0.3413+0.4772=0.8185$$

핵심 정리

[핵심 1] 표준화 공식: $Z=\frac{X-m}{\sigma }$

[핵심 2] 대칭 성질: $P(-a\le Z\le 0)=P(0\le Z\le a)$
구간이 0 을 기준으로 양쪽에 걸치면 이 성질을 적용한다.

[핵심 3] 구간 분리 3 패턴
대칭 구간: $P(-a\le Z\le a)=2P(0\le Z\le a)$
비대칭: $$P(-a\le Z\le b)=P(0\le Z\le a)+P(0\le Z\le b)$$
같은 부호: $P(a\le Z\le b)=P(0\le Z\le b)-P(0\le Z\le a)$

정답: 3

🔴 정답 ③ $\frac{57}{2500}$

📌 초정밀 풀이
❶ $Z=\frac{X-41}{16}$로 표준화하면 $X=9$일 때 $Z=-2$이다.
❷ $P(X\le 9)=P(Z\le -2)=0.5-P(0\le Z\le 2)$이다 (좌우 대칭성 이용).
❸ 표에서 값을 읽으면 $0.5-\frac{1193}{2500}=\frac{57}{2500}$이다.

[핵심 개념] 정규분포의 표준화 $Z=\frac{X-m}{\sigma }$와 표준정규분포표 활용

[정답 확인]
정답 보기의 값은 $\frac{57}{2500}$이다. 위 풀이의 최종 결과와 일치하는지 원래 조건에 다시 대입해 확인한다.

[학습 포인트]
문제에서 묻는 양을 먼저 확인하고, 적용한 공식의 조건과 대입값을 단계별로 점검한다. 마지막에는 계수·부호·분모·지수 등 계산 요소를 다시 확인한다.