고등 수학 정적분과 넓이 예상문제

🔴 정답 ④ $10$

📌 초정밀 풀이
❶ 속도의 부호 조사: $v(t)=6-2t=0$에서 $t=3$. $[0,3]$에서 $v(t)\ge 0$, $[3,4]$에서 $v(t)\le 0$
❷ 이동 거리 공식: 거리 $$={\int }_0^4|v(t)|dt={\int }_0^3(6-2t)dt-{\int }_3^4(6-2t)dt$$
❸ 계산: ${\int }_0^3(6-2t)dt=[6t-t^2{]}_0^3=18-9=9$, ${\int }_3^4(6-2t)dt=[6t-t^2{]}_3^4=8-9=-1$
❹ 합산: 거리 $=9-(-1)=10$

[오답 확인]
②8: 이동 거리가 아니라 위치의 변화량(변위) ${\int }_0^4(6-2t)dt=8$을 답으로 착각한 실수
③9: 구간 $[0,3]$까지의 거리만 계산하고 $[3,4]$ 구간을 빠뜨린 실수
①,⑤: 계산 과정에서의 산술 실수

[핵심 개념] 속도의 절댓값의 정적분을 이용한 이동 거리

🔴 정답 ③ $5$

📌 초정밀 풀이
❶ 개념: 위치의 변화량(변위)은 속도를 시간에 대해 그대로 정적분한 값이다.
❷ 계산: $${\int }_0^5(2t-4)dt={\left[t^2-4t\right]}_0^5=25-20=5$$
❸ 해석: $t=0$에서 $t=5$까지 점 P의 위치의 변화량은 $5$이다.

[오답 확인]
⑤13: 변위가 아니라 총 이동 거리(속도의 절댓값의 정적분)를 계산한 실수 — ${\int }_0^2|2t-4|dt+{\int }_2^5|2t-4|dt=4+9=13$
④9: 구간 $[2,5]$에서의 위치 변화만 계산하고 $[0,2]$ 구간을 빠뜨린 실수
①-5: 부호를 반대로 계산한 실수
②3: 적분 계산 중 산술 실수

[핵심 개념] 속도를 적분하여 구하는 위치의 변화량(변위)

🔴 정답 ③ $\frac{32}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 교점: $-x^2+4=0$에서 $x=\pm 2$
❷ 넓이: $[-2,2]$에서 $-x^2+4\ge 0$이므로 넓이 $={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx$
❸ 계산: $${\left[4x-\frac{x^3}{3}\right]}_{-2}^2=\left(8-\frac{8}{3}\right)-\left(-8+\frac{8}{3}\right)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$$

[오답 확인]
①16/3: 도형이 $y$축에 대해 대칭임을 이용하지 않고 $[0,2]$ 구간만 계산해 절반 값을 답으로 한 실수
④64/3: 넓이 공식에서 분모를 6이 아닌 3으로 잘못 적용한 실수
②,⑤: 계산 과정에서의 산술 실수

[핵심 개념] 정적분을 이용한 넓이(대칭인 도형)

🔴 정답 ③ $\frac{4}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ 교점: $2x=x^2\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=0,2$
❷ 대소 비교: 구간 $[0,2]$에서 $2x\ge x^2$이므로 넓이 $={\int }_0^2(2x-x^2)dx$
❸ 계산: $${\left[x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^2=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$$

[오답 확인]
①: 교점을 하나만 이용해 적분구간을 $[0,1]$로 잘못 설정한 실수
②,⑤: 계산 과정에서의 산술 실수
④: 넓이 공식 $\frac{(구간의길이{)}^3}{3}$처럼 분모를 잘못 적용한 실수

[핵심 개념] 정적분을 이용한 넓이(두 곡선 사이)

🔴 정답 ③ $\frac{9}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ 교점을 구하는 단계: $x(3-x)=0$에서 $x=0,3$이고, 구간 $[0,3]$에서 $x(3-x)\ge 0$이므로 곡선은 $x$축 위쪽에 있다.
❷ 넓이 공식: 넓이 $={\int }_0^{3}x(3-x)dx={\int }_0^3(3x-x^2)dx$
❸ 계산: $${\left[\frac{3x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]}_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac{9}{2}$$
❹ 해석: 도형의 넓이는 $\frac{9}{2}$이다.

[오답 확인]
①: 넓이 공식을 $\frac{(구간의길이{)}^2}{6}$처럼 차수를 잘못 적용한 실수
②: 교점을 잘못 구해 적분구간을 $[0,2]$로 놓은 실수
④,⑤: 공식 $\frac{(구간의길이{)}^3}{3}$처럼 분모를 잘못 적용한 실수

[핵심 개념] 정적분을 이용한 도형의 넓이(포물선과 x축)

🔴 정답 ③ $4$

📌 초정밀 풀이
❶ 부호 조사: $v(t)=(t-1)(t-3)=0$에서 $t=1,3$. $[0,1]$에서 $v\ge 0$, $[1,3]$에서 $v\le 0$, $[3,4]$에서 $v\ge 0$
❷ 각 구간 계산: ${\int }_0^{1}vdt=\frac{4}{3}$, ${\int }_1^{3}vdt=-\frac{4}{3}$, ${\int }_3^{4}vdt=\frac{4}{3}$ (직접 계산 결과)
❸ 이동 거리: 거리 $$={\int }_0^{1}vdt-{\int }_1^{3}vdt+{\int }_3^{4}vdt=\frac{4}{3}-\left(-\frac{4}{3}\right)+\frac{4}{3}=4$$

[오답 확인]
①4/3: 이동 거리가 아니라 위치의 변화량(변위) ${\int }_0^{4}vdt=\frac{4}{3}$을 답으로 착각한 실수
②8/3: 마지막 구간 $[3,4]$을 빠뜨리고 $[0,1]$과 $[1,3]$ 구간만 계산한 실수
④,⑤: 계산 과정에서의 산술 실수

[핵심 개념] 속도의 절댓값의 정적분을 이용한 이동 거리(속도가 두 번 부호를 바꾸는 경우)

🔴 정답 ③ $\frac{71}{3}$

📌 초정밀 풀이
❶ $f(x)=x^2-4x$의 부호는 $x=0,4$을 기준으로 바뀌므로 구간을 $[-2,0]$, $[0,4]$, $[4,5]$로 나눈다.
❷ 각 구간의 정적분값은 $\frac{32}{3}$, $-\frac{32}{3}$, $\frac{7}{3}$이다.
❸ 넓이는 각 구간 정적분의 절댓값의 합이므로 $|\frac{32}{3}|+|-\frac{32}{3}|+|\frac{7}{3}|=\frac{71}{3}$이다.

[핵심 개념] 정적분과 넓이의 관계 (부호가 바뀌는 구간은 나누어 절댓값을 취한다)

🔴 정답 ③ $\frac{1}{2}$

📌 초정밀 풀이
❶ 부호 조사: $f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$이므로 $[-1,0]$에서 $f(x)\ge 0$, $[0,1]$에서 $f(x)\le 0$
❷ 넓이 공식: 넓이 $={\int }_{-1}^0(x^3-x)dx+{\int }_0^1\{-(x^3-x)\}dx$
❸ 대칭 이용: $f(x)$는 기함수이므로 두 적분값이 같다. 넓이 $$=2{\int }_0^1(x-x^3)dx=2{\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right]}_0^1=2\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}$$

[오답 확인]
①0: 절댓값을 취하지 않고 ${\int }_{-1}^1(x^3-x)dx$를 그대로 계산하여 기함수 성질로 값이 상쇄되어 0이 나온 실수
②1/4: 대칭성을 이용해 2배 하는 것을 잊고 ${\int }_0^1(x-x^3)dx$만 답으로 한 실수
④,⑤: 계산 과정에서의 산술 실수

[핵심 개념] 절댓값을 포함한 정적분(홀함수의 넓이)